Bài học

Một hệ vật cần cả động lượng và cơ năng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em chia đúng quá trình va chạm–chuyển động thành các giai đoạn và chọn bảo toàn động lượng hoặc năng lượng cho từng giai đoạn.

Kiến thức cần có

Cần biết động lượng có hướng, động năng, thế năng trọng trường, công ma sát và va chạm mềm.

Mở rộng dành cho HSG. Từ nền YCCĐ về công, năng lượng và động lượng, khóa này đi tới quá trình nhiều giai đoạn, hệ số đàn hồi, khối lượng biến đổi và cực trị. Tiền đề là động năng, thế năng, công ma sát, xung lượng và động lượng một chiều. Công cụ ngoài YCCĐ được dựng lại trước khi dùng.

Câu hỏi mở đầu

Viên đạn cắm vào con lắc rồi cả hệ vọt lên. Vì sao bảo toàn cơ năng từ lúc đạn bay đến độ cao lớn nhất cho đáp số sai dù trạng thái đầu và cuối đều biết?

Ý tưởng cốt lõi

Trong va chạm dính, vật biến dạng và tỏa nhiệt nên cơ năng không bảo toàn; nhưng thời gian va chạm rất ngắn, xung lượng của trọng lực và lực treo thường nhỏ so với xung lượng va chạm, vì vậy động lượng theo phương va chạm gần bảo toàn. Sau va chạm, khối gộp chuyển động chậm hơn trong trường lực thế; nếu bỏ qua ma sát, cơ năng của giai đoạn này bảo toàn. Kí hiệu $u$ là tốc độ ngay trước va chạm, $v$ là tốc độ chung ngay sau va chạm, h là độ cao cực đại. Hai mắt xích là $m\,u=(M+m)v$ và $\frac12(M+m)v^2=(M+m)gh$ . Phải giải ngược từ h ra v rồi từ v ra u nếu đề cho độ cao.

Trong va chạm dính, vật biến dạng và tỏa nhiệt nên cơ năng không bảo toàn; nhưng thời gian va chạm rất ngắn, xung lượng của trọng lực và lực treo thường nhỏ so với xung lượng va chạm, vì vậy động lượng theo phương va chạm gần bảo toàn. Sau va chạm, khối gộp chuyển động chậm hơn trong trường lực thế; nếu bỏ qua ma sát, cơ năng của giai đoạn này bảo toàn. Kí hiệu $u$ là tốc độ ngay trước va chạm, $v$ là tốc độ chung ngay sau va chạm, h là độ cao cực đại. Hai mắt xích là $m\,u=(M+m)v$ và $\frac12(M+m)v^2=(M+m)gh$. Phải giải ngược từ h ra v rồi từ v ra u nếu đề cho độ cao.

Ranh giới giữa hai giai đoạn quyết định định luật được phép dùng.

Đào sâu chiến lược

Định luật không thuộc về “cả bài” mà thuộc về một hệ trong một khoảng thời gian. Trong va chạm, nếu chọn riêng viên đạn thì lực của khối gỗ là ngoại lực lớn, động lượng viên đạn không bảo toàn. Chọn hệ đạn–khối gỗ làm lực tương tác trở thành nội lực. Ở pha vọt lên, động lượng hệ không bảo toàn vì trọng lực và lực căng có xung lượng đáng kể; cơ năng lại bảo toàn nếu lực căng không sinh công và bỏ qua cản. Bảng hệ–giai đoạn–định luật là bước bắt buộc trước đại số.

Với vật trượt từ dốc rồi va chạm trên bàn nhám, chuỗi có thể dài ba pha: cơ năng trên dốc, động lượng trong va chạm, định lí động năng trên mặt nhám. Năng lượng mất trong va chạm không được gộp với công ma sát sau va chạm. Tính riêng từng phần giúp kiểm: động năng phải giảm ở va chạm dính và tiếp tục giảm do ma sát cho tới 0.

Mô hình con lắc đạn từng được dùng để suy tốc độ vật phóng khi cảm biến nhanh chưa phổ biến. Thiết bị không “đo trực tiếp” vận tốc đạn; nó đo độ cao hoặc góc lệch chậm hơn, rồi dùng hai định luật nối ngược. Đây là mô hình đo gián tiếp: mỗi định luật chuyển một đại lượng khó đo thành đại lượng dễ đo hơn.

