Bài học

ƯCLN(a,b) × BCNN(a,b) = a × b — công thức và kiểm tra tính hợp lý

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu và chứng minh được đẳng thức $ƯCLN(a,b) \times BCNN(a,b) = a \times b$ , dùng nó để tính nhanh ƯCLN hoặc BCNN khi biết đại lượng còn lại, và kiểm tra được một cặp $(ƯCLN, BCNN)$ cho trước có thật sự tồn tại hay không trước khi lao vào giải.

Sau bài này, em phát biểu và chứng minh được đẳng thức $ƯCLN(a,b) \times BCNN(a,b) = a \times b$, dùng nó để tính nhanh ƯCLN hoặc BCNN khi biết đại lượng còn lại, và kiểm tra được một cặp $(ƯCLN, BCNN)$ cho trước có thật sự tồn tại hay không trước khi lao vào giải.

Kiến thức cần có

Em cần vững cách tìm ƯCLN, BCNN bằng phân tích ra thừa số nguyên tố (đã học ở khóa Chuẩn lớp 6) và khái niệm ước, bội. Bài này không đưa thêm kiến thức ngoài chương trình, chỉ khai thác sâu hơn mối quan hệ giữa ba đại lượng ƯCLN, BCNN và tích hai số — mối quan hệ mà đề chuẩn hiếm khi hỏi tới.

Đề chuẩn lớp 6 dừng ở việc tính ƯCLN(24, 36) hoặc BCNN(24, 36) một cách trực tiếp từ phân tích thừa số nguyên tố. Bài HSG đi theo chiều ngược: cho một vài đại lượng trong bốn đại lượng $a$ , $b$ , $ƯCLN(a,b)$ , $BCNN(a,b)$ , tìm đại lượng còn lại — thậm chí phải tự phát hiện khi nào một cặp số được cho là vô lý. Đây chính là ranh giới giữa "tính" và "suy luận".

Đề chuẩn lớp 6 dừng ở việc tính ƯCLN(24, 36) hoặc BCNN(24, 36) một cách trực tiếp từ phân tích thừa số nguyên tố. Bài HSG đi theo chiều ngược: cho một vài đại lượng trong bốn đại lượng $a$, $b$, $ƯCLN(a,b)$, $BCNN(a,b)$, tìm đại lượng còn lại — thậm chí phải tự phát hiện khi nào một cặp số được cho là vô lý. Đây chính là ranh giới giữa "tính" và "suy luận".

Bài toán khởi động

Tính ƯCLN(24, 36) và BCNN(24, 36) bằng phân tích nhân tử, rồi nhân hai kết quả đó với nhau. So sánh với tích $24 \times 36$ . Em có nhận xét gì?

$24 = 2^3 \times 3$ , $36 = 2^2 \times 3^2$ . ƯCLN lấy số mũ nhỏ nhất ở mỗi thừa số: $2^2 \times 3 = 12$ . BCNN lấy số mũ lớn nhất: $2^3 \times 3^2 = 72$ . Tích hai kết quả: $12 \times 72 = 864$ . Còn $24 \times 36 = 864$ . Hai con số này bằng nhau — không phải ngẫu nhiên.

Tính ƯCLN(24, 36) và BCNN(24, 36) bằng phân tích nhân tử, rồi nhân hai kết quả đó với nhau. So sánh với tích $24 \times 36$. Em có nhận xét gì? $24 = 2^3 \times 3$, $36 = 2^2 \times 3^2$. ƯCLN lấy số mũ nhỏ nhất ở mỗi thừa số: $2^2 \times 3 = 12$. BCNN lấy số mũ lớn nhất: $2^3 \times 3^2 = 72$. Tích hai kết quả: $12 \times 72 = 864$. Còn $24 \times 36 = 864$. Hai con số này bằng nhau — không phải ngẫu nhiên.

