Bài học

Từ rơi tự do chuẩn đến bài nảy đàn hồi nhiều trạng thái

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phân biệt được bài thay số một giai đoạn với bài HSG có va chạm, hệ số phục hồi và trạng thái đổi sau mỗi lần nảy.

Kiến thức cần có

Cần biết rơi tự do, $v^2-v_0^2=2as$ , bảo toàn cơ năng trong giai đoạn không cản và tỉ lệ bình phương.

Cần biết rơi tự do, $v^2-v_0^2=2as$, bảo toàn cơ năng trong giai đoạn không cản và tỉ lệ bình phương.

So với bài chuẩn: Mở rộng dành cho HSG: phần này vượt bài chuẩn lớp 10 vì em phải tự xác định trạng thái, điều kiện chuyển pha hoặc tổ hợp định luật; công thức không còn xuất hiện theo đúng thứ tự dữ kiện. Kĩ thuật được dạy ngay trong bài và chỉ dùng kiến thức cơ học lớp 10 cùng đại số, tỉ lệ và căn bậc hai đã biết.

Câu hỏi mở đầu

Quả bóng rơi từ 20 m rồi nảy hai lần. Có thể dùng một công thức rơi tự do từ đầu đến cuối không?

Ý tưởng cốt lõi

Bài chuẩn dừng ở vận tốc ngay trước chạm đất: $v=\sqrt{2gh}$ . Bài HSG thêm một sự kiện đổi trạng thái tại va chạm. Hệ số phục hồi theo phương va chạm được mô hình bằng $e=|v_{sau}|/|v_{trước}|$ khi mặt đất đứng yên. Sau va chạm, vận tốc đổi chiều và giảm độ lớn; quả bóng lại chuyển động dưới trọng lực cho đến đỉnh. Nếu $e$ thay đổi sau mỗi lần chạm, không được dùng cấp số nhân với một công bội cố định. Phải tính từng chu trình: rơi → chạm → bật lên → đạt đỉnh.

Bài chuẩn dừng ở vận tốc ngay trước chạm đất: $v=\sqrt{2gh}$. Bài HSG thêm một **sự kiện đổi trạng thái** tại va chạm. Hệ số phục hồi theo phương va chạm được mô hình bằng $e=|v_{sau}|/|v_{trước}|$ khi mặt đất đứng yên. Sau va chạm, vận tốc đổi chiều và giảm độ lớn; quả bóng lại chuyển động dưới trọng lực cho đến đỉnh. Nếu $e$ thay đổi sau mỗi lần chạm, không được dùng cấp số nhân với một công bội cố định. Phải tính từng chu trình: rơi → chạm → bật lên → đạt đỉnh.

Lần đầu

e_1=0{,}6

, lần hai

e_2=0{,}5

nên độ cao nhân lần lượt với

e_1^2

và

e_2^2

.Lần đầu $e_1=0{,}6$, lần hai $e_2=0{,}5$ nên độ cao nhân lần lượt với $e_1^2$ và $e_2^2$.

Đào sâu chiến lược

Điểm khó không nằm ở căn bậc hai mà ở việc nhận ra công thức nào thuộc giai đoạn nào. Trong giai đoạn bay bỏ qua cản, cơ năng bảo toàn; tại va chạm không đàn hồi, cơ năng không bảo toàn nhưng quan hệ hệ số phục hồi được dùng. Dùng bảo toàn cơ năng xuyên qua va chạm sẽ dự đoán bóng bật lại đúng độ cao ban đầu, trái dữ kiện $e<1$ .

Nếu đề hỏi tổng quãng đường hoặc tổng thời gian vô hạn với $e$ không đổi, dãy độ cao có công bội $e^2$ . Đó là phần mở rộng dành cho HSG, chỉ dùng khi em đã chứng minh quy luật và $0<e<1$ . Nếu $e$ phụ thuộc số lần chạm, phải cộng hữu hạn hoặc biết rõ quy luật mới được dùng tổng.

Nếu đề hỏi tổng quãng đường hoặc tổng thời gian vô hạn với $e$ không đổi, dãy độ cao có công bội $e^2$. Đó là phần mở rộng dành cho HSG, chỉ dùng khi em đã chứng minh quy luật và $0<e<1$. Nếu $e$ phụ thuộc số lần chạm, phải cộng hữu hạn hoặc biết rõ quy luật mới được dùng tổng.

Một mô hình tốt ghi rõ bỏ qua sức cản không khí, thời gian tiếp xúc đất rất ngắn và chuyển động thẳng đứng. Nếu mặt đất chuyển động hoặc quả bóng quay, công thức hệ số phục hồi đơn giản không còn đủ.

Trình bày để nhận đủ điểm

Bài làm mẫu phải có bốn lớp: nêu hệ và chiều dương; ghi giả định cùng điều kiện áp dụng; viết định luật bằng chữ rồi mới thay số; kiểm đơn vị, dấu và giới hạn trước câu “Vậy …”. Nếu bài có nhiều giai đoạn, đánh số trạng thái và không dùng một gia tốc hoặc một hệ số cho toàn bộ chuyển động khi đề đã cho nó thay đổi.

Kiểm ngược

Kiểm ngược không phải tính lại đúng phép cũ. Hãy dùng một nguyên lí khác hoặc xét trường hợp giới hạn. Vận tốc sau va chạm phải phù hợp chiều chuyển động; lực ma sát tĩnh không được vượt cực đại; đối số trong căn phải không âm; biểu thức có thứ nguyên vận tốc phải rút về L/T. Một kết quả số đẹp nhưng vi phạm một trong các kiểm tra ấy vẫn sai mô hình.