Chọn hệ và giai đoạn

Đừng hỏi “bài này dùng công thức nào”; hãy hỏi hệ nào, trong khoảng thời gian nào, và tác dụng ngoài nào có thể bỏ qua. Va chạm rất ngắn thường bảo toàn động lượng của hệ nhưng không bảo toàn cơ năng. Chuyển động trước hoặc sau va chạm có thể dùng định lí động năng hay bảo toàn cơ năng. Mỗi lần đổi trạng thái, ghi vận tốc cuối giai đoạn trước làm dữ kiện đầu giai đoạn sau. Không nối hai định luật qua một kí hiệu vận tốc mơ hồ.

Đừng hỏi “bài này dùng công thức nào”; hãy hỏi **hệ nào, trong khoảng thời gian nào, và tác dụng ngoài nào có thể bỏ qua**. Va chạm rất ngắn thường bảo toàn động lượng của hệ nhưng không bảo toàn cơ năng. Chuyển động trước hoặc sau va chạm có thể dùng định lí động năng hay bảo toàn cơ năng. Mỗi lần đổi trạng thái, ghi vận tốc cuối giai đoạn trước làm dữ kiện đầu giai đoạn sau. Không nối hai định luật qua một kí hiệu vận tốc mơ hồ.

Trình bày để nhận đủ điểm

Trình bày mẫu cần đặt tên các mốc 0–1–2, nêu hệ xét và điều kiện áp dụng. Viết “Trong va chạm, ngoại lực có xung lượng không đáng kể nên…” hoặc “Sau va chạm, bỏ qua ma sát nên…”. Nếu cơ năng giảm, chỉ rõ phần giảm chuyển thành nhiệt, biến dạng hay âm. Cuối mỗi phần phải có “Vậy…” kèm đơn vị, chiều chuyển động và kiểm tra giới hạn.

Kiểm ngược

Kiểm ngược ba lớp: động lượng trước–sau có khớp trong đúng giai đoạn không; năng lượng có tăng vô cớ không; kết quả có đúng giới hạn khi $e=0$ , $e=1$ , $\mu=0$ hoặc tốc độ dòng khối lượng bằng 0 không? Với cực trị, so nghiệm tối ưu với hai biên và kiểm tham số còn thuộc miền vật lí.

Kiểm ngược ba lớp: động lượng trước–sau có khớp trong đúng giai đoạn không; năng lượng có tăng vô cớ không; kết quả có đúng giới hạn khi $e=0$, $e=1$, $\mu=0$ hoặc tốc độ dòng khối lượng bằng 0 không? Với cực trị, so nghiệm tối ưu với hai biên và kiểm tham số còn thuộc miền vật lí.

Nhật kí lỗi

Nhật kí lỗi phải nêu đúng thao tác: bảo toàn cơ năng qua va chạm dính, bỏ dấu vận tốc, giữ khối lượng ban đầu, hay cực đại hóa sai hàm mục tiêu. Hãy sửa bằng trục thời gian, bảng khối lượng–vận tốc và các trường hợp biên.

Ví dụ

Con lắc đạn suy ngược tốc độ

1
Viên đạn $m=0{,}02$ kg cắm vào khối gỗ $M=1{,}98$ kg treo đứng yên. Sau va chạm, hệ lên cao 0,20 m. Lấy $g=10$ m/s². Tìm tốc độ đạn và cơ năng hao hụt trong va chạm.
Viên đạn $m=0{,}02$ kg cắm vào khối gỗ $M=1{,}98$ kg treo đứng yên. Sau va chạm, hệ lên cao 0,20 m. Lấy $g=10$ m/s². Tìm tốc độ đạn và cơ năng hao hụt trong va chạm.
2
Cơ năng không bảo toàn ở va chạm dính; phải đi ngược qua hai giai đoạn với hai định luật khác nhau.
3
Từ độ cao tìm vận tốc chung bằng cơ năng, rồi dùng động lượng tìm tốc độ đạn.
4
Gọi v là tốc độ chung ngay sau va chạm. Trong pha vọt lên, lực căng không sinh công và bỏ qua cản nên cơ năng bảo toàn: $\frac12(M+m)v^2=(M+m)gh$ . Suy ra $v=\sqrt{2gh}=2$ m/s. Trong va chạm ngắn, xét hệ đạn–gỗ, xung lượng ngoại lực không đáng kể nên $m\,u=(M+m)v$ . Do đó $u=2\cdot2/0{,}02=200$ m/s. Động năng trước va chạm là 400 J, ngay sau là 4 J, nên hao hụt 396 J. Vậy tốc độ đạn là 200 m/s và cơ năng chuyển thành nhiệt, biến dạng là 396 J.
Gọi v là tốc độ chung ngay sau va chạm. Trong pha vọt lên, lực căng không sinh công và bỏ qua cản nên cơ năng bảo toàn: $\frac12(M+m)v^2=(M+m)gh$. Suy ra $v=\sqrt{2gh}=2$ m/s. Trong va chạm ngắn, xét hệ đạn–gỗ, xung lượng ngoại lực không đáng kể nên $m\,u=(M+m)v$. Do đó $u=2\cdot2/0{,}02=200$ m/s. Động năng trước va chạm là 400 J, ngay sau là 4 J, nên hao hụt 396 J. Vậy tốc độ đạn là 200 m/s và cơ năng chuyển thành nhiệt, biến dạng là 396 J.
5
Động năng sau nhỏ hơn trước và khối lượng gộp đúng 2 kg. Không có năng lượng tăng vô cớ.
6
Nếu đạn xuyên qua với tốc độ còn lại, phương trình động lượng có thêm động lượng đạn sau va chạm và không còn vận tốc chung.