Ý tưởng cốt lõi

Đặt $d = ƯCLN(a,b)$ . Khi đó $a = d \cdot m$ , $b = d \cdot n$ với $m, n$ là hai số nguyên tố cùng nhau (nếu $m, n$ còn chung ước thì $d$ chưa phải ước chung lớn nhất, mâu thuẫn với định nghĩa). Vì $m, n$ nguyên tố cùng nhau, bội chung nhỏ nhất của $a = dm$ và $b = dn$ chính là $d \cdot m \cdot n$ — không có cách rút gọn nào nhỏ hơn. Nhân $d$ với $BCNN(a,b) = d \cdot m \cdot n$ : $d \times (dmn) = (dm) \times (dn) = a \times b$ . Vậy $ƯCLN(a,b) \times BCNN(a,b) = a \times b$ đúng với MỌI cặp số tự nhiên $a, b$ , không riêng gì cặp $(24, 36)$ .

Đặt $d = ƯCLN(a,b)$. Khi đó $a = d \cdot m$, $b = d \cdot n$ với $m, n$ là hai số nguyên tố cùng nhau (nếu $m, n$ còn chung ước thì $d$ chưa phải ước chung *lớn nhất*, mâu thuẫn với định nghĩa). Vì $m, n$ nguyên tố cùng nhau, bội chung nhỏ nhất của $a = dm$ và $b = dn$ chính là $d \cdot m \cdot n$ — không có cách rút gọn nào nhỏ hơn. Nhân $d$ với $BCNN(a,b) = d \cdot m \cdot n$: $d \times (dmn) = (dm) \times (dn) = a \times b$. Vậy $ƯCLN(a,b) \times BCNN(a,b) = a \times b$ đúng với MỌI cặp số tự nhiên $a, b$, không riêng gì cặp $(24, 36)$.

Vì sao cách đặt $a = dm$ , $b = dn$ với $(m,n)$ nguyên tố cùng nhau lại là bước đi tự nhiên? Vì ƯCLN đã "gói" hết phần chung của $a$ và $b$ vào $d$ — phần còn lại ( $m$ và $n$ ) buộc phải không còn gì chung nữa, nếu không $d$ đã không phải là ước chung lớn nhất. Nhìn theo cách này, $m$ và $n$ đóng vai trò như "phần riêng" của mỗi số sau khi đã tách hết phần chung ra.

Vì sao cách đặt $a = dm$, $b = dn$ với $(m,n)$ nguyên tố cùng nhau lại là bước đi tự nhiên? Vì ƯCLN đã "gói" hết phần chung của $a$ và $b$ vào $d$ — phần còn lại ($m$ và $n$) buộc phải không còn gì chung nữa, nếu không $d$ đã không phải là ước chung lớn nhất. Nhìn theo cách này, $m$ và $n$ đóng vai trò như "phần riêng" của mỗi số sau khi đã tách hết phần chung ra.

