Bài học

Đọc đồ thị $p^2$–V bằng phương trình thay vì hình dáng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em suy được quan hệ vật lí từ đồ thị có trục biến đổi và tìm các tỉ số p,V,T mà không gán nhầm quá trình chuẩn.

Kiến thức cần có

Cần phương trình trạng thái, hàm căn và Course 2 về công trên đường p(V).

Mở rộng dành cho HSG. Foundation Grade 12 nhận dạng đẳng nhiệt, đẳng tích, đẳng áp trên p–V, V–T, p–T và dùng $pV/T=$ hằng số giữa hai trạng thái. Course này đi xa hơn: trục biến đổi như $p^2$ –V, đường cong không thuộc ba quá trình chuẩn, dựng ngược đồ thị, tính công từ quan hệ p(V), và tìm miền tham số để áp suất, thể tích, nhiệt độ cùng giới hạn thiết bị đều khả thi. Tiền đề là Course 1–2, đại số hàm số, căn bậc hai và tích phân cơ bản lớp 12. Công cụ ngoài YCCĐ được suy từ phương trình trạng thái trước khi dùng.

**Mở rộng dành cho HSG.** Foundation Grade 12 nhận dạng đẳng nhiệt, đẳng tích, đẳng áp trên p–V, V–T, p–T và dùng $pV/T=$ hằng số giữa hai trạng thái. Course này đi xa hơn: trục biến đổi như $p^2$–V, đường cong không thuộc ba quá trình chuẩn, dựng ngược đồ thị, tính công từ quan hệ p(V), và tìm miền tham số để áp suất, thể tích, nhiệt độ cùng giới hạn thiết bị đều khả thi. Tiền đề là Course 1–2, đại số hàm số, căn bậc hai và tích phân cơ bản lớp 12. Công cụ ngoài YCCĐ được suy từ phương trình trạng thái trước khi dùng.

Câu hỏi mở đầu

Một hyperbol trên đồ thị $p^2$ –V có phải là đẳng nhiệt không?

Một hyperbol trên đồ thị $p^2$–V có phải là đẳng nhiệt không?

Ý tưởng cốt lõi

Trên hệ trục y= $p^2$ , x=V, hyperbol chữ nhật cho $p^2V=K$ , không phải pV=const. Do p dương, $p=\sqrt{K/V}$ . Với cùng lượng khí, $T=pV/(nR)=\sqrt{KV}/(nR)$ nên T tăng theo $\sqrt V$ . Quá trình này không đẳng nhiệt, không đẳng áp, không đẳng tích. Điểm rơi là dịch phương trình đồ thị về p,V trước khi gọi tên.

Trên hệ trục y=$p^2$, x=V, hyperbol chữ nhật cho $p^2V=K$, không phải pV=const. Do p dương, $p=\sqrt{K/V}$. Với cùng lượng khí, $T=pV/(nR)=\sqrt{KV}/(nR)$ nên T tăng theo $\sqrt V$. Quá trình này không đẳng nhiệt, không đẳng áp, không đẳng tích. Điểm rơi là dịch phương trình đồ thị về p,V trước khi gọi tên.

Trục biến đổi phải được trả về p–V trước khi suy nhiệt và công.

Suy luận và miền áp dụng

Nếu p giảm một nửa thì từ $p^2V$ không đổi, V tăng bốn lần; do đó pV tăng hai lần và T tăng hai lần. Kết quả nghe ngược trực giác “áp suất giảm thì nhiệt độ giảm” vì khí đồng thời nở mạnh. Đồ thị chỉ cho đường quá trình, không nói cơ chế thực nghiệm tạo đường ấy; bài toán chấp nhận một tác nhân ngoài điều khiển nhiệt và tải để hệ đi theo quan hệ đã cho.

Tính công cần quan hệ trên trục p–V: $A=\int_{V_1}^{V_2}\sqrt{K/V}\,dV=2\sqrt K(\sqrt{V_2}-\sqrt{V_1})$ . Đây là phần mở rộng dành cho HSG dùng tích phân lớp 12. Không lấy diện tích dưới hyperbol trên $p^2$ –V làm công, vì trục đứng khi đó không phải áp suất.

Tính công cần quan hệ trên trục p–V: $A=\int_{V_1}^{V_2}\sqrt{K/V}\,dV=2\sqrt K(\sqrt{V_2}-\sqrt{V_1})$. Đây là phần mở rộng dành cho HSG dùng tích phân lớp 12. Không lấy diện tích dưới hyperbol trên $p^2$–V làm công, vì trục đứng khi đó không phải áp suất.

