Bài học

Từ bài toán chuẩn đến bài toán HSG

Mục tiêu

Sau bài học này, em phân biệt được một bài toán HSG với bài toán chuẩn cùng chủ đề, và nêu đúng điều gì khiến bài HSG khó hơn: một điều kiện thêm vào, một cấu trúc phải suy luận ngược, hay một yêu cầu đúng cho MỌI trường hợp thay vì tính một trường hợp cụ thể.

Kiến thức nền cần có

Em cần nắm chắc cách tìm ƯCLN của hai số bằng phân tích ra thừa số nguyên tố, và biết số chính phương là bình phương của một số tự nhiên. Bài học không dạy lại hai nội dung này — chúng đã có trong khóa Toán 6 nền tảng — mà dùng chúng làm chất liệu để tập nhận diện độ khó.

Bài toán khởi động

Tính $ƯCLN(24, 36)$ . Em trả lời ngay bằng cách phân tích: $24=2^3\times3$ , $36=2^2\times3^2$ , nên $ƯCLN(24,36)=2^2\times3=12$ . Giờ đổi câu hỏi: Tìm hai số biết ƯCLN của chúng bằng $6$ và tích của chúng bằng $216$ . Vẫn là ƯCLN, nhưng cách làm cũ — phân tích thừa số nguyên tố của hai số cho sẵn — không dùng được nữa, vì lần này ta không có sẵn hai số để phân tích.

Tính $ƯCLN(24, 36)$. Em trả lời ngay bằng cách phân tích: $24=2^3\times3$, $36=2^2\times3^2$, nên $ƯCLN(24,36)=2^2\times3=12$. Giờ đổi câu hỏi: Tìm hai số biết ƯCLN của chúng bằng $6$ và tích của chúng bằng $216$. Vẫn là ƯCLN, nhưng cách làm cũ — phân tích thừa số nguyên tố của hai số cho sẵn — không dùng được nữa, vì lần này ta không có sẵn hai số để phân tích.

Vì sao bài toán thứ hai khó hơn

Ba bài toán chuẩn và HSG thường khác nhau ở đúng một trong ba điểm sau, dù chủ đề vẫn quen thuộc. Một là thêm điều kiện: đề gắn thêm một ràng buộc khiến không thể áp công thức ngay. Hai là đổi chiều hỏi: bài chuẩn cho số liệu rồi hỏi kết quả, bài HSG cho kết quả rồi hỏi ngược lại số liệu ban đầu — như ví dụ ƯCLN ở trên. Ba là yêu cầu tổng quát: thay vì kiểm tra một số cụ thể, đề đòi hỏi một lập luận đúng với MỌI số thuộc một dạng nào đó. Không phải số trong đề lớn hơn hay đề dài hơn mà làm bài khó — chính cách hỏi mới là thứ quyết định.

Ranh giới giữa bài chuẩn và bài HSG nằm ở CÁCH HỎI, không nằm ở độ lớn của số liệu.

