Bài học

Ôn tập tổng hợp: Số thực và Căn bậc hai số học

Mục tiêu bài học

Bài ôn tập này hệ thống lại năm công cụ đã học trong khóa: phân loại số hữu tỉ/vô tỉ, tập hợp số thực và trục số, số đối và giá trị tuyệt đối, định nghĩa căn bậc hai số học, và so sánh/ước lượng căn bậc hai — phối hợp chúng trong những bài toán dạng đề kiểm tra.

Kiến thức nền cần nhớ

Đây là bài ôn tập, không có kiến thức mới. Em cần nhớ lại: số vô tỉ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn (Chương 1); số thực gồm số hữu tỉ và số vô tỉ, so sánh bằng cách so từng hàng thập phân (Chương 2); số đối và giá trị tuyệt đối tính giống hệt số hữu tỉ (Chương 3); $\sqrt{a}$ chỉ xác định khi $a \geq 0$ và luôn không âm (Chương 4); $a < b \Rightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}$ , dùng để so sánh và ước lượng (Chương 5).

Đây là bài ôn tập, không có kiến thức mới. Em cần nhớ lại: số vô tỉ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn (Chương 1); số thực gồm số hữu tỉ và số vô tỉ, so sánh bằng cách so từng hàng thập phân (Chương 2); số đối và giá trị tuyệt đối tính giống hệt số hữu tỉ (Chương 3); $\sqrt{a}$ chỉ xác định khi $a \geq 0$ và luôn không âm (Chương 4); $a < b \Rightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}$, dùng để so sánh và ước lượng (Chương 5).

Khởi động

Một đề kiểm tra 15 phút cuối chương thường gồm vài câu, mỗi câu phối hợp từ hai kiến thức trở lên trong cùng một chương — chứ hiếm khi hỏi riêng lẻ từng khái niệm. Ba ví dụ dưới đây được xây dựng đúng theo tinh thần đó.

Ví dụ tổng hợp

Ví dụ

Phân loại và sắp xếp một dãy số hỗn hợp

1
Trong các số $-\frac{3}{2}$ , $\sqrt{9}$ , $\pi$ , $0,(45)$ , $\sqrt{3}$ , số nào là số vô tỉ? Sắp xếp cả năm số theo thứ tự tăng dần.
Trong các số $-\frac{3}{2}$, $\sqrt{9}$, $\pi$, $0,(45)$, $\sqrt{3}$, số nào là số vô tỉ? Sắp xếp cả năm số theo thứ tự tăng dần.
2
$-\frac{3}{2} = -1,5$ . $\sqrt{9} = 3$ (vì $3^2 = 9$ ) — MỘT SỐ HỮU TỈ, dù mang dấu căn. $\pi \approx 3,14159\ldots$ . $0,(45) = \frac{45}{99} = \frac{5}{11} \approx 0,4545\ldots$ — số hữu tỉ vì có chu kỳ. $\sqrt{3} \approx 1,732\ldots$ .
$-\frac{3}{2} = -1,5$. $\sqrt{9} = 3$ (vì $3^2 = 9$) — MỘT SỐ HỮU TỈ, dù mang dấu căn. $\pi \approx 3,14159\ldots$. $0,(45) = \frac{45}{99} = \frac{5}{11} \approx 0,4545\ldots$ — số hữu tỉ vì có chu kỳ. $\sqrt{3} \approx 1,732\ldots$.
3
Chỉ $\pi$ và $\sqrt{3}$ là số vô tỉ (khai triển thập phân không tuần hoàn); ba số còn lại — kể cả $\sqrt{9}$ — đều là số hữu tỉ.
Chỉ $\pi$ và $\sqrt{3}$ là số vô tỉ (khai triển thập phân không tuần hoàn); ba số còn lại — kể cả $\sqrt{9}$ — đều là số hữu tỉ.
4
So sánh năm giá trị: $-1,5 < 0,4545\ldots < 1,732\ldots < 3 < 3,14159\ldots$
So sánh năm giá trị: $-1,5 < 0,4545\ldots < 1,732\ldots < 3 < 3,14159\ldots$
5
Vậy $\pi$ và $\sqrt{3}$ là số vô tỉ; thứ tự tăng dần của cả năm số là $-\frac{3}{2} < 0,(45) < \sqrt{3} < \sqrt{9} < \pi$ .
Vậy $\pi$ và $\sqrt{3}$ là số vô tỉ; thứ tự tăng dần của cả năm số là $-\frac{3}{2} < 0,(45) < \sqrt{3} < \sqrt{9} < \pi$.

Ví dụ

Giá trị tuyệt đối phối hợp so sánh căn bậc hai

1
So sánh $|-\sqrt{5}|$ và $|2,1|$ .
So sánh $|-\sqrt{5}|$ và $|2,1|$.
2
$|-\sqrt{5}| = \sqrt{5}$ (vì $-\sqrt{5} < 0$ ). $|2,1| = 2,1$ (vì $2,1 > 0$ ).
$|-\sqrt{5}| = \sqrt{5}$ (vì $-\sqrt{5} < 0$). $|2,1| = 2,1$ (vì $2,1 > 0$).
3
Viết $2,1 = \sqrt{(2,1)^2} = \sqrt{4,41}$ . So $5$ và $4,41$ : vì $5 > 4,41$ nên $\sqrt{5} > \sqrt{4,41} = 2,1$ .
Viết $2,1 = \sqrt{(2,1)^2} = \sqrt{4,41}$. So $5$ và $4,41$: vì $5 > 4,41$ nên $\sqrt{5} > \sqrt{4,41} = 2,1$.
4
Vậy $|-\sqrt{5}| > |2,1|$ .
Vậy $|-\sqrt{5}| > |2,1|$.

