Bài học

Tỉ số hạt mẹ–hạt con từ định luật phóng xạ

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em lập được số hạt mẹ, số hạt con bền và tìm thời điểm từ một tỉ số cho trước.

Kiến thức cần có

Cần định luật $N=N_0 2^{-t/T}$ , ý nghĩa chu kì bán rã và bảo toàn số hạt trong nhánh một–một.

Cần định luật $N=N_0 2^{-t/T}$, ý nghĩa chu kì bán rã và bảo toàn số hạt trong nhánh một–một.

Mở rộng dành cho HSG. YCCĐ Vật lí 12 cung cấp định luật phóng xạ, chu kì bán rã, độ phóng xạ, độ hụt khối và năng lượng phản ứng. Khóa này đi xa hơn ở ba điểm: theo dõi đồng thời hạt mẹ–hạt con trong chuỗi, cộng các hàm hoạt độ có chu kì khác nhau, và phối hợp bảo toàn năng lượng với bảo toàn động lượng cho nhiều hạt sản phẩm. Mỗi công cụ mở rộng đều được dựng từ định luật nền, không đưa ra như một công thức phải học thuộc. Tiền đề là Foundation Course 7–8 và kĩ năng hàm mũ, vectơ, công suất ở lớp 12.

**Mở rộng dành cho HSG.** YCCĐ Vật lí 12 cung cấp định luật phóng xạ, chu kì bán rã, độ phóng xạ, độ hụt khối và năng lượng phản ứng. Khóa này đi xa hơn ở ba điểm: theo dõi đồng thời hạt mẹ–hạt con trong chuỗi, cộng các hàm hoạt độ có chu kì khác nhau, và phối hợp bảo toàn năng lượng với bảo toàn động lượng cho nhiều hạt sản phẩm. Mỗi công cụ mở rộng đều được dựng từ định luật nền, không đưa ra như một công thức phải học thuộc. Tiền đề là Foundation Course 7–8 và kĩ năng hàm mũ, vectơ, công suất ở lớp 12.

Câu hỏi mở đầu

Khi số hạt con bằng số hạt mẹ còn lại, có phải luôn đúng một chu kì bán rã không?

Từ hiện tượng tới mô hình

Một lời giải hạt nhân đáng tin phải tách ba tầng. Tầng hiện tượng nêu hạt nào phân rã, hạt nào được tạo, hệ ban đầu đứng yên hay chuyển động. Tầng mô hình chọn số hạt $N$ , hoạt độ $H=\lambda N$ , năng lượng $Q$ và động lượng vectơ $\vec p$ . Tầng kiểm tra đối chiếu số hạt không âm, hoạt độ giảm đúng xu hướng, năng lượng có đơn vị J hoặc MeV, và tổng động lượng trước–sau. Không nhảy từ câu chuyện thẳng tới một công thức vì hai bài cùng có “chu kì bán rã” vẫn có thể cần mô hình khác nhau.

Một lời giải hạt nhân đáng tin phải tách ba tầng. **Tầng hiện tượng** nêu hạt nào phân rã, hạt nào được tạo, hệ ban đầu đứng yên hay chuyển động. **Tầng mô hình** chọn số hạt $N$, hoạt độ $H=\lambda N$, năng lượng $Q$ và động lượng vectơ $\vec p$. **Tầng kiểm tra** đối chiếu số hạt không âm, hoạt độ giảm đúng xu hướng, năng lượng có đơn vị J hoặc MeV, và tổng động lượng trước–sau. Không nhảy từ câu chuyện thẳng tới một công thức vì hai bài cùng có “chu kì bán rã” vẫn có thể cần mô hình khác nhau.

Xét nhánh $A\to B$ trong đó mỗi A tạo một B bền và ban đầu chưa có B. Ta có $N_A=N_0 2^{-t/T}$ , còn $N_B=N_0-N_A$ . Vì vậy tỉ số $r=N_B/N_A$ cho $N_A=N_0/(r+1)$ và $t=T\log_2(r+1)$ . Trường hợp $r=1$ mới cho t=T. Nếu ban đầu đã có B hoặc hệ có nhiều nhánh, phép trừ đơn giản này phải được sửa theo dữ kiện.