Ví dụ 1 — Từ một cặp số cụ thể đến một họ nghiệm

Ví dụ

Tìm hai số biết ƯCLN và tích của chúng

1
Bài chuẩn cho sẵn hai số để tính ƯCLN; bài này NGƯỢC LẠI — cho ƯCLN và tích, bắt tìm lại hai số ban đầu, nên không có công thức áp thẳng vào. Ý tưởng tự nhiên là viết hai số đó theo ƯCLN: nếu $ƯCLN(a,b)=6$ thì $a=6m$ , $b=6n$ với $m,n$ nguyên tố cùng nhau — cách viết này đổi hai ẩn số $(a,b)$ thành hai ẩn nhỏ hơn $(m,n)$ dễ kiểm soát hơn nhiều.
Bài chuẩn cho sẵn hai số để tính ƯCLN; bài này NGƯỢC LẠI — cho ƯCLN và tích, bắt tìm lại hai số ban đầu, nên không có công thức áp thẳng vào. Ý tưởng tự nhiên là viết hai số đó theo ƯCLN: nếu $ƯCLN(a,b)=6$ thì $a=6m$, $b=6n$ với $m,n$ nguyên tố cùng nhau — cách viết này đổi hai ẩn số $(a,b)$ thành hai ẩn nhỏ hơn $(m,n)$ dễ kiểm soát hơn nhiều.
2
Gọi $a=6m$ , $b=6n$ với $m,n$ là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau ( $ƯCLN(m,n)=1$ ).
Gọi $a=6m$, $b=6n$ với $m,n$ là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau ($ƯCLN(m,n)=1$).
3
$a\times b=216\Rightarrow 6m\times6n=216\Rightarrow 36mn=216\Rightarrow mn=6$ .
$a\times b=216\Rightarrow 6m\times6n=216\Rightarrow 36mn=216\Rightarrow mn=6$.
4
Các cặp số tự nhiên có tích bằng $6$ : $(1,6),(2,3),(3,2),(6,1)$ . Cả bốn cặp đều có ƯCLN bằng $1$ , nên đều nguyên tố cùng nhau và hợp lệ.
Các cặp số tự nhiên có tích bằng $6$: $(1,6),(2,3),(3,2),(6,1)$. Cả bốn cặp đều có ƯCLN bằng $1$, nên đều nguyên tố cùng nhau và hợp lệ.
5
Với $(m,n)=(1,6)$ : $a=6,b=36$ ; $ƯCLN(6,36)=6$ ✓, tích $6\times36=216$ ✓. Với $(m,n)=(2,3)$ : $a=12,b=18$ ; $ƯCLN(12,18)=6$ ✓, tích $12\times18=216$ ✓. Vậy có hai cặp số thỏa đề: $\{6;36\}$ và $\{12;18\}$ .
Với $(m,n)=(1,6)$: $a=6,b=36$; $ƯCLN(6,36)=6$ ✓, tích $6\times36=216$ ✓. Với $(m,n)=(2,3)$: $a=12,b=18$; $ƯCLN(12,18)=6$ ✓, tích $12\times18=216$ ✓. Vậy có hai cặp số thỏa đề: $\{6;36\}$ và $\{12;18\}$.
6
Kỹ thuật đặt $a=dm,b=dn$ với $m,n$ nguyên tố cùng nhau dùng được bất cứ khi nào đề cho ƯCLN cùng một dữ kiện khác (tích, tổng, hiệu) rồi hỏi ngược lại hai số ban đầu. Biến thể gần: đổi đề thành 'ƯCLN=6, tổng=42' — cùng cách đặt $a=6m,b=6n$ , nhưng dữ kiện đổi thành $m+n=7$ , chỉ còn cặp $(1,6)$ hợp lệ, cho một cặp số duy nhất $\{6;36\}$ .
Kỹ thuật đặt $a=dm,b=dn$ với $m,n$ nguyên tố cùng nhau dùng được bất cứ khi nào đề cho ƯCLN cùng một dữ kiện khác (tích, tổng, hiệu) rồi hỏi ngược lại hai số ban đầu. Biến thể gần: đổi đề thành 'ƯCLN=6, tổng=42' — cùng cách đặt $a=6m,b=6n$, nhưng dữ kiện đổi thành $m+n=7$, chỉ còn cặp $(1,6)$ hợp lệ, cho một cặp số duy nhất $\{6;36\}$.

Hai cặp nghiệm

\{6;36\}

và

\{12;18\}

của bài toán 'ƯCLN=6, tích=216'.Hai cặp nghiệm $\{6;36\}$ và $\{12;18\}$ của bài toán 'ƯCLN=6, tích=216'.

Ví dụ 2 — Khi câu hỏi đổi từ kiểm tra sang chứng minh

Mở rộng dành cho HSG — xét số dư khi chia cho 4

Bài chuẩn về số chính phương chỉ yêu cầu kiểm tra MỘT số cụ thể bằng cách khai căn. Ở đây ta dùng thêm một cách nhìn không nằm trong yêu cầu chuẩn của lớp 6: xét số dư của một số chính phương khi chia cho 4. Kiến thức cần có trước là phép chia có dư đã học ở tiểu học; kỹ thuật này sẽ được dạy đầy đủ từng bước ngay trong ví dụ dưới đây, không dùng ký hiệu đồng dư hình thức.

