Bài học

Bài 1: 'Phần còn lại' - Người bạn đồng hành của phân số

Chương 1: Nền tảng về phân số của phần còn lại

Bài 1: 'Phần còn lại' - Người bạn đồng hành của phân số

Bạn Sao và mèo Mun đang ở trong bếp.
Trên bàn có một rổ táo đỏ au trông thật ngon mắt.
Sao reo lên: "Mun ơi, mẹ cho chúng mình cả rổ táo này đấy.".
"Mình sẽ lấy một ít làm bánh táo, một ít cho cậu, còn lại để mời các bạn nhé."
Nhưng làm sao để biết được phần táo còn lại để mời các bạn là bao nhiêu nhỉ?

Bạn Sao và mèo Mun đang ở trong bếp. Trên bàn có một rổ táo đỏ au trông thật ngon mắt. Sao reo lên: "Mun ơi, mẹ cho chúng mình cả rổ táo này đấy.". "Mình sẽ lấy một ít làm bánh táo, một ít cho cậu, còn lại để mời các bạn nhé." Nhưng làm sao để biết được phần táo còn lại để mời các bạn là bao nhiêu nhỉ?

Để giải quyết vấn đề này, chúng mình hãy coi cả rổ táo là một đơn vị nguyên vẹn.
Trong toán học, một đơn vị nguyên vẹn được biểu thị bằng số 1.

Khám phá chiếc bánh phân số

Giả sử Sao dùng $\frac{1}{5}$ số táo trong rổ để làm bánh.
Cả rổ táo là 1 đơn vị.
Phần táo còn lại sẽ là: $1 - \frac{1}{5} = \frac{5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ (rổ táo).
Thật đơn giản phải không nào?

Giả sử Sao dùng $\frac{1}{5}$ số táo trong rổ để làm bánh. Cả rổ táo là 1 đơn vị. Phần táo còn lại sẽ là: $1 - \frac{1}{5} = \frac{5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ (rổ táo). Thật đơn giản phải không nào?

Tìm phần còn lạiĐể tìm phân số chỉ phần còn lại của một đại lượng, ta lấy 1 trừ đi phân số chỉ phần đã lấy ra.

Cùng Sao và Mun giải toán

Ví dụ

Bài toán tấm vải

1
Một tấm vải được chia thành hai lần cắt.
Lần đầu, mẹ cắt đi $\frac{2}{5}$ tấm vải.
Lần thứ hai, mẹ cắt tiếp $\frac{1}{3}$ tấm vải.
Hỏi sau hai lần cắt, phần còn lại của tấm vải bằng mấy phần so với lúc đầu?
Một tấm vải được chia thành hai lần cắt. Lần đầu, mẹ cắt đi $\frac{2}{5}$ tấm vải. Lần thứ hai, mẹ cắt tiếp $\frac{1}{3}$ tấm vải. Hỏi sau hai lần cắt, phần còn lại của tấm vải bằng mấy phần so với lúc đầu?
2
Đầu tiên, chúng mình cần tìm tổng số phần vải mẹ đã cắt.
Phân số chỉ số vải mẹ đã cắt sau hai lần là:
$\frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{11}{15}$ (tấm vải).

Bây giờ, ta tìm phần còn lại.
Coi cả tấm vải ban đầu là 1 đơn vị.
Phân số chỉ phần vải còn lại là:
$1 - \frac{11}{15} = \frac{15}{15} - \frac{11}{15} = \frac{4}{15}$ (tấm vải).
Vậy là sau hai lần cắt, còn lại $\frac{4}{15}$ tấm vải.
Đầu tiên, chúng mình cần tìm tổng số phần vải mẹ đã cắt. Phân số chỉ số vải mẹ đã cắt sau hai lần là: $\frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{11}{15}$ (tấm vải). Bây giờ, ta tìm phần còn lại. Coi cả tấm vải ban đầu là 1 đơn vị. Phân số chỉ phần vải còn lại là: $1 - \frac{11}{15} = \frac{15}{15} - \frac{11}{15} = \frac{4}{15}$ (tấm vải). Vậy là sau hai lần cắt, còn lại $\frac{4}{15}$ tấm vải.
3
Khi một đại lượng bị lấy đi nhiều lần, hãy cộng các phần đã lấy đi trước khi tìm phần còn lại.

Thử thách nâng cao: Phần còn lại của phần còn lại

Bây giờ, chúng ta sẽ đến với một dạng toán khó hơn một chút.
Đây là dạng bài thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi đấy.
Nó không chỉ hỏi về 'phần còn lại', mà là 'phần còn lại của phần còn lại'.

Mở rộng dành cho HSG

Để giải quyết dạng toán này, em cần biết cách tìm phân số của một số (và ở đây là tìm phân số của một phân số).
Muốn tìm giá trị phân số $\frac{a}{b}$ của một số $M$ , ta lấy $M \times \frac{a}{b}$ .
Tương tự, muốn tìm $\frac{a}{b}$ của $\frac{c}{d}$ , ta làm phép tính: $\frac{c}{d} \times \frac{a}{b}$ .

Để giải quyết dạng toán này, em cần biết cách **tìm phân số của một số** (và ở đây là **tìm phân số của một phân số**). Muốn tìm giá trị phân số $\frac{a}{b}$ của một số $M$, ta lấy $M \times \frac{a}{b}$. Tương tự, muốn tìm $\frac{a}{b}$ của $\frac{c}{d}$, ta làm phép tính: $\frac{c}{d} \times \frac{a}{b}$.

