Bài học

Ước và bội của một số

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nêu đúng định nghĩa ước, bội của một số tự nhiên; tìm được tập hợp các ước $\text{Ư}(n)$ của một số $n$ cho trước, và liệt kê được một số bội của một số cho trước.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã cho em quan hệ $a \vdots b$ ( $a$ chia hết cho $b$ ). Bài này không thêm quan hệ mới, mà đặt tên riêng cho hai phía của chính quan hệ đó — nhìn từ số bị chia gọi là gì, nhìn từ số chia gọi là gì.

Bài trước đã cho em quan hệ $a \vdots b$ ($a$ chia hết cho $b$). Bài này không thêm quan hệ mới, mà đặt tên riêng cho hai phía của chính quan hệ đó — nhìn từ số bị chia gọi là gì, nhìn từ số chia gọi là gì.

Khởi động

Bạn Nam có 12 viên bi, muốn xếp thành các hàng có số bi bằng nhau, không dư viên nào. Bạn xếp được thành mấy bi một hàng — 2, 3, 4, hay cả 5 bi một hàng đều được?

Kiến thức trọng tâm

Nếu $a \vdots b$ , ta nói $b$ là ước của $a$ , và $a$ là bội của $b$ . Đây là cùng một quan hệ chia hết, chỉ đổi cách gọi tùy góc nhìn: nhìn từ số chia thì gọi là ước, nhìn từ số bị chia thì gọi là bội.

Nếu $a \vdots b$, ta nói $b$ là ước của $a$, và $a$ là bội của $b$. Đây là cùng một quan hệ chia hết, chỉ đổi cách gọi tùy góc nhìn: nhìn từ số chia thì gọi là ước, nhìn từ số bị chia thì gọi là bội.

Tập hợp các ước của $a$ , kí hiệu $\text{Ư}(a)$ , gồm tất cả các số tự nhiên là ước của $a$ . Muốn tìm $\text{Ư}(a)$ , ta chia $a$ lần lượt cho $1, 2, 3, \dots, a$ ; số nào chia hết thì đó là một ước. Mọi số $a \ge 1$ đều có 1 và chính nó là hai ước (vì $a = 1 \times a$ ).

Tập hợp các ước của $a$, kí hiệu $\text{Ư}(a)$, gồm tất cả các số tự nhiên là ước của $a$. Muốn tìm $\text{Ư}(a)$, ta chia $a$ lần lượt cho $1, 2, 3, \dots, a$; số nào chia hết thì đó là một ước. Mọi số $a \ge 1$ đều có 1 và chính nó là hai ước (vì $a = 1 \times a$).

Tập hợp các bội của $a$ , kí hiệu $\text{B}(a)$ , gồm các số nhận được khi nhân $a$ lần lượt với $0, 1, 2, 3, \dots$ : $\text{B}(a) = \{0; a; 2a; 3a; \dots\}$ — một tập hợp có vô hạn phần tử, nên khi đề bài yêu cầu liệt kê bội, em chỉ liệt kê trong một khoảng cho trước.

Tập hợp các bội của $a$, kí hiệu $\text{B}(a)$, gồm các số nhận được khi nhân $a$ lần lượt với $0, 1, 2, 3, \dots$: $\text{B}(a) = \{0; a; 2a; 3a; \dots\}$ — một tập hợp có vô hạn phần tử, nên khi đề bài yêu cầu liệt kê bội, em chỉ liệt kê trong một khoảng cho trước.

Một điểm dễ nhầm: số 0 là bội của MỌI số tự nhiên khác 0 (vì $0 = a \times 0$ với mọi $a$ ), nhưng người ta không xét $\text{Ư}(0)$ vì mọi số khác 0 đều chia hết 0, tập ước sẽ vô hạn và không có ý nghĩa thực tế.

Một điểm dễ nhầm: số 0 là bội của MỌI số tự nhiên khác 0 (vì $0 = a \times 0$ với mọi $a$), nhưng người ta không xét $\text{Ư}(0)$ vì mọi số khác 0 đều chia hết 0, tập ước sẽ vô hạn và không có ý nghĩa thực tế.

Một mẹo giúp tìm $\text{Ư}(a)$ nhanh hơn: các ước luôn xuất hiện theo CẶP. Khi thử $a : 1$ , ta đồng thời biết ngay cả 1 và chính $a$ đều là ước — vì $a = 1 \times a$ . Khi thử $a : 2$ (nếu chia hết), ta biết ngay cả 2 và thương $a:2$ đều là ước. Cứ như vậy, mỗi phép chia hết tìm ra MỘT LÚC hai ước, nên không cần thử hết đến $a$ mà chỉ cần thử đến khi số chia bắt đầu lớn hơn thương tương ứng — lúc đó các cặp đã bắt đầu lặp lại. Với $\text{Ư}(12)$ , thử đến 3 đã đủ tìm ra bốn cặp $(1,12), (2,6), (3,4)$ ; thử tiếp 4 chỉ lặp lại cặp đã có, vì $12:4=3$ là số đã xuất hiện.