Xét nhánh $A\to B$ trong đó mỗi A tạo một B bền và ban đầu chưa có B. Ta có $N_A=N_0 2^{-t/T}$, còn $N_B=N_0-N_A$. Vì vậy tỉ số $r=N_B/N_A$ cho $N_A=N_0/(r+1)$ và $t=T\log_2(r+1)$. Trường hợp $r=1$ mới cho t=T. Nếu ban đầu đã có B hoặc hệ có nhiều nhánh, phép trừ đơn giản này phải được sửa theo dữ kiện.

Chỉ khi hạt con bền và nhánh một–một mới dùng trực tiếp N_B=N_0−N_A.

Đào sâu và kiểm giới hạn

Đặt phần còn lại $x=N_A/N_0$ . Khi đó phần hạt con bền là 1−x và tỉ số con/mẹ là $(1-x)/x$ . Cách chuẩn hóa loại bỏ N0, nên nhiều bài hỏi thời gian không cần biết khối lượng mẫu. Nếu hỏi khối lượng, chỉ được đổi số hạt sang khối lượng khi biết khối lượng mol và lưu ý hạt mẹ, hạt con có khối lượng hạt nhân khác nhau; ở bài đếm tỉ lệ, ta đang bảo toàn số sự kiện một–một chứ không khẳng định bảo toàn khối lượng nghỉ.

Đặt phần còn lại $x=N_A/N_0$. Khi đó phần hạt con bền là 1−x và tỉ số con/mẹ là $(1-x)/x$. Cách chuẩn hóa loại bỏ N0, nên nhiều bài hỏi thời gian không cần biết khối lượng mẫu. Nếu hỏi khối lượng, chỉ được đổi số hạt sang khối lượng khi biết khối lượng mol và lưu ý hạt mẹ, hạt con có khối lượng hạt nhân khác nhau; ở bài đếm tỉ lệ, ta đang bảo toàn số sự kiện một–một chứ không khẳng định bảo toàn khối lượng nghỉ.

Đồ thị giúp kiểm đáp án: $N_A$ giảm từ N0 về 0, $N_B$ tăng từ 0 về N0, hai đường cắt nhau tại N0/2. Với r=3, hạt mẹ còn 1/4 nên cần hai chu kì. Với r=7, hạt mẹ còn 1/8 nên cần ba chu kì. Dãy r=1,3,7 tương ứng $2^n-1$ là một cách nhìn nhanh nhưng lời giải vẫn phải lập phương trình.

Nếu hạt con chưa bền, $N_B$ không còn bằng $N_0-N_A$ vì một phần B đã tiếp tục phân rã. Nếu một A phân rã theo hai nhánh, số B tạo ra còn phải nhân tỉ lệ nhánh. Hai điều kiện này là dấu hiệu chuyển sang mô hình tốc độ ở bài sau.

Sổ tay phóng xạ

Với một đồng vị độc lập, $N=N_0e^{-\lambda t}=N_0,2^{-t/T}$ và $H=H_0,2^{-t/T}$ , trong đó $\lambda=\ln2/T$ . Số đã phân rã bằng $N_0-N$ , nhưng số hạt con đang còn lại chỉ bằng số đó khi mỗi phân rã tạo đúng một hạt con và hạt con bền. Nếu hạt con cũng phóng xạ, phải kê cả tốc độ được sinh ra lẫn tốc độ mất đi. Đây là ranh giới quan trọng giữa bài một bước và chuỗi liên tiếp.