Ví dụ áp dụng

Ví dụ

Ví dụ 1 — Tính BCNN từ ƯCLN và tích

1
Biết $ƯCLN(a,b) = 6$ và $a \times b = 216$ . Tính $BCNN(a,b)$ .
Biết $ƯCLN(a,b) = 6$ và $a \times b = 216$. Tính $BCNN(a,b)$.
2
Theo đẳng thức vừa chứng minh, $ƯCLN(a,b) \times BCNN(a,b) = a \times b$ , tức $6 \times BCNN(a,b) = 216$ .
Theo đẳng thức vừa chứng minh, $ƯCLN(a,b) \times BCNN(a,b) = a \times b$, tức $6 \times BCNN(a,b) = 216$.
3
$BCNN(a,b) = 216 \div 6 = 36$ .
$BCNN(a,b) = 216 \div 6 = 36$.
4
Vì $ƯCLN(a,b)$ luôn là ước của $BCNN(a,b)$ (do $BCNN = d \cdot m \cdot n$ luôn chia hết cho $d$ ), ta kiểm tra $36 \div 6 = 6$ — là số nguyên, vậy kết quả hợp lý.
Vì $ƯCLN(a,b)$ luôn là ước của $BCNN(a,b)$ (do $BCNN = d \cdot m \cdot n$ luôn chia hết cho $d$), ta kiểm tra $36 \div 6 = 6$ — là số nguyên, vậy kết quả hợp lý.
5
Ta có $ƯCLN(a,b) \times BCNN(a,b) = a \times b$ (1) — đẳng thức đã chứng minh. Thay số vào (1): $6 \times BCNN(a,b) = 216$ , suy ra $BCNN(a,b) = 216 \div 6 = 36$ . Kiểm tra: $36 \div 6 = 6$ là số nguyên nên $6$ thật sự là ước của $36$ (2), đúng tính chất ƯCLN luôn là ước của BCNN. Vậy $BCNN(a,b) = 36$ .
Ta có $ƯCLN(a,b) \times BCNN(a,b) = a \times b$ (1) — đẳng thức đã chứng minh. Thay số vào (1): $6 \times BCNN(a,b) = 216$, suy ra $BCNN(a,b) = 216 \div 6 = 36$. Kiểm tra: $36 \div 6 = 6$ là số nguyên nên $6$ thật sự là ước của $36$ (2), đúng tính chất ƯCLN luôn là ước của BCNN. Vậy $BCNN(a,b) = 36$.
6
Đổi $a \times b$ từ $216$ thành $210$ , giữ $ƯCLN = 6$ : khi đó $BCNN = 210 \div 6 = 35$ . Nhưng $35 \div 6$ không phải số nguyên — $6$ không phải ước của $35$ — nên không tồn tại cặp $a, b$ nào có $ƯCLN = 6$ và tích bằng $210$ . Đổi một con số nhỏ có thể biến bài toán từ "có nghiệm" thành "vô nghiệm".
Đổi $a \times b$ từ $216$ thành $210$, giữ $ƯCLN = 6$: khi đó $BCNN = 210 \div 6 = 35$. Nhưng $35 \div 6$ không phải số nguyên — $6$ không phải ước của $35$ — nên không tồn tại cặp $a, b$ nào có $ƯCLN = 6$ và tích bằng $210$. Đổi một con số nhỏ có thể biến bài toán từ "có nghiệm" thành "vô nghiệm".

Với

a = 90 = 2 \times 3^2 \times 5

và

b = 126 = 2 \times 3^2 \times 7

ƯCLN = 2 \times 3^2 = 18

BCNN = 2 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 630

. Kiểm tra:

18 \times 630 = 11\,340 = 90 \times 126

. ƯCLN luôn là số nhỏ nhất trong bốn đại lượng, BCNN luôn là số lớn nhất.Với $a = 90 = 2 \times 3^2 \times 5$ và $b = 126 = 2 \times 3^2 \times 7$: $ƯCLN = 2 \times 3^2 = 18$, $BCNN = 2 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 630$. Kiểm tra: $18 \times 630 = 11\,340 = 90 \times 126$. ƯCLN luôn là số nhỏ nhất trong bốn đại lượng, BCNN luôn là số lớn nhất.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Kiểm tra một cặp (ƯCLN, BCNN) có tồn tại hay không

