Bài học

Hình chóp tứ giác đều — các yếu tố và tâm đáy

Mục tiêu bài học

Sau bài này em gọi đúng tên các bộ phận của hình chóp tứ giác đều, chỉ ra được tâm của đáy hình vuông, và so sánh được nó với hình chóp tam giác đều vừa học ở bài trước — hai hình cùng một ý tưởng nhưng khác đáy.

Kiến thức cần nhớ

Trước khi vào bài

Em cần nhớ tính chất hình vuông đã học ở chương Tứ giác lớp 8: bốn cạnh bằng nhau, bốn góc vuông, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Điểm cắt nhau đó — gọi là tâm hình vuông — sẽ giữ vai trò quan trọng suốt cả khóa này.

Khởi động

Nhiều mái nhà, mái đình, hay mô hình kim tự tháp Ai Cập có đáy là hình vuông chứ không phải tam giác. Bài trước em đã học hình chóp tam giác đều với đáy tam giác đều; hôm nay chỉ đổi đáy sang hình vuông, còn cách suy luận — đỉnh nằm phía trên tâm đáy, các mặt bên là tam giác cân bằng nhau — vẫn giữ nguyên.

Kiến thức trọng tâm

Hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, đỉnh $S$ nằm phía trên tâm $O$ của hình vuông đó — điểm $O$ chính là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$ . Vì $O$ cách đều bốn đỉnh $A$ , $B$ , $C$ , $D$ (tính chất đường chéo hình vuông), bốn cạnh bên $SA$ , $SB$ , $SC$ , $SD$ của hình chóp đều bằng nhau.

Hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, đỉnh $S$ nằm phía trên tâm $O$ của hình vuông đó — điểm $O$ chính là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$. Vì $O$ cách đều bốn đỉnh $A$, $B$, $C$, $D$ (tính chất đường chéo hình vuông), bốn cạnh bên $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ của hình chóp đều bằng nhau.

So với hình chóp tam giác đều ở bài trước, số lượng bộ phận tăng thêm đúng một đơn vị mỗi loại vì đáy có bốn cạnh thay vì ba: hình chóp tứ giác đều có 5 mặt (1 đáy + 4 mặt bên), 8 cạnh (4 cạnh đáy + 4 cạnh bên), 5 đỉnh (4 đỉnh đáy + 1 đỉnh chóp). Bốn mặt bên là bốn tam giác cân bằng nhau, mỗi tam giác có hai cạnh bên của hình chóp làm hai cạnh bên của nó.

Trung đoạn được xác định đúng như bài trước: xét một mặt bên, chẳng hạn tam giác cân $SAB$ với $SA=SB$ , gọi $M$ là trung điểm $AB$ thì $SM \perp AB$ tại $M$ — đó là trung đoạn. Bốn mặt bên bằng nhau nên bốn trung đoạn cũng bằng nhau, chỉ cần tính một lần.

Trung đoạn được xác định đúng như bài trước: xét một mặt bên, chẳng hạn tam giác cân $SAB$ với $SA=SB$, gọi $M$ là trung điểm $AB$ thì $SM \perp AB$ tại $M$ — đó là trung đoạn. Bốn mặt bên bằng nhau nên bốn trung đoạn cũng bằng nhau, chỉ cần tính một lần.

Điểm mới của bài này là tâm $O$ . Vì $O$ là giao điểm hai đường chéo của hình vuông cạnh $a$ , đoạn $OA$ (từ tâm đến một đỉnh đáy) bằng nửa đường chéo hình vuông. Đoạn $OA$ này khác với trung đoạn $SM$ — trung đoạn nối đỉnh chóp với trung điểm một cạnh đáy, còn $OA$ nằm hoàn toàn trong mặt đáy, nối tâm với một đỉnh đáy. Hai chương sau của khóa học sẽ dùng cả $OA$ lẫn khoảng cách từ $O$ đến trung điểm một cạnh đáy để tìm chiều cao hình chóp bằng định lý Pythagore.