Kiểm thứ nguyên: K có đơn vị Pa²·m³, nên $\sqrt K\sqrt V$ có đơn vị Pa·m³=J. Khi $V_2=V_1$ , công về 0. Khi V tăng, A dương. Ba kiểm tra này bắt được lỗi dùng $K\ln(V_2/V_1)$ , vốn thuộc đường pV=const chứ không thuộc $p^2V$ hằng.

Kiểm thứ nguyên: K có đơn vị Pa²·m³, nên $\sqrt K\sqrt V$ có đơn vị Pa·m³=J. Khi $V_2=V_1$, công về 0. Khi V tăng, A dương. Ba kiểm tra này bắt được lỗi dùng $K\ln(V_2/V_1)$, vốn thuộc đường pV=const chứ không thuộc $p^2V$ hằng.

Giải mã bất biến

Đừng gọi tên quá trình từ hình dáng trên trục lạ. Đọc đúng nhãn trục, viết quan hệ mà đường biểu diễn cho, rồi thay vào $pV=nRT$ . Nếu đồ thị $p^2$ –V cho $p^2V=K$ , ta có $p\sqrt V=\sqrt K$ và $T\propto pV=\sqrt{KV}$ . Nếu p–T là đường qua gốc, p/T không đổi nên V không đổi. Nếu V–T là đường qua gốc, V/T không đổi nên p không đổi. Hình học chỉ có nghĩa sau phép dịch sang đại lượng vật lí.

Đừng gọi tên quá trình từ hình dáng trên trục lạ. Đọc đúng nhãn trục, viết quan hệ mà đường biểu diễn cho, rồi thay vào $pV=nRT$. Nếu đồ thị $p^2$–V cho $p^2V=K$, ta có $p\sqrt V=\sqrt K$ và $T\propto pV=\sqrt{KV}$. Nếu p–T là đường qua gốc, p/T không đổi nên V không đổi. Nếu V–T là đường qua gốc, V/T không đổi nên p không đổi. Hình học chỉ có nghĩa sau phép dịch sang đại lượng vật lí.

Miền vật lí

Mọi lời giải tham số phải có miền vật lí trước miền đại số: số mol và khối lượng không âm; $T>0$ K; $p>0$ ; $V>0$ ; pittông nằm giữa hai chặn; áp suất không vượt định mức. Sau khi giải bất phương trình, giao nghiệm với miền vật lí. Nghiệm đại số làm thể tích âm hoặc van nằm ngoài bình không phải nghiệm vật lí. Điểm biên cần được diễn giải: chạm định mức, chạm chặn hay vừa hết khí ở một ngăn.

Mọi lời giải tham số phải có miền vật lí trước miền đại số: số mol và khối lượng không âm; $T>0$ K; $p>0$; $V>0$; pittông nằm giữa hai chặn; áp suất không vượt định mức. Sau khi giải bất phương trình, giao nghiệm với miền vật lí. Nghiệm đại số làm thể tích âm hoặc van nằm ngoài bình không phải nghiệm vật lí. Điểm biên cần được diễn giải: chạm định mức, chạm chặn hay vừa hết khí ở một ngăn.

Đổi hệ trục

Khi đổi hệ trục, lập bảng các trạng thái trước: $p,V,T$ và tích pV. Giữ nguyên thứ tự thời gian; chỉ tọa độ biểu diễn thay đổi. Đường nối trên đồ thị mới được suy từ phương trình của từng đoạn, không nối thẳng các điểm theo thói quen. Hai đầu có cùng một tỉ số chưa đủ kết luận toàn đoạn thuộc quá trình chuẩn; phải kiểm quan hệ ở mọi điểm.

Hướng dẫn giải

Trong Hướng dẫn giải, nêu lượng khí có cố định hay không; viết bất biến/quan hệ đường trước khi thay số; đánh số các tỉ số trạng thái; với công, ghi rõ $A=\int p(V)dV$ và cận; với tham số, ghi điều kiện vật lí trước, giải bất phương trình rồi giao miền. Kiểm bằng trạng thái biên hoặc thế ngược. Mỗi phần kết thúc bằng “Vậy …” với đơn vị và miền đóng/mở đúng ý nghĩa.

Trong **Hướng dẫn giải**, nêu lượng khí có cố định hay không; viết bất biến/quan hệ đường trước khi thay số; đánh số các tỉ số trạng thái; với công, ghi rõ $A=\int p(V)dV$ và cận; với tham số, ghi điều kiện vật lí trước, giải bất phương trình rồi giao miền. Kiểm bằng trạng thái biên hoặc thế ngược. Mỗi phần kết thúc bằng “Vậy …” với đơn vị và miền đóng/mở đúng ý nghĩa.