1
Cặp $(ƯCLN, BCNN) = (8, 36)$ có thể là ƯCLN và BCNN của hai số tự nhiên nào đó không? Còn cặp $(12, 180)$ thì sao?
Cặp $(ƯCLN, BCNN) = (8, 36)$ có thể là ƯCLN và BCNN của hai số tự nhiên nào đó không? Còn cặp $(12, 180)$ thì sao?
2
Vì $BCNN(a,b) = d \cdot m \cdot n$ với $d = ƯCLN(a,b)$ , số $BCNN$ luôn là bội của $ƯCLN$ — nói cách khác, $ƯCLN$ phải là ước của $BCNN$ . Đây là điều kiện bắt buộc, kiểm tra được ngay mà không cần tìm $a, b$ cụ thể.
Vì $BCNN(a,b) = d \cdot m \cdot n$ với $d = ƯCLN(a,b)$, số $BCNN$ luôn là bội của $ƯCLN$ — nói cách khác, $ƯCLN$ phải là ước của $BCNN$. Đây là điều kiện bắt buộc, kiểm tra được ngay mà không cần tìm $a, b$ cụ thể.
3
$36 \div 8 = 4{,}5$ — không phải số nguyên. Vậy $8$ không phải ước của $36$ , cặp $(8, 36)$ KHÔNG thể là $(ƯCLN, BCNN)$ của bất kỳ hai số tự nhiên nào.
$36 \div 8 = 4{,}5$ — không phải số nguyên. Vậy $8$ không phải ước của $36$, cặp $(8, 36)$ KHÔNG thể là $(ƯCLN, BCNN)$ của bất kỳ hai số tự nhiên nào.
4
$180 \div 12 = 15$ — là số nguyên. Điều kiện cần được thỏa mãn. Thử dựng một cặp cụ thể: chọn $m = 1, n = 15$ (nguyên tố cùng nhau vì $15$ và $1$ không có ước chung nào ngoài $1$ ), được $a = 12, b = 180$ . Kiểm tra: $ƯCLN(12, 180) = 12$ (vì $12$ là ước của $180$ ), $BCNN(12, 180) = 180$ . Đúng như yêu cầu.
$180 \div 12 = 15$ — là số nguyên. Điều kiện cần được thỏa mãn. Thử dựng một cặp cụ thể: chọn $m = 1, n = 15$ (nguyên tố cùng nhau vì $15$ và $1$ không có ước chung nào ngoài $1$), được $a = 12, b = 180$. Kiểm tra: $ƯCLN(12, 180) = 12$ (vì $12$ là ước của $180$), $BCNN(12, 180) = 180$. Đúng như yêu cầu.
5
Điều kiện để cặp $(d, L)$ là ƯCLN và BCNN của hai số tự nhiên nào đó: $d$ phải là ước của $L$ (1), vì $L = d \cdot m \cdot n$ luôn chia hết cho $d$ . Xét cặp $(8,36)$ : $36 = 8 \times 4 + 4$ , dư khác $0$ , nên $8$ không là ước của $36$ ; theo (1), cặp này không tồn tại. Xét cặp $(12,180)$ : $180 = 12 \times 15$ , chia hết, nên $12$ là ước của $180$ ; theo (1), cặp này tồn tại — ví dụ $a=12,b=180$ . Vậy $(8,36)$ vô lý, $(12,180)$ hợp lý.
Điều kiện để cặp $(d, L)$ là ƯCLN và BCNN của hai số tự nhiên nào đó: $d$ phải là ước của $L$ (1), vì $L = d \cdot m \cdot n$ luôn chia hết cho $d$. Xét cặp $(8,36)$: $36 = 8 \times 4 + 4$, dư khác $0$, nên $8$ không là ước của $36$; theo (1), cặp này không tồn tại. Xét cặp $(12,180)$: $180 = 12 \times 15$, chia hết, nên $12$ là ước của $180$; theo (1), cặp này tồn tại — ví dụ $a=12,b=180$. Vậy $(8,36)$ vô lý, $(12,180)$ hợp lý.
6
Đổi cặp thành $(9, 180)$ : $180 \div 9 = 20$ , là số nguyên, nên điều kiện cần vẫn thỏa. Nhưng điều kiện $d$ là ước của $L$ chỉ là điều kiện CẦN — không đảm bảo mọi cách chọn $m,n$ đều cho đúng $ƯCLN = 9$ (chẳng hạn $m,n$ phải được chọn sao cho $9$ thật sự là phần chung, không lớn hơn). Đây là lý do Bài học sau phải học cách dựng đủ MỌI cặp $(a,b)$ hợp lệ, không chỉ kiểm tra tồn tại.
Đổi cặp thành $(9, 180)$: $180 \div 9 = 20$, là số nguyên, nên điều kiện cần vẫn thỏa. Nhưng điều kiện $d$ là ước của $L$ chỉ là điều kiện CẦN — không đảm bảo mọi cách chọn $m,n$ đều cho đúng $ƯCLN = 9$ (chẳng hạn $m,n$ phải được chọn sao cho $9$ thật sự là phần chung, không lớn hơn). Đây là lý do Bài học sau phải học cách dựng đủ MỌI cặp $(a,b)$ hợp lệ, không chỉ kiểm tra tồn tại.