Nhật kí lỗi

Sau mỗi ví dụ, ghi lỗi theo nguyên nhân: hiểu sai hiện tượng, chọn sai hệ, thiếu điều kiện, dùng công thức ngoài miền áp dụng, biến đổi đại số hoặc đơn vị. Mỗi lỗi đi kèm một hành động phòng tránh. “Cẩn thận hơn” không phải hành động; “vẽ hai sơ đồ lực trước và sau khi trượt” hoặc “viết thứ nguyên hai vế trước khi thế số” mới kiểm được.

Ví dụ

Hai lần nảy với hệ số khác nhau

1
Bóng rơi từ 20 m, $g=10$ m/s². Lần chạm đầu $e_1=0{,}6$ , lần hai $e_2=0{,}5$ . Tìm vận tốc trước chạm đầu và hai độ cao cực đại tiếp theo.
Bóng rơi từ 20 m, $g=10$ m/s². Lần chạm đầu $e_1=0{,}6$, lần hai $e_2=0{,}5$. Tìm vận tốc trước chạm đầu và hai độ cao cực đại tiếp theo.
2
Va chạm làm đổi dấu vận tốc và mất cơ năng; mỗi lần lại có hệ số khác.
3
Trong bay dùng cơ năng; tại chạm dùng hệ số phục hồi.
4
Trước chạm đầu, $v_1=\sqrt{2gh}=\sqrt{400}=20$ m/s. Sau chạm, vận tốc hướng lên có độ lớn $v'_1=e_1v_1=12$ m/s. Do đó $h_1=(v'_1)^2/(2g)=144/20=7{,}2$ m. Trước chạm hai, độ lớn vận tốc lại bằng 12 m/s; sau chạm $v'_2=0{,}5\cdot12=6$ m/s, nên $h_2=6^2/20=1{,}8$ m. Vậy các kết quả là 20 m/s, 7,2 m và 1,8 m.
Trước chạm đầu, $v_1=\sqrt{2gh}=\sqrt{400}=20$ m/s. Sau chạm, vận tốc hướng lên có độ lớn $v'_1=e_1v_1=12$ m/s. Do đó $h_1=(v'_1)^2/(2g)=144/20=7{,}2$ m. Trước chạm hai, độ lớn vận tốc lại bằng 12 m/s; sau chạm $v'_2=0{,}5\cdot12=6$ m/s, nên $h_2=6^2/20=1{,}8$ m. Vậy các kết quả là 20 m/s, 7,2 m và 1,8 m.
5
Cũng có $h_1=e_1^2h_0=0{,}36\cdot20$ và $h_2=e_2^2h_1=0{,}25\cdot7{,}2$ .
Cũng có $h_1=e_1^2h_0=0{,}36\cdot20$ và $h_2=e_2^2h_1=0{,}25\cdot7{,}2$.
6
Nếu cả hai lần đều có $e=0{,}6$ , độ cao thứ hai là $20e^4=2{,}592$ m, không phải 1,8 m.
Nếu cả hai lần đều có $e=0{,}6$, độ cao thứ hai là $20e^4=2{,}592$ m, không phải 1,8 m.

Ví dụ

Nhận diện lời giải sai

1
Một lời giải viết $mgh_0=mgh_1$ qua lần va chạm nên $h_1=h_0$ . Hãy chỉ ra lỗi.
Một lời giải viết $mgh_0=mgh_1$ qua lần va chạm nên $h_1=h_0$. Hãy chỉ ra lỗi.
2
Bảo toàn cơ năng chỉ dùng trong giai đoạn bay, không xuyên qua va chạm có $e<1$ .
Bảo toàn cơ năng chỉ dùng trong giai đoạn bay, không xuyên qua va chạm có $e<1$.
3
Tại va chạm, một phần cơ năng chuyển thành biến dạng, âm và nhiệt. Vì $e=0{,}6<1$ , vận tốc sau chỉ bằng 0,6 trước chạm nên động năng sau bằng $e^2=0{,}36$ lần. Vậy độ cao nảy chỉ bằng 0,36 độ cao rơi, không bằng độ cao ban đầu.
Tại va chạm, một phần cơ năng chuyển thành biến dạng, âm và nhiệt. Vì $e=0{,}6<1$, vận tốc sau chỉ bằng 0,6 trước chạm nên động năng sau bằng $e^2=0{,}36$ lần. Vậy độ cao nảy chỉ bằng 0,36 độ cao rơi, không bằng độ cao ban đầu.
4
Kết luận mới phù hợp biểu đồ và giới hạn $e\to0$ thì bóng gần như không nảy.
Kết luận mới phù hợp biểu đồ và giới hạn $e\to0$ thì bóng gần như không nảy.
5
Mỗi định luật có miền áp dụng; phải đặt biên hệ và biên thời gian trước khi dùng.

Luyện tập có hướng dẫn

Tự luyện và thử thách

Lỗi thường gặp

Không dùng một gia tốc hay một định luật xuyên qua va chạm, không quên đổi chiều vận tốc, và không coi hệ số phục hồi thay đổi là một công bội cố định.

Chốt bài: Em đã phân biệt được bài thay số một giai đoạn với bài HSG có va chạm, hệ số phục hồi và trạng thái đổi sau mỗi lần nảy. Bài sau nâng bài ma sát một vật thành hệ hai vật có điều kiện bắt đầu trượt.