Một mẹo giúp tìm $\text{Ư}(a)$ nhanh hơn: các ước luôn xuất hiện theo CẶP. Khi thử $a : 1$, ta đồng thời biết ngay cả 1 và chính $a$ đều là ước — vì $a = 1 \times a$. Khi thử $a : 2$ (nếu chia hết), ta biết ngay cả 2 và thương $a:2$ đều là ước. Cứ như vậy, mỗi phép chia hết tìm ra MỘT LÚC hai ước, nên không cần thử hết đến $a$ mà chỉ cần thử đến khi số chia bắt đầu lớn hơn thương tương ứng — lúc đó các cặp đã bắt đầu lặp lại. Với $\text{Ư}(12)$, thử đến 3 đã đủ tìm ra bốn cặp $(1,12), (2,6), (3,4)$; thử tiếp 4 chỉ lặp lại cặp đã có, vì $12:4=3$ là số đã xuất hiện.

Khái niệm ước và bội không chỉ nằm trong sách vở: chia đều đồ vật, xếp hàng, tính lịch lặp lại theo chu kỳ — tất cả đều dựa trên câu hỏi "số này có là ước (hay bội) của số kia không". Các bài toán ƯCLN, BCNN ở khóa sau sẽ dùng lại đúng hai khái niệm này, chỉ khác là xét đồng thời trên nhiều số thay vì một số.

3 và 4 đều là ước của 12, vì

12 = 3 \times 4

.3 và 4 đều là ước của 12, vì $12 = 3 \times 4$.

Xếp được thành hình chữ nhật 3x4 nghĩa là

12 = 3 \times 4

, nên cả 3 và 4 đều là ước của 12.Xếp được thành hình chữ nhật 3x4 nghĩa là $12 = 3 \times 4$, nên cả 3 và 4 đều là ước của 12.

Đây chính là tập hợp B(4) trong phạm vi từ 0 đến 28.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tìm tập hợp ước của một số

1
Tìm $\text{Ư}(12)$ .
Tìm $\text{Ư}(12)$.
2
$12 : 1 = 12$ ✓, $12 : 2 = 6$ ✓, $12 : 3 = 4$ ✓, $12 : 4 = 3$ ✓, $12 : 5$ dư 2 ✗, $12 : 6 = 2$ ✓, $12 : 7$ đến $12 : 11$ đều có dư ✗, $12 : 12 = 1$ ✓.
$12 : 1 = 12$ ✓, $12 : 2 = 6$ ✓, $12 : 3 = 4$ ✓, $12 : 4 = 3$ ✓, $12 : 5$ dư 2 ✗, $12 : 6 = 2$ ✓, $12 : 7$ đến $12 : 11$ đều có dư ✗, $12 : 12 = 1$ ✓.
3
Các số chia hết 12 là 1, 2, 3, 4, 6, 12.
4
Vậy $\text{Ư}(12) = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}$ .
Vậy $\text{Ư}(12) = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}$.

Ví dụ

Tìm các bội của một số trong một khoảng

1
Tìm các bội của 4 nhỏ hơn 30.
2
$4 \times 0 = 0$ , $4 \times 1 = 4$ , $4 \times 2 = 8$ , $4 \times 3 = 12$ , $4 \times 4 = 16$ , $4 \times 5 = 20$ , $4 \times 6 = 24$ , $4 \times 7 = 28$ , $4 \times 8 = 32$ .
$4 \times 0 = 0$, $4 \times 1 = 4$, $4 \times 2 = 8$, $4 \times 3 = 12$, $4 \times 4 = 16$, $4 \times 5 = 20$, $4 \times 6 = 24$, $4 \times 7 = 28$, $4 \times 8 = 32$.
3
32 đã lớn hơn 30 nên dừng lại, không tính 32.
4
Vậy các bội của 4 nhỏ hơn 30 là 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28.

Ví dụ

Lọc ước theo điều kiện (dạng thi)

1
Tìm số tự nhiên $x$ , biết $x \in \text{B}(6)$ và $20 \le x \le 40$ .
Tìm số tự nhiên $x$, biết $x \in \text{B}(6)$ và $20 \le x \le 40$.
2
$\text{B}(6) = \{0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; \dots\}$ .
$\text{B}(6) = \{0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; \dots\}$.
3
Trong dãy trên, các giá trị nằm trong khoảng từ 20 đến 40 là 24, 30, 36.
4
Vậy $x \in \{24; 30; 36\}$ .
Vậy $x \in \{24; 30; 36\}$.

