Bài học

Nhận diện tín hiệu: GTTĐ, dãy tỉ số, hay phân tích nhân tử

Mục tiêu

Bảy khóa HSG Toán 7 trước đã trang bị cho em bảy công cụ khác nhau: chứng minh chuẩn, bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối, dãy tỉ số bằng nhau, hằng đẳng thức và phân tích nhân tử, chứng minh hình học nhiều bước, cực trị hình học, và đếm — xác suất. Khóa cuối cùng này không dạy thêm công cụ mới. Nó dạy một việc khó hơn nhiều: đứng trước một đề bài không nói trước phải dùng gì, em có nhận ra ngay công cụ phù hợp hay không.

Trong phòng thi học sinh giỏi thật, đề không bao giờ ghi sẵn "dùng GTTĐ để giải câu này". Đề chỉ đưa ra một yêu cầu trung tính: tìm giá trị nhỏ nhất, tìm hai số, hoặc phân tích một biểu thức. Việc đầu tiên một học sinh giỏi làm không phải là bắt tay tính ngay, mà là đọc tín hiệu trong đề để đoán đúng hướng đi trước khi đặt bút.

Kiến thức nền cần dùng lại

Bài học này không dạy kỹ thuật mới, chỉ dạy cách chọn đúng kỹ thuật em đã học. Ba công cụ được ôn lại: bất đẳng thức $|a|+|b|\ge|a+b|$ cùng điểm rơi (khóa Số Hữu Tỉ và Giá Trị Tuyệt Đối Nâng Cao), cách đặt $k$ chung trong dãy tỉ số bằng nhau và kỹ thuật thêm-bớt (khóa Tỉ Lệ Thức và Dãy Tỉ Số Bằng Nhau Nâng Cao), và cách nhóm hạng tử để lộ ra hằng đẳng thức khi phân tích nhân tử (khóa Đơn Thức, Đa Thức và Phân Tích Nhân Tử Nâng Cao). Nếu một trong ba còn mơ hồ, em nên ôn lại khóa tương ứng trước khi học tiếp.

Vì sao ba bài toán sau dễ gây nhầm lẫn

Ba bài toán dưới đây có một điểm chung dễ đánh lừa: đều yêu cầu tìm một giá trị hoặc chứng minh một đẳng thức, và biểu thức trong đề đều có vẻ "phức tạp" như nhau ở cái nhìn đầu tiên. Nhưng bài 1 hỏi về giá trị nhỏ nhất của một tổng chứa dấu giá trị tuyệt đối, bài 2 cho một chuỗi tỉ số bằng nhau kèm điều kiện tổng — hiệu, còn bài 3 chỉ đơn thuần yêu cầu phân tích thành nhân tử. Ba yêu cầu khác hẳn nhau, nên ba công cụ cũng khác hẳn nhau.

Đọc tín hiệu trước, chọn công cụ, rồi mới tính — đó là kỹ năng khóa này rèn luyện.