Error-log

Error-log phân biệt bốn lỗi: đọc nhầm trục; nhận dạng quá trình từ hình thay vì phương trình; giải đúng đại số nhưng quên miền vật lí; dùng áp suất dư hoặc Celsius trong trạng thái khí. Hành động sửa tương ứng là chép lại nhãn trục, lập bảng pVT, viết điều kiện trước phép biến đổi, hoặc đổi hết sang Pa–m³–K. Một bài biến thể mới phải đúng cả phương trình lẫn miền mới được đóng lỗi.

Ví dụ

Tỉ số trạng thái trên đường

p^2V=K

Tỉ số trạng thái trên đường $p^2V=K$

1
Khí đi từ A đến B trên $p^2V=K$ . Biết $p_B=p_A/2$ . Tìm $V_B/V_A$ và $T_B/T_A$ .
Khí đi từ A đến B trên $p^2V=K$. Biết $p_B=p_A/2$. Tìm $V_B/V_A$ và $T_B/T_A$.
2
Hyperbol nằm trên trục p²–V nên không được dùng Boyle $p_AV_A=p_BV_B$ .
Hyperbol nằm trên trục p²–V nên không được dùng Boyle $p_AV_A=p_BV_B$.
3
Lấy tỉ số bất biến p²V, rồi dùng T tỉ lệ pV.
4
Từ $p_A^2V_A=p_B^2V_B$ và $p_B=p_A/2$ , suy ra $V_B/V_A=(p_A/p_B)^2=4$ . (1) Với lượng khí không đổi, $T_B/T_A=p_BV_B/(p_AV_A)=(1/2)\cdot4=2$ . Vậy thể tích tăng bốn lần và nhiệt độ tăng hai lần.
Từ $p_A^2V_A=p_B^2V_B$ và $p_B=p_A/2$, suy ra $V_B/V_A=(p_A/p_B)^2=4$. (1) Với lượng khí không đổi, $T_B/T_A=p_BV_B/(p_AV_A)=(1/2)\cdot4=2$. Vậy thể tích tăng bốn lần và nhiệt độ tăng hai lần.
5
Thế lại: $(p_A/2)^2(4V_A)=p_A^2V_A$ .
Thế lại: $(p_A/2)^2(4V_A)=p_A^2V_A$.
6
Nếu pB=2pA thì VB=VA/4 và TB=TA/2.

Ví dụ

Công trên đường trục biến đổi

1
Cho A $(p_0,V_0)$ tới B $(p_0/2,4V_0)$ trên $p^2V=p_0^2V_0$ . Tính công khí thực hiện.
Cho A$(p_0,V_0)$ tới B$(p_0/2,4V_0)$ trên $p^2V=p_0^2V_0$. Tính công khí thực hiện.
2
Diện tích trên p²–V không có đơn vị công; phải dựng p(V).
3
Tích phân $p_0\sqrt{V_0/V}$ theo V.
Tích phân $p_0\sqrt{V_0/V}$ theo V.
4
Ta có $p(V)=p_0\sqrt{V_0/V}$ . Do đó $A=\int_{V_0}^{4V_0}p_0\sqrt{V_0}V^{-1/2}dV=2p_0\sqrt{V_0}(2\sqrt{V_0}-\sqrt{V_0})=2p_0V_0$ . Vậy khí sinh công $2p_0V_0$ J nếu p0 tính bằng Pa và V0 bằng m³.
Ta có $p(V)=p_0\sqrt{V_0/V}$. Do đó $A=\int_{V_0}^{4V_0}p_0\sqrt{V_0}V^{-1/2}dV=2p_0\sqrt{V_0}(2\sqrt{V_0}-\sqrt{V_0})=2p_0V_0$. Vậy khí sinh công $2p_0V_0$ J nếu p0 tính bằng Pa và V0 bằng m³.
5
Khí nở nên công dương; thứ nguyên p0V0 là J.
6
Đi ngược B→A cho công $-2p_0V_0$ .
Đi ngược B→A cho công $-2p_0V_0$.

Luyện tập có hướng dẫn

Tự luyện và challenge checkpoint

Lỗi thường gặp

Không gọi hyperbol trên trục biến đổi là đẳng nhiệt; không lấy diện tích p²–V làm công; không bỏ nghiệm p>0 của áp suất tuyệt đối.

Chốt bài: Em đã suy được quan hệ vật lí từ đồ thị có trục biến đổi và tìm các tỉ số p,V,T mà không gán nhầm quá trình chuẩn. Bài sau giữ nguyên các trạng thái nhưng dựng lại cả chu trình từ p–T sang p–V.