Ví dụ

Chứng minh một số dạng 4k+2 không thể là số chính phương

1
Bài chuẩn hỏi về MỘT số cụ thể (ví dụ 36) có là số chính phương không — chỉ cần khai căn để kiểm tra. Bài này hỏi về CẢ MỘT HỌ số có dạng $4k+2$ (với $k$ là số tự nhiên bất kỳ) — không thể thử từng số vì có vô số số thuộc dạng này. Ý tưởng tự nhiên là xét xem một số chính phương khi chia cho 4 có thể dư bao nhiêu, rồi so sánh với số dư của $4k+2$ .
Bài chuẩn hỏi về MỘT số cụ thể (ví dụ 36) có là số chính phương không — chỉ cần khai căn để kiểm tra. Bài này hỏi về CẢ MỘT HỌ số có dạng $4k+2$ (với $k$ là số tự nhiên bất kỳ) — không thể thử từng số vì có vô số số thuộc dạng này. Ý tưởng tự nhiên là xét xem một số chính phương khi chia cho 4 có thể dư bao nhiêu, rồi so sánh với số dư của $4k+2$.
2
Nếu $n$ là số chẵn, viết $n=2p$ . Khi đó $n^2=(2p)^2=4p^2$ , chia hết cho 4, tức chia cho 4 dư 0.
Nếu $n$ là số chẵn, viết $n=2p$. Khi đó $n^2=(2p)^2=4p^2$, chia hết cho 4, tức chia cho 4 dư 0.
3
Nếu $n$ là số lẻ, thử vài ví dụ: $1^2=1$ , $3^2=9$ , $5^2=25$ , $7^2=49$ — chia cho 4 đều dư 1. Thật vậy, số lẻ luôn viết được là $2p+1$ , và $n^2=4p^2+4p+1=4(p^2+p)+1$ , chia cho 4 dư 1.
Nếu $n$ là số lẻ, thử vài ví dụ: $1^2=1$, $3^2=9$, $5^2=25$, $7^2=49$ — chia cho 4 đều dư 1. Thật vậy, số lẻ luôn viết được là $2p+1$, và $n^2=4p^2+4p+1=4(p^2+p)+1$, chia cho 4 dư 1.
4
Mọi số tự nhiên đều chẵn hoặc lẻ, nên mọi số chính phương khi chia cho 4 chỉ có thể dư 0 (nếu gốc chẵn) hoặc dư 1 (nếu gốc lẻ) — không bao giờ dư 2 hay dư 3.
5
Số có dạng $4k+2$ luôn chia cho 4 dư 2, vì $4k$ chia hết cho 4. Vì số chính phương không bao giờ chia 4 dư 2, nên số dạng $4k+2$ không thể là số chính phương. Vậy khẳng định được chứng minh.
Số có dạng $4k+2$ luôn chia cho 4 dư 2, vì $4k$ chia hết cho 4. Vì số chính phương không bao giờ chia 4 dư 2, nên số dạng $4k+2$ không thể là số chính phương. Vậy khẳng định được chứng minh.
6
Cách xét số dư khi chia cho 4 theo hai trường hợp chẵn – lẻ là công cụ dùng lại được cho nhiều bài 'chứng minh một số không thể là số chính phương'. Biến thể gần: cùng lập luận cho thấy số dạng $4k+3$ cũng không thể là số chính phương; còn dạng $4k+1$ hay $4k$ thì CÓ THỂ là số chính phương, ví dụ $9=4\times2+1$ và $16=4\times4$ .
Cách xét số dư khi chia cho 4 theo hai trường hợp chẵn – lẻ là công cụ dùng lại được cho nhiều bài 'chứng minh một số không thể là số chính phương'. Biến thể gần: cùng lập luận cho thấy số dạng $4k+3$ cũng không thể là số chính phương; còn dạng $4k+1$ hay $4k$ thì CÓ THỂ là số chính phương, ví dụ $9=4\times2+1$ và $16=4\times4$.

Bẫy thường gặp

Một, quên xét đủ cả hai trường hợp chẵn và lẻ khi lập luận về số dư — bỏ sót một trường hợp là lời giải chưa đầy đủ. Hai, với bài tìm hai số theo ƯCLN, quên kiểm tra lại điều kiện nguyên tố cùng nhau của $(m,n)$ ; nếu $m,n$ có ước chung thì ƯCLN thật của $(a,b)$ sẽ lớn hơn đề cho. Ba, nhầm 'bài toán ngược' (cho ƯCLN, tìm số) với 'bài toán xuôi' (cho số, tìm ƯCLN) — hai loại đòi hỏi hai cách làm khác hẳn nhau.

Một, quên xét đủ cả hai trường hợp chẵn và lẻ khi lập luận về số dư — bỏ sót một trường hợp là lời giải chưa đầy đủ. Hai, với bài tìm hai số theo ƯCLN, quên kiểm tra lại điều kiện nguyên tố cùng nhau của $(m,n)$; nếu $m,n$ có ước chung thì ƯCLN thật của $(a,b)$ sẽ lớn hơn đề cho. Ba, nhầm 'bài toán ngược' (cho ƯCLN, tìm số) với 'bài toán xuôi' (cho số, tìm ƯCLN) — hai loại đòi hỏi hai cách làm khác hẳn nhau.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Ghi nhớ

Một bài toán trở thành HSG khi cách hỏi thay đổi: đổi chiều (cho kết quả, tìm số liệu ban đầu) hoặc mở rộng thành yêu cầu đúng với mọi trường hợp. Hai kỹ thuật vừa học — đặt $a=dm,b=dn$ khi biết ƯCLN, và xét số dư khi chia cho 4 để loại số chính phương — đều là ví dụ của việc đổi góc nhìn thay vì tính toán nhiều hơn.

Ở cả hai ví dụ trên, khi tìm ra đáp số, em đều phải giải thích VÌ SAO đáp số đó đúng, chứ không chỉ ghi ra con số. Bài học tiếp theo dạy đúng kỹ năng viết lời giải thích đó theo một cấu trúc ba bước rõ ràng, dùng được cho bất kỳ bài toán chia hết đơn giản nào.