Điểm mới của bài này là tâm $O$. Vì $O$ là giao điểm hai đường chéo của hình vuông cạnh $a$, đoạn $OA$ (từ tâm đến một đỉnh đáy) bằng nửa đường chéo hình vuông. Đoạn $OA$ này khác với trung đoạn $SM$ — trung đoạn nối đỉnh chóp với trung điểm một cạnh đáy, còn $OA$ nằm hoàn toàn trong mặt đáy, nối tâm với một đỉnh đáy. Hai chương sau của khóa học sẽ dùng cả $OA$ lẫn khoảng cách từ $O$ đến trung điểm một cạnh đáy để tìm chiều cao hình chóp bằng định lý Pythagore.

Lời giải có hình

Đáy hình vuông ABCD — tâm O và nửa đường chéo OA

Bước 1

Đáy của hình chóp tứ giác đều là hình vuông ABCD.

Đáy hình vuông

ABCD

— tâm

O

(giao điểm hai đường chéo) là nơi chân đường cao

SO

của hình chóp rơi xuống.Đáy hình vuông $ABCD$ — tâm $O$ (giao điểm hai đường chéo) là nơi chân đường cao $SO$ của hình chóp rơi xuống.

Ví dụ

Ví dụ 1 — Đếm mặt, cạnh, đỉnh và so sánh với hình chóp tam giác đều

1
Hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy cạnh 6 cm, cạnh bên 7 cm. Hình có bao nhiêu mặt, cạnh, đỉnh? So với hình chóp tam giác đều ở bài trước, số mặt bên nhiều hơn mấy?
Hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy cạnh 6 cm, cạnh bên 7 cm. Hình có bao nhiêu mặt, cạnh, đỉnh? So với hình chóp tam giác đều ở bài trước, số mặt bên nhiều hơn mấy?
2
Hình có 1 mặt đáy + 4 mặt bên = 5 mặt; 4 cạnh đáy + 4 cạnh bên = 8 cạnh; 4 đỉnh đáy + 1 đỉnh chóp = 5 đỉnh.
3
Hình chóp tam giác đều có 3 mặt bên; hình chóp tứ giác đều có 4 mặt bên — nhiều hơn đúng 1 mặt, vì đáy nhiều hơn đúng 1 cạnh.
4
Đáy $ABCD$ là hình vuông có 4 cạnh, nên hình chóp có 4 mặt bên cộng 1 mặt đáy, tổng cộng 5 mặt. (1)

Số cạnh gồm 4 cạnh đáy và 4 cạnh bên, tổng cộng 8 cạnh; số đỉnh gồm 4 đỉnh đáy và 1 đỉnh chóp, tổng cộng 5 đỉnh. (2)

Hình chóp tam giác đều (bài trước) có đáy 3 cạnh nên chỉ có 3 mặt bên. (3)

Từ (1) và (3), hình chóp tứ giác đều có nhiều hơn hình chóp tam giác đều đúng 1 mặt bên, đúng bằng chênh lệch số cạnh của hai loại đáy.

Vậy $S.ABCD$ có 5 mặt, 8 cạnh, 5 đỉnh; nhiều hơn hình chóp tam giác đều 1 mặt bên.
Đáy $ABCD$ là hình vuông có 4 cạnh, nên hình chóp có 4 mặt bên cộng 1 mặt đáy, tổng cộng 5 mặt. (1) Số cạnh gồm 4 cạnh đáy và 4 cạnh bên, tổng cộng 8 cạnh; số đỉnh gồm 4 đỉnh đáy và 1 đỉnh chóp, tổng cộng 5 đỉnh. (2) Hình chóp tam giác đều (bài trước) có đáy 3 cạnh nên chỉ có 3 mặt bên. (3) Từ (1) và (3), hình chóp tứ giác đều có nhiều hơn hình chóp tam giác đều đúng 1 mặt bên, đúng bằng chênh lệch số cạnh của hai loại đáy. Vậy $S.ABCD$ có 5 mặt, 8 cạnh, 5 đỉnh; nhiều hơn hình chóp tam giác đều 1 mặt bên.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Phân biệt hình chóp tứ giác đều với một khối chóp đáy chữ nhật