Ví dụ

Bài toán tổng hợp: ước lượng và phân loại

1
Một khu đất hình vuông có diện tích $50\,m^2$ . Không dùng máy tính, ước lượng chiều dài cạnh khu đất (làm tròn đến hàng đơn vị), rồi cho biết cạnh đó là số hữu tỉ hay số vô tỉ.
Một khu đất hình vuông có diện tích $50\,m^2$. Không dùng máy tính, ước lượng chiều dài cạnh khu đất (làm tròn đến hàng đơn vị), rồi cho biết cạnh đó là số hữu tỉ hay số vô tỉ.
2
Cạnh khu đất là $\sqrt{50}$ .
Cạnh khu đất là $\sqrt{50}$.
3
$49 = 7^2$ và $64 = 8^2$ . Vì $49 < 50 < 64$ , nên $7 < \sqrt{50} < 8$ ; vì $50$ gần $49$ hơn $64$ , ước lượng cạnh khoảng $7\,m$ .
$49 = 7^2$ và $64 = 8^2$. Vì $49 < 50 < 64$, nên $7 < \sqrt{50} < 8$; vì $50$ gần $49$ hơn $64$, ước lượng cạnh khoảng $7\,m$.
4
Vì $50$ không phải số chính phương (không có số nguyên nào bình phương ra $50$ ), $\sqrt{50}$ không phải số hữu tỉ, tức là số vô tỉ.
Vì $50$ không phải số chính phương (không có số nguyên nào bình phương ra $50$), $\sqrt{50}$ không phải số hữu tỉ, tức là số vô tỉ.
5
Vậy cạnh khu đất xấp xỉ $7\,m$ , và giá trị chính xác $\sqrt{50}$ là một số vô tỉ.
Vậy cạnh khu đất xấp xỉ $7\,m$, và giá trị chính xác $\sqrt{50}$ là một số vô tỉ.

Ví dụ

Trục số thực phối hợp giá trị tuyệt đối

1
Biểu diễn gần đúng $\sqrt{2}$ và $-\sqrt{2}$ trên cùng một trục số thực, rồi nêu quan hệ giữa hai điểm này.
Biểu diễn gần đúng $\sqrt{2}$ và $-\sqrt{2}$ trên cùng một trục số thực, rồi nêu quan hệ giữa hai điểm này.
2
$\sqrt{2} \approx 1,41$ ; số đối của nó là $-\sqrt{2} \approx -1,41$ .
$\sqrt{2} \approx 1,41$; số đối của nó là $-\sqrt{2} \approx -1,41$.
3
Trên trục số, đặt điểm $\sqrt{2}$ cách gốc 0 khoảng $1,41$ đơn vị về bên phải, và điểm $-\sqrt{2}$ cách gốc 0 đúng khoảng đó nhưng về bên trái.
Trên trục số, đặt điểm $\sqrt{2}$ cách gốc 0 khoảng $1,41$ đơn vị về bên phải, và điểm $-\sqrt{2}$ cách gốc 0 đúng khoảng đó nhưng về bên trái.
4
Hai điểm đối xứng nhau qua gốc 0 và cách đều gốc 0, vì $|\sqrt{2}| = |-\sqrt{2}| = \sqrt{2}$ — đúng tính chất giá trị tuyệt đối đã học ở Chương 3.
Hai điểm đối xứng nhau qua gốc 0 và cách đều gốc 0, vì $|\sqrt{2}| = |-\sqrt{2}| = \sqrt{2}$ — đúng tính chất giá trị tuyệt đối đã học ở Chương 3.
5
Vậy $\sqrt{2}$ và $-\sqrt{2}$ là hai số đối nhau, biểu diễn bởi hai điểm đối xứng qua gốc 0 trên trục số thực.
Vậy $\sqrt{2}$ và $-\sqrt{2}$ là hai số đối nhau, biểu diễn bởi hai điểm đối xứng qua gốc 0 trên trục số thực.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp khi ôn tập tổng hợp: tưởng rằng mọi biểu thức có dấu căn đều là số vô tỉ. Ví dụ trên cho thấy $\sqrt{9} = 3$ vẫn là số hữu tỉ — phải kiểm tra số dưới dấu căn có phải số chính phương hay không trước khi kết luận. Một lỗi khác cũng hay gặp trong đề tổng hợp: quên đổi hệ số đứng trước dấu căn vào trong dấu căn trước khi so sánh (Chương 5), hoặc quên xét dấu trước khi tính giá trị tuyệt đối (Chương 3).

Vị trí của năm số trong ví dụ tổng hợp trên cùng một trục số thực.

Qua năm bài, khóa học đã mở rộng dần tập số: từ số hữu tỉ quen thuộc sang số vô tỉ, gộp lại thành số thực, rồi trang bị công cụ đo khoảng cách (giá trị tuyệt đối) và công cụ tính ngược của phép bình phương (căn bậc hai số học). Đây là nền tảng bắt buộc cho các phép biến đổi biểu thức chứa căn ở lớp 9 — nhưng ở lớp 7, em chỉ cần làm chủ đúng năm công cụ này, không cần và không nên vội học trước các kỹ thuật biến đổi căn thức.

Khi làm một đề kiểm tra thật, việc đầu tiên nên làm với mỗi câu là hỏi: đề đang hỏi về loại số nào (hữu tỉ hay vô tỉ), có cần so sánh hay ước lượng không, và có dấu giá trị tuyệt đối nào cần xét dấu trước không. Ba câu hỏi đơn giản đó chính là cách các ví dụ tổng hợp ở trên được xây dựng.

Khóa tiếp theo — Tỉ lệ thức và Tính chất dãy tỉ số bằng nhau — dùng kỹ năng so sánh và ước lượng số vừa luyện ở đây để kiểm tra và giải các bài toán tỉ lệ.