Ví dụ

Chia nhóm học sinh bằng ước của một số (dạng thi)

1
Một đội có 18 học sinh, muốn chia thành các nhóm bằng nhau, mỗi nhóm có từ 2 đến 8 người. Có những cách chia nào?
2
Số người mỗi nhóm phải là một ước của 18 (để chia hết, không dư ai). $\text{Ư}(18) = \{1; 2; 3; 6; 9; 18\}$ .
Số người mỗi nhóm phải là một ước của 18 (để chia hết, không dư ai). $\text{Ư}(18) = \{1; 2; 3; 6; 9; 18\}$.
3
Đề yêu cầu mỗi nhóm từ 2 đến 8 người, nên chỉ giữ lại 2, 3, 6 trong tập trên.
4
Với 2 người/nhóm: $18 : 2 = 9$ nhóm. Với 3 người/nhóm: $18 : 3 = 6$ nhóm. Với 6 người/nhóm: $18 : 6 = 3$ nhóm.
Với 2 người/nhóm: $18 : 2 = 9$ nhóm. Với 3 người/nhóm: $18 : 3 = 6$ nhóm. Với 6 người/nhóm: $18 : 6 = 3$ nhóm.
5
Vậy có 3 cách chia hợp lệ: 9 nhóm x 2 người, 6 nhóm x 3 người, hoặc 3 nhóm x 6 người.

Ví dụ

Kết hợp ước và bội trong cùng một điều kiện (dạng thi)

1
Tìm số tự nhiên $x$ , biết $x$ vừa là ước của 60, vừa là bội của 5, và $5 < x < 30$ .
Tìm số tự nhiên $x$, biết $x$ vừa là ước của 60, vừa là bội của 5, và $5 < x < 30$.
2
Thử chia lần lượt: $\text{Ư}(60) = \{1;2;3;4;5;6;10;12;15;20;30;60\}$ .
Thử chia lần lượt: $\text{Ư}(60) = \{1;2;3;4;5;6;10;12;15;20;30;60\}$.
3
Trong tập trên, các số vừa là ước của 60 vừa là bội của 5 (tức chia hết cho 5) là 5, 10, 15, 20, 30, 60.
4
Trong dãy 5, 10, 15, 20, 30, 60 vừa tìm được, các giá trị nằm chặt giữa 5 và 30 (không tính hai đầu mút) là 10, 15, 20.
5
Vậy $x \in \{10; 15; 20\}$ — cả ba giá trị đều vừa là ước của 60, vừa là bội của 5, vừa nằm đúng khoảng đề cho.
Vậy $x \in \{10; 15; 20\}$ — cả ba giá trị đều vừa là ước của 60, vừa là bội của 5, vừa nằm đúng khoảng đề cho.

Năm ví dụ trên đi từ định nghĩa (tìm Ư(12), tìm B(4)), qua lọc theo một điều kiện (ví dụ 3), một bài toán chia nhóm thực tế (ví dụ 4), đến kết hợp CẢ ước lẫn bội trong cùng một đề (ví dụ 5) — càng về sau càng đòi hỏi xử lý nhiều điều kiện cùng lúc, đúng dạng câu hỏi tổng hợp em sẽ gặp trong đề kiểm tra.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn nói ngược chiều ước — bội: thấy $6 \vdots 2$ lại nói "6 là ước của 2", trong khi phải nói "2 là ước của 6, 6 là bội của 2". Một lỗi khác là liệt kê thiếu ước lớn nhất — chính số đó — hoặc quên rằng 0 luôn có mặt trong $\text{B}(a)$ .

Ghi nhớ

Nếu $a \vdots b$ thì $b$ là ước của $a$ , $a$ là bội của $b$ . Tìm ước bằng cách thử chia $1, 2, \dots, a$ . Tìm bội bằng cách nhân $a$ với $0, 1, 2, \dots$ . Số 0 là bội của mọi số khác 0.

Nếu $a \vdots b$ thì $b$ là ước của $a$, $a$ là bội của $b$. Tìm ước bằng cách thử chia $1, 2, \dots, a$. Tìm bội bằng cách nhân $a$ với $0, 1, 2, \dots$. Số 0 là bội của mọi số khác 0.

Bài tiếp theo bổ sung thêm hai dấu hiệu chia hết mới — cho 3 và cho 9 — để em nhận ra một số có phải ước 3 hay ước 9 của một số khác nhanh hơn nhiều so với chia thử từng bước.