Ví dụ

Ví dụ 3 — Bài toán ngược: tìm ƯCLN khi biết BCNN và tích

1
Biết $BCNN(a,b) = 240$ và $a \times b = 3600$ . Tìm $ƯCLN(a,b)$ .
Biết $BCNN(a,b) = 240$ và $a \times b = 3600$. Tìm $ƯCLN(a,b)$.
2
$ƯCLN(a,b) \times BCNN(a,b) = a \times b \Rightarrow ƯCLN(a,b) \times 240 = 3600$ .
$ƯCLN(a,b) \times BCNN(a,b) = a \times b \Rightarrow ƯCLN(a,b) \times 240 = 3600$.
3
$ƯCLN(a,b) = 3600 \div 240 = 15$ .
$ƯCLN(a,b) = 3600 \div 240 = 15$.
4
$240 \div 15 = 16$ , là số nguyên — $15$ đúng là ước của $240$ , kết quả hợp lý. Dựng thử: $m=1, n=16$ (nguyên tố cùng nhau) cho $a=15, b=240$ ; kiểm tra $BCNN(15,240)=240$ (vì $240$ là bội của $15$ ) và $15 \times 240 = 3600$ , khớp đề.
$240 \div 15 = 16$, là số nguyên — $15$ đúng là ước của $240$, kết quả hợp lý. Dựng thử: $m=1, n=16$ (nguyên tố cùng nhau) cho $a=15, b=240$; kiểm tra $BCNN(15,240)=240$ (vì $240$ là bội của $15$) và $15 \times 240 = 3600$, khớp đề.
5
Ta có $ƯCLN(a,b) \times BCNN(a,b) = a \times b$ (1). Thay số: $ƯCLN(a,b) \times 240 = 3600$ , suy ra $ƯCLN(a,b) = 3600 \div 240 = 15$ . Kiểm tra điều kiện cần: $240 \div 15 = 16$ nguyên, nên $15$ là ước của $240$ (2), hợp lý theo Ví dụ 2. Với $m=1,n=16$ , $(m,n)=1$ , ta dựng được $a=15,b=240$ thỏa cả hai điều kiện đề bài. Vậy $ƯCLN(a,b) = 15$ .
Ta có $ƯCLN(a,b) \times BCNN(a,b) = a \times b$ (1). Thay số: $ƯCLN(a,b) \times 240 = 3600$, suy ra $ƯCLN(a,b) = 3600 \div 240 = 15$. Kiểm tra điều kiện cần: $240 \div 15 = 16$ nguyên, nên $15$ là ước của $240$ (2), hợp lý theo Ví dụ 2. Với $m=1,n=16$, $(m,n)=1$, ta dựng được $a=15,b=240$ thỏa cả hai điều kiện đề bài. Vậy $ƯCLN(a,b) = 15$.
6
Đổi $a \times b$ từ $3600$ thành $3620$ , giữ $BCNN=240$ : $ƯCLN = 3620 \div 240 = 15{,}0833\ldots$ không phải số nguyên. Vì ƯCLN luôn là số tự nhiên, đề bài như vậy vô lý — không tồn tại cặp $a,b$ nào thỏa mãn. Bài học: trước khi tin kết quả chia, luôn kiểm tra nó có phải số tự nhiên hay không.
Đổi $a \times b$ từ $3600$ thành $3620$, giữ $BCNN=240$: $ƯCLN = 3620 \div 240 = 15{,}0833\ldots$ không phải số nguyên. Vì ƯCLN luôn là số tự nhiên, đề bài như vậy vô lý — không tồn tại cặp $a,b$ nào thỏa mãn. Bài học: trước khi tin kết quả chia, luôn kiểm tra nó có phải số tự nhiên hay không.