Ví dụ

Bài toán cuộn vải (phiên bản HSG)

1
Một cửa hàng bán một cuộn vải trong hai lần.
Lần đầu, cửa hàng bán $\frac{1}{3}$ cuộn vải.
Lần thứ hai, cửa hàng bán $\frac{1}{3}$ số vải còn lại.
Sau hai lần bán, cuộn vải còn lại 24 mét. Hỏi lúc đầu cuộn vải dài bao nhiêu mét?
Một cửa hàng bán một cuộn vải trong hai lần. Lần đầu, cửa hàng bán $\frac{1}{3}$ cuộn vải. Lần thứ hai, cửa hàng bán $\frac{1}{3}$ **số vải còn lại**. Sau hai lần bán, cuộn vải còn lại 24 mét. Hỏi lúc đầu cuộn vải dài bao nhiêu mét?
2
Điểm mấu chốt của bài này là lần thứ hai người ta bán $\frac{1}{3}$ của phần còn lại, chứ không phải $\frac{1}{3}$ của cả cuộn vải ban đầu. Chúng ta phải tính xem phân số đó bằng bao nhiêu so với cả cuộn.
Điểm mấu chốt của bài này là lần thứ hai người ta bán $\frac{1}{3}$ của **phần còn lại**, chứ không phải $\frac{1}{3}$ của cả cuộn vải ban đầu. Chúng ta phải tính xem phân số đó bằng bao nhiêu so với cả cuộn.
3
Coi cả cuộn vải ban đầu là 1 đơn vị.
Sau lần bán thứ nhất, phân số chỉ số vải còn lại là:
$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ (cuộn vải).

Lần thứ hai, cửa hàng bán $\frac{1}{3}$ của số vải còn lại, tức là bán $\frac{1}{3}$ của $\frac{2}{3}$ cuộn vải.
Phân số chỉ số vải bán lần thứ hai so với ban đầu là:
$\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$ (cuộn vải).

Bây giờ, ta tìm phân số chỉ tổng số vải đã bán sau hai lần:
$\frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9}$ (cuộn vải).

Phân số chỉ số vải còn lại cuối cùng là:
$1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$ (cuộn vải).

Bài toán cho biết phần còn lại này là 24 mét. Vậy $\frac{4}{9}$ cuộn vải tương ứng với 24 mét.
Coi cả cuộn vải ban đầu là 1 đơn vị. Sau lần bán thứ nhất, phân số chỉ số vải còn lại là: $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ (cuộn vải). Lần thứ hai, cửa hàng bán $\frac{1}{3}$ của số vải còn lại, tức là bán $\frac{1}{3}$ của $\frac{2}{3}$ cuộn vải. Phân số chỉ số vải bán lần thứ hai so với ban đầu là: $\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$ (cuộn vải). Bây giờ, ta tìm phân số chỉ tổng số vải đã bán sau hai lần: $\frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9}$ (cuộn vải). Phân số chỉ số vải còn lại cuối cùng là: $1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$ (cuộn vải). Bài toán cho biết phần còn lại này là 24 mét. Vậy $\frac{4}{9}$ cuộn vải tương ứng với 24 mét.
4
Nếu $\frac{4}{9}$ cuộn vải là 24 mét, thì $\frac{1}{9}$ cuộn vải là $24 : 4 = 6$ mét.
Vậy cả cuộn vải ban đầu ( $\frac{9}{9}$ ) dài là: $6 \times 9 = 54$ mét.
Lúc đầu cuộn vải dài 54 mét.
Nếu $\frac{4}{9}$ cuộn vải là 24 mét, thì $\frac{1}{9}$ cuộn vải là $24 : 4 = 6$ mét. Vậy cả cuộn vải ban đầu ($\frac{9}{9}$) dài là: $6 \times 9 = 54$ mét. Lúc đầu cuộn vải dài 54 mét.
5
Hãy đọc thật kỹ đề bài để biết phân số đó đang so với 'cái ban đầu' hay 'phần còn lại'.

Coi chừng có bẫy.

Với bài toán "Lần đầu dùng $\frac{1}{4}$ , lần hai dùng $\frac{1}{3}$ phần còn lại", nhiều bạn sẽ tính ngay tổng số phần đã dùng là $\frac{1}{4} + \frac{1}{3}$ .
Đây là một cái bẫy rất phổ biến.
Em phải nhớ rằng $\frac{1}{3}$ của phần còn lại khác với $\frac{1}{3}$ của cái ban đầu. Phải tính phần còn lại trước nhé.

Với bài toán "Lần đầu dùng $\frac{1}{4}$, lần hai dùng $\frac{1}{3}$ **phần còn lại**", nhiều bạn sẽ tính ngay tổng số phần đã dùng là $\frac{1}{4} + \frac{1}{3}$. Đây là một cái bẫy rất phổ biến. Em phải nhớ rằng $\frac{1}{3}$ của phần còn lại khác với $\frac{1}{3}$ của cái ban đầu. Phải tính phần còn lại trước nhé.

Chiến thắng!

Tuyệt vời. Em đã nắm vững cách giải các bài toán về 'phần còn lại', kể cả những bài toán nâng cao hóc búa.
Bây giờ, hãy thử sức với bài toán cuối cùng để giúp mèo Mun nhé.

Hẹn gặp lại

Hôm nay em đã học rất giỏi. Lần tới, chúng mình sẽ cùng nhau giải những bài toán 'công việc chung' cũng hóc búa không kém đâu nhé.