Với một đồng vị độc lập, $N=N_0e^{-\lambda t}=N_0,2^{-t/T}$ và $H=H_0,2^{-t/T}$, trong đó $\lambda=\ln2/T$. Số đã phân rã bằng $N_0-N$, nhưng số hạt con đang còn lại chỉ bằng số đó khi mỗi phân rã tạo đúng một hạt con và hạt con bền. Nếu hạt con cũng phóng xạ, phải kê cả tốc độ được sinh ra lẫn tốc độ mất đi. Đây là ranh giới quan trọng giữa bài một bước và chuỗi liên tiếp.

Sổ tay phản ứng

Năng lượng phản ứng $Q=(\sum m_{trước}-\sum m_{sau})c^2$ . Khi Q dương, phần năng lượng giải phóng đi vào động năng và các kênh khác được nêu trong đề. Bảo toàn năng lượng không quyết định riêng phần động năng của từng hạt; phải dùng thêm $\sum\vec p_{trước}=\sum\vec p_{sau}$ . Với hạt không tương đối tính, $K=p^2/(2m)$ . Nếu hạt mẹ đứng yên phân thành hai mảnh, hai động lượng đối nhau và cùng độ lớn, nên mảnh nhẹ nhận động năng lớn hơn.

Năng lượng phản ứng $Q=(\sum m_{trước}-\sum m_{sau})c^2$. Khi Q dương, phần năng lượng giải phóng đi vào động năng và các kênh khác được nêu trong đề. Bảo toàn năng lượng không quyết định riêng phần động năng của từng hạt; phải dùng thêm $\sum\vec p_{trước}=\sum\vec p_{sau}$. Với hạt không tương đối tính, $K=p^2/(2m)$. Nếu hạt mẹ đứng yên phân thành hai mảnh, hai động lượng đối nhau và cùng độ lớn, nên mảnh nhẹ nhận động năng lớn hơn.

Chuẩn Hướng dẫn giải

Trong Hướng dẫn giải, trước hết ghi giả thiết và đại lượng được bảo toàn. Với phóng xạ, viết hàm theo thời gian rồi mới lập tỉ số hoặc phương trình; với phản ứng, ghi riêng (1) bảo toàn năng lượng và (2) bảo toàn động lượng. Nêu tên lí do ở bước biến đổi quyết định, kiểm đơn vị và giới hạn. Kết thúc bằng “Vậy …” kèm thời gian, hoạt độ, năng lượng, tốc độ phản ứng hoặc khối lượng nhiên liệu theo số chữ số phù hợp.

Trong **Hướng dẫn giải**, trước hết ghi giả thiết và đại lượng được bảo toàn. Với phóng xạ, viết hàm theo thời gian rồi mới lập tỉ số hoặc phương trình; với phản ứng, ghi riêng (1) bảo toàn năng lượng và (2) bảo toàn động lượng. Nêu tên lí do ở bước biến đổi quyết định, kiểm đơn vị và giới hạn. Kết thúc bằng “Vậy …” kèm thời gian, hoạt độ, năng lượng, tốc độ phản ứng hoặc khối lượng nhiên liệu theo số chữ số phù hợp.

Error-log xuyên khóa

Error-log của khóa gồm: coi số hạt đã phân rã luôn bằng số hạt con còn lại; cộng chu kì bán rã thay vì cộng hoạt độ; dùng $T$ thay $\lambda$ trong tốc độ; chia đều Q cho hai mảnh có khối lượng khác nhau; bảo toàn độ lớn động lượng nhưng quên hướng; đổi MeV sang J sai $10^6$ ; và đồng nhất công suất điện với công suất nhiệt khi đề cho hiệu suất. Mỗi lần sai, quay lại sơ đồ dòng “được sinh ra–bị mất đi” hoặc bảng ngân sách “năng lượng–động lượng”.

Error-log của khóa gồm: coi số hạt đã phân rã luôn bằng số hạt con còn lại; cộng chu kì bán rã thay vì cộng hoạt độ; dùng $T$ thay $\lambda$ trong tốc độ; chia đều Q cho hai mảnh có khối lượng khác nhau; bảo toàn độ lớn động lượng nhưng quên hướng; đổi MeV sang J sai $10^6$; và đồng nhất công suất điện với công suất nhiệt khi đề cho hiệu suất. Mỗi lần sai, quay lại sơ đồ dòng “được sinh ra–bị mất đi” hoặc bảng ngân sách “năng lượng–động lượng”.