Bài toán 1 — Tín hiệu giá trị tuyệt đối

Ví dụ

Bài toán 1 — Tìm giá trị nhỏ nhất của một tổng hai giá trị tuyệt đối

1
Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=|x-3|+|x+5|$ với $x$ là số hữu tỉ.
Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=|x-3|+|x+5|$ với $x$ là số hữu tỉ.
2
Biểu thức chỉ chứa hai dấu giá trị tuyệt đối cộng lại và câu hỏi là giá trị nhỏ nhất — đúng tín hiệu GTTĐ. Không có chuỗi tỉ số nào để đặt $k$ chung, cũng không có gì để phân tích nhân tử.
Biểu thức chỉ chứa hai dấu giá trị tuyệt đối cộng lại và câu hỏi là giá trị nhỏ nhất — đúng tín hiệu GTTĐ. Không có chuỗi tỉ số nào để đặt $k$ chung, cũng không có gì để phân tích nhân tử.
3
Ta có $|x-3|$ là khoảng cách từ $x$ đến $3$ , còn $|x+5|=|x-(-5)|$ là khoảng cách từ $x$ đến $-5$ trên trục số. Vậy $A$ chính là tổng khoảng cách từ $x$ đến hai điểm $3$ và $-5$ . (1)
Ta có $|x-3|$ là khoảng cách từ $x$ đến $3$, còn $|x+5|=|x-(-5)|$ là khoảng cách từ $x$ đến $-5$ trên trục số. Vậy $A$ chính là tổng khoảng cách từ $x$ đến hai điểm $3$ và $-5$. (1)
4
Theo (1), tổng khoảng cách từ một điểm $x$ đến hai điểm cố định $3$ và $-5$ nhỏ nhất khi $x$ nằm giữa hai điểm đó, và khi đó tổng bằng đúng khoảng cách giữa $3$ và $-5$ , tức $A_{\min}=3-(-5)=8$ .
Theo (1), tổng khoảng cách từ một điểm $x$ đến hai điểm cố định $3$ và $-5$ nhỏ nhất khi $x$ nằm giữa hai điểm đó, và khi đó tổng bằng đúng khoảng cách giữa $3$ và $-5$, tức $A_{\min}=3-(-5)=8$.
5
Vậy $A_{\min}=8$ , đạt được khi $-5\le x\le3$ .
Vậy $A_{\min}=8$, đạt được khi $-5\le x\le3$.
6
Ghi nhớ: mọi bài $|x-a|+|x-b|$ ( $a<b$ ) đều có giá trị nhỏ nhất bằng $b-a$ , đạt được với mọi $x\in[a;b]$ — không chỉ một điểm rơi duy nhất. Biến thể gần: nếu đổi thành $|x-3|-|x+5|$ , dấu trừ phá vỡ tính chất khoảng cách cộng, cách làm trên không còn áp dụng được.
Ghi nhớ: mọi bài $|x-a|+|x-b|$ ($a<b$) đều có giá trị nhỏ nhất bằng $b-a$, đạt được với mọi $x\in[a;b]$ — không chỉ một điểm rơi duy nhất. Biến thể gần: nếu đổi thành $|x-3|-|x+5|$, dấu trừ phá vỡ tính chất khoảng cách cộng, cách làm trên không còn áp dụng được.

Mọi x trong đoạn đánh dấu đều cho A = 8, không chỉ một điểm duy nhất.

Bài toán 2 — Tín hiệu dãy tỉ số bằng nhau

Ví dụ

Bài toán 2 — Tìm ba số từ một chuỗi tỉ số bằng nhau và một điều kiện tổng — hiệu

1
Tìm $x,y,z$ biết $\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{5}$ và $x+y-z=6$ .
Tìm $x,y,z$ biết $\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{5}$ và $x+y-z=6$.
2
Đề cho sẵn một chuỗi ba tỉ số bằng nhau kèm một điều kiện tuyến tính trên $x,y,z$ — đúng tín hiệu dãy tỉ số: đặt ẩn phụ $k$ chung rồi thay vào điều kiện.
Đề cho sẵn một chuỗi ba tỉ số bằng nhau kèm một điều kiện tuyến tính trên $x,y,z$ — đúng tín hiệu dãy tỉ số: đặt ẩn phụ $k$ chung rồi thay vào điều kiện.
3
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, đặt $\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{5}=k$ , suy ra $x=3k,\ y=4k,\ z=5k$ . (1)
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, đặt $\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{5}=k$, suy ra $x=3k,\ y=4k,\ z=5k$. (1)
4
Thay (1) vào $x+y-z=6$ : $3k+4k-5k=6$ , tức $2k=6$ , suy ra $k=3$ . (2)
Thay (1) vào $x+y-z=6$: $3k+4k-5k=6$, tức $2k=6$, suy ra $k=3$. (2)
5
Từ (1) và (2): $x=3\times3=9,\ y=4\times3=12,\ z=5\times3=15$ . Kiểm tra lại: $9+12-15=6$ (TMĐK). Vậy $(x,y,z)=(9,12,15)$ .
Từ (1) và (2): $x=3\times3=9,\ y=4\times3=12,\ z=5\times3=15$. Kiểm tra lại: $9+12-15=6$ (TMĐK). Vậy $(x,y,z)=(9,12,15)$.
6
Ghi nhớ: mọi bài cho chuỗi tỉ số bằng nhau kèm một điều kiện tổng hoặc hiệu tuyến tính đều quy về đặt $k$ chung rồi thay vào điều kiện để tìm $k$ trước, tính từng số sau. Biến thể gần: nếu điều kiện đổi thành $2x-y+z=17$ , cách làm giữ nguyên, chỉ đổi phương trình tìm $k$ .
Ghi nhớ: mọi bài cho chuỗi tỉ số bằng nhau kèm một điều kiện tổng hoặc hiệu tuyến tính đều quy về đặt $k$ chung rồi thay vào điều kiện để tìm $k$ trước, tính từng số sau. Biến thể gần: nếu điều kiện đổi thành $2x-y+z=17$, cách làm giữ nguyên, chỉ đổi phương trình tìm $k$.