Bẫy thường gặp

(1) Nhầm tưởng cặp $(ƯCLN, BCNN)$ nào cũng "có vẻ hợp lý" — luôn kiểm tra $ƯCLN$ có là ước của $BCNN$ hay không trước khi giải tiếp. (2) Đẳng thức $ƯCLN \times BCNN = a \times b$ CHỈ áp dụng cho ĐÚNG HAI số — với ba số trở lên, đẳng thức này không còn đúng (một sai lầm thường gặp khi học sinh áp dụng máy móc). (3) Sau khi chia ra một kết quả, luôn kiểm tra nó có phải số tự nhiên hay không — kết quả không nguyên nghĩa là đề bài vô lý hoặc em tính sai.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Thử thách

Điều cần nhớ

Ba điều cần nhớ: (1) $ƯCLN(a,b) \times BCNN(a,b) = a \times b$ đúng với MỌI cặp hai số tự nhiên. (2) $ƯCLN(a,b)$ luôn là ước của $BCNN(a,b)$ — đây là điều kiện CẦN để kiểm tra một cặp $(d, L)$ cho trước có hợp lý hay không, trước khi giải tiếp. (3) Đẳng thức chỉ cho biết TÍCH $a \times b$ chứ chưa xác định riêng từng số $a, b$ — muốn tìm đúng $a, b$ , cần thêm kỹ thuật tham số hóa ở bài sau.

Ba điều cần nhớ: (1) $ƯCLN(a,b) \times BCNN(a,b) = a \times b$ đúng với MỌI cặp hai số tự nhiên. (2) $ƯCLN(a,b)$ luôn là ước của $BCNN(a,b)$ — đây là điều kiện CẦN để kiểm tra một cặp $(d, L)$ cho trước có hợp lý hay không, trước khi giải tiếp. (3) Đẳng thức chỉ cho biết TÍCH $a \times b$ chứ chưa xác định riêng từng số $a, b$ — muốn tìm đúng $a, b$, cần thêm kỹ thuật tham số hóa ở bài sau.

Bài tiếp theo: đẳng thức hôm nay cho biết tích $a \times b$ , nhưng chưa tách riêng được $a$ và $b$ — như Ví dụ 2 đã hé lộ, cùng một cặp $(ƯCLN, BCNN)$ hợp lý có thể ứng với nhiều cặp số khác nhau. Bài học tiếp theo dùng đúng cách đặt $a = dm$ , $b = dn$ với $(m,n) = 1$ để liệt kê ĐẦY ĐỦ mọi cặp số thỏa mãn, thay vì chỉ dựng ra một ví dụ.

**Bài tiếp theo:** đẳng thức hôm nay cho biết tích $a \times b$, nhưng chưa tách riêng được $a$ và $b$ — như Ví dụ 2 đã hé lộ, cùng một cặp $(ƯCLN, BCNN)$ hợp lý có thể ứng với nhiều cặp số khác nhau. Bài học tiếp theo dùng đúng cách đặt $a = dm$, $b = dn$ với $(m,n) = 1$ để liệt kê ĐẦY ĐỦ mọi cặp số thỏa mãn, thay vì chỉ dựng ra một ví dụ.