Ví dụ

Ví dụ 1 — Số hạt con bằng số hạt mẹ

1
Đồng vị A có chu kì bán rã 6 giờ, phân rã một–một thành B bền. Ban đầu chỉ có A. Tìm thời điểm số B bằng số A còn lại.
2
Cần chứng minh điều kiện bằng mô hình số hạt, thay vì chỉ nhớ câu ‘một nửa’.
3
Dùng bảo toàn số sự kiện A→B: $N_B=N_0-N_A$ .
Dùng bảo toàn số sự kiện A→B: $N_B=N_0-N_A$.
4
Theo định luật phóng xạ, $N_A=N_0 2^{-t/6}$ . Vì B bền và ban đầu chưa có B, $N_B=N_0-N_A$ . Điều kiện $N_B=N_A$ cho $N_0-N_A=N_A$ , suy ra $N_A=N_0/2$ . Do đó $2^{-t/6}=1/2$ , nên t=6 giờ. Vậy sau 6 giờ, số hạt B bằng số hạt A còn lại.
Theo định luật phóng xạ, $N_A=N_0 2^{-t/6}$. Vì B bền và ban đầu chưa có B, $N_B=N_0-N_A$. Điều kiện $N_B=N_A$ cho $N_0-N_A=N_A$, suy ra $N_A=N_0/2$. Do đó $2^{-t/6}=1/2$, nên t=6 giờ. Vậy sau 6 giờ, số hạt B bằng số hạt A còn lại.
5
Mỗi loại chiếm một nửa tổng số hạt theo mô hình một–một.
6
Nếu B gấp ba A, phần A còn 1/4 và thời gian là 12 giờ.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Tỉ số con/mẹ bằng 7

1
Vẫn mẫu trên. Khi nào số B bền gấp 7 lần số A còn lại?
2
Tỉ số 7 không có nghĩa đã phân rã 7/8 của từng hạt theo một phép chia thời gian tuyến tính.
3
Chuẩn hóa $x=N_A/N_0$ , giải $(1-x)/x=7$ .
Chuẩn hóa $x=N_A/N_0$, giải $(1-x)/x=7$.
4
Đặt $x=N_A/N_0=2^{-t/6}$ . Theo bảo toàn số hạt trong nhánh một–một, $N_B/N_0=1-x$ . Điều kiện $(1-x)/x=7$ cho x=1/8. Vì $1/8=2^{-3}$ , ta có t/6=3, hay t=18 giờ. Vậy sau 18 giờ, số hạt B gấp 7 lần số hạt A còn lại.
Đặt $x=N_A/N_0=2^{-t/6}$. Theo bảo toàn số hạt trong nhánh một–một, $N_B/N_0=1-x$. Điều kiện $(1-x)/x=7$ cho x=1/8. Vì $1/8=2^{-3}$, ta có t/6=3, hay t=18 giờ. Vậy sau 18 giờ, số hạt B gấp 7 lần số hạt A còn lại.
5
Sau ba chu kì, A còn 1/8 và B đã tạo 7/8.
6
Tỉ số B/A=15 tương ứng bốn chu kì, tức 24 giờ.

Luyện tập có hướng dẫn

Tự luyện và challenge checkpoint

Lỗi thường gặp

Không dùng công thức tích lũy con bền khi hạt con phóng xạ; không biến tỉ số số hạt thành tỉ số thời gian; không quên lượng hạt con ban đầu.

Chốt bài: Em đã lập được số hạt mẹ, số hạt con bền và tìm thời điểm từ một tỉ số cho trước. Bài sau thêm kênh mất của hạt con và dựng công thức chuỗi hai tầng.