Bài toán 3 — Tín hiệu phân tích nhân tử

Ví dụ

Bài toán 3 — Phân tích một đa thức hai biến bốn hạng tử

1
Phân tích thành nhân tử: $P=x^2-y^2+5x-5y$ .
Phân tích thành nhân tử: $P=x^2-y^2+5x-5y$.
2
Đề không có chuỗi tỉ số, cũng không hỏi giá trị nhỏ nhất — chỉ yêu cầu phân tích nhân tử một đa thức bốn hạng tử. Đúng tín hiệu nhóm hạng tử.
3
Ta có $P=(x^2-y^2)+(5x-5y)$ . (1)
Ta có $P=(x^2-y^2)+(5x-5y)$. (1)
4
Từ (1), theo hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ , và $5x-5y=5(x-y)$ . Suy ra $P=(x-y)(x+y)+5(x-y)$ . (2)
Từ (1), theo hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, và $5x-5y=5(x-y)$. Suy ra $P=(x-y)(x+y)+5(x-y)$. (2)
5
Từ (2), $(x-y)$ là nhân tử chung của hai số hạng, nên $P=(x-y)(x+y+5)$ .
Từ (2), $(x-y)$ là nhân tử chung của hai số hạng, nên $P=(x-y)(x+y+5)$.
6
Vậy $P=(x-y)(x+y+5)$ .
Vậy $P=(x-y)(x+y+5)$.
7
Ghi nhớ: khi một đa thức bốn hạng tử có hai hạng tử tạo thành hiệu hai bình phương và hai hạng tử còn lại cùng chứa nhân tử chung với hiệu đó, hãy nhóm theo đúng cặp này trước khi thử cách nhóm khác. Biến thể gần: đổi thành $x^2-y^2-5x+5y$ , dấu của cặp sau đảo ngược, kết quả trở thành $(x-y)(x+y-5)$ .
Ghi nhớ: khi một đa thức bốn hạng tử có hai hạng tử tạo thành hiệu hai bình phương và hai hạng tử còn lại cùng chứa nhân tử chung với hiệu đó, hãy nhóm theo đúng cặp này trước khi thử cách nhóm khác. Biến thể gần: đổi thành $x^2-y^2-5x+5y$, dấu của cặp sau đảo ngược, kết quả trở thành $(x-y)(x+y-5)$.

Bẫy thường gặp

Nhiều học sinh thấy đề có từ hai biến trở lên liền phản xạ nghĩ ngay đến dãy tỉ số bằng nhau, kể cả khi đề chỉ yêu cầu phân tích nhân tử hoặc chỉ hỏi giá trị nhỏ nhất theo GTTĐ. Trước khi chọn công cụ, luôn tự hỏi: đề có cho một chuỗi tỉ số bằng nhau hay không, hay chỉ có dấu giá trị tuyệt đối, hay chỉ có một đa thức cần phân tích. Ba câu hỏi này đủ để định vị đúng bài toán.

Ba bài toán vừa giải trông có vẻ cùng một dạng "biểu thức trông phức tạp, cần tính khéo". Nhưng bài 1 cần ý tưởng khoảng cách trên trục số, bài 2 cần đặt $k$ chung trong dãy tỉ số, bài 3 chỉ cần nhóm hạng tử đúng cặp. Kỹ năng quan trọng nhất của khóa tổng hợp này không phải là nhớ thêm công thức, mà là dừng lại vài giây để đọc đúng tín hiệu trước khi đặt bút.

Bài tiếp theo đi xa hơn một bậc. Thay vì ba bài toán riêng lẻ, em sẽ giải một bài toán ba phần liền mạch kiểu đề học sinh giỏi thật: kết quả của phần a mở khóa phần b, và kết quả của phần b mở khóa phần c.