Ví dụ

Dốc không ma sát, va chạm dính rồi trượt nhám

1
Khối $m_1=2$ kg trượt từ nghỉ xuống độ cao 1,25 m trên dốc nhẵn, va chạm dính với $m_2=3$ kg đứng yên trên bàn nhám $\mu=0{,}2$ . Lấy $g=10$ m/s². Tìm quãng đường khối gộp đi tới khi dừng.
Khối $m_1=2$ kg trượt từ nghỉ xuống độ cao 1,25 m trên dốc nhẵn, va chạm dính với $m_2=3$ kg đứng yên trên bàn nhám $\mu=0{,}2$. Lấy $g=10$ m/s². Tìm quãng đường khối gộp đi tới khi dừng.
2
Va chạm làm mất cơ năng, còn ma sát chỉ tác dụng sau đó; một định luật duy nhất không nối đúng cả ba trạng thái.
3
Dùng cơ năng để tìm tốc độ m1, động lượng để tìm tốc độ chung, rồi công ma sát để tìm quãng dừng.
4
Trên dốc nhẵn, bảo toàn cơ năng cho $m_1$ : $m_1gh=\frac12m_1u^2$ , nên $u=\sqrt{2gh}=5$ m/s. Trong va chạm dính, động lượng theo phương ngang bảo toàn: $m_1u=(m_1+m_2)v$ , suy ra $v=2$ m/s. Sau va chạm, công ma sát bằng độ giảm động năng: $\mu(m_1+m_2)gs=\frac12(m_1+m_2)v^2$ . Do đó $s=v^2/(2\mu g)=1$ m. Vậy hệ trượt thêm 1 m rồi dừng.
Trên dốc nhẵn, bảo toàn cơ năng cho $m_1$: $m_1gh=\frac12m_1u^2$, nên $u=\sqrt{2gh}=5$ m/s. Trong va chạm dính, động lượng theo phương ngang bảo toàn: $m_1u=(m_1+m_2)v$, suy ra $v=2$ m/s. Sau va chạm, công ma sát bằng độ giảm động năng: $\mu(m_1+m_2)gs=\frac12(m_1+m_2)v^2$. Do đó $s=v^2/(2\mu g)=1$ m. Vậy hệ trượt thêm 1 m rồi dừng.
5
Khối lượng triệt tiêu ở pha ma sát, đúng với gia tốc chậm dần μg không phụ thuộc khối lượng.
6
Nếu va chạm đàn hồi một phần, phải dùng thêm hệ số đàn hồi để tìm hai vận tốc riêng trước khi xét ma sát.

Luyện tập có hướng dẫn

Tự luyện và thử thách

Lỗi thường gặp

Không bảo toàn cơ năng xuyên qua va chạm dính; không dùng động lượng cho pha vọt lên; không dùng cùng một kí hiệu vận tốc cho trước và sau va chạm.

Chốt bài: Em đã chia đúng quá trình va chạm–chuyển động thành các giai đoạn và chọn bảo toàn động lượng hoặc năng lượng cho từng giai đoạn. Bài sau giữ phép chia giai đoạn nhưng mỗi va chạm cho hai vận tốc ra, phải thêm hệ số đàn hồi và theo dõi chuỗi nhiều vật.