1
Một khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=8$ cm, $BC=6$ cm (không phải hình vuông), đỉnh $S$ nằm trên đường thẳng qua tâm đáy. Khối chóp này có phải là hình chóp tứ giác đều không?
Một khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=8$ cm, $BC=6$ cm (không phải hình vuông), đỉnh $S$ nằm trên đường thẳng qua tâm đáy. Khối chóp này có phải là hình chóp tứ giác đều không?
2
Hình chóp tứ giác đều đòi hỏi đáy là hình vuông. Ở đây $AB=8$ cm khác $BC=6$ cm nên $ABCD$ chỉ là hình chữ nhật, không phải hình vuông.
Hình chóp tứ giác đều đòi hỏi đáy là hình vuông. Ở đây $AB=8$ cm khác $BC=6$ cm nên $ABCD$ chỉ là hình chữ nhật, không phải hình vuông.
3
Dù đỉnh đã nằm đúng vị trí cân đối phía trên tâm đáy, điều kiện về đáy không thỏa nên khối chóp này không đạt danh hiệu "đều" — nó chỉ là một hình chóp đều đáy chữ nhật, một khái niệm khác.
4
Hình chóp tứ giác đều đòi hỏi đáy là hình vuông, tức bốn cạnh bằng nhau. (1)

Theo đề, $AB=8$ cm và $BC=6$ cm, hai cạnh liên tiếp của đáy không bằng nhau. (2)

Từ (1) và (2), đáy $ABCD$ không phải hình vuông nên không thỏa điều kiện của hình chóp tứ giác đều, dù đỉnh $S$ đã nằm đúng vị trí cân đối.

Vậy khối chóp $S.ABCD$ không phải là hình chóp tứ giác đều.
Hình chóp tứ giác đều đòi hỏi đáy là hình vuông, tức bốn cạnh bằng nhau. (1) Theo đề, $AB=8$ cm và $BC=6$ cm, hai cạnh liên tiếp của đáy không bằng nhau. (2) Từ (1) và (2), đáy $ABCD$ không phải hình vuông nên không thỏa điều kiện của hình chóp tứ giác đều, dù đỉnh $S$ đã nằm đúng vị trí cân đối. Vậy khối chóp $S.ABCD$ không phải là hình chóp tứ giác đều.

Sai lầm phổ biến

Nhầm hình chữ nhật với hình vuông là lỗi thường gặp nhất — một đáy "trông vuông vắn" trên hình vẽ chưa chắc có bốn cạnh bằng nhau, phải đối chiếu đúng số đo như Ví dụ 2. Lỗi thứ hai là nhầm $OA$ (nửa đường chéo, nằm trong đáy) với trung đoạn $SM$ (nối đỉnh chóp với trung điểm cạnh đáy) — hai đoạn này không bằng nhau và dùng cho hai việc khác nhau ở các bài sau.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Thử thách

Ghi nhớ

Hình chóp tứ giác đều = đáy là hình vuông + đỉnh nằm phía trên tâm đáy (giao điểm hai đường chéo). Trung đoạn xác định như hình chóp tam giác đều; tâm O và nửa đường chéo OA là hai đại lượng mới, sẽ dùng để tìm chiều cao ở chương sau.

Hai bài tiếp theo dùng chung một đại lượng vừa học — trung đoạn — để tính diện tích. Thay vì học thuộc công thức ngay, bài sau sẽ mở phẳng bốn mặt bên của hình chóp tứ giác đều ra thành một hình khai triển, để em nhìn thấy vì sao công thức diện tích xung quanh lại có dạng như vậy.