Bài học

Xây dựng công thức áp suất theo động năng phân tử trung bình và mật độ phân tử

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em viết đúng công thức áp suất chất khí theo mô hình động học phân tử $p = \frac{1}{3} n_0 m \overline{v^2}$ , nêu được ý nghĩa của từng đại lượng, và vận dụng công thức để tính áp suất khi biết mật độ phân tử, khối lượng phân tử và giá trị trung bình bình phương tốc độ.

Sau bài này, em viết đúng công thức áp suất chất khí theo mô hình động học phân tử $p = \frac{1}{3} n_0 m \overline{v^2}$, nêu được ý nghĩa của từng đại lượng, và vận dụng công thức để tính áp suất khi biết mật độ phân tử, khối lượng phân tử và giá trị trung bình bình phương tốc độ.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã kết luận định tính: áp suất khí tăng khi mật độ phân tử tăng, hoặc khi tốc độ trung bình phân tử tăng (same-grade bridge). Bài này viết chính xác mối quan hệ đó bằng một công thức, dựa trên kết quả của thuyết động học phân tử. Em cũng cần nhớ lại động năng $W_đ = \frac{1}{2}mv^2$ đã học ở THCS để hiểu vế phải của công thức.

Bài trước đã kết luận định tính: áp suất khí tăng khi mật độ phân tử tăng, hoặc khi tốc độ trung bình phân tử tăng *(same-grade bridge)*. Bài này viết chính xác mối quan hệ đó bằng một công thức, dựa trên kết quả của thuyết động học phân tử. Em cũng cần nhớ lại động năng $W_đ = \frac{1}{2}mv^2$ đã học ở THCS để hiểu vế phải của công thức.

Khởi động

Bơm thêm khí vào một chiếc lốp xe đạp (giữ nguyên thể tích lốp, giữ nguyên nhiệt độ) khiến lốp cứng hơn hẳn — áp suất tăng dù nhiệt độ không đổi. Yếu tố nào đã thay đổi để gây ra điều đó?

Kiến thức trọng tâm

Có thể chứng minh được rằng, với một khối khí lí tưởng, áp suất $p$ mà khí đó gây ra lên thành bình liên hệ với các đại lượng vi mô của phân tử theo công thức:

$p = \frac{1}{3} n_0 m \overline{v^2}$

$$p = \frac{1}{3} n_0 m \overline{v^2}$$

trong đó $n_0 = \frac{N}{V}$ là mật độ số phân tử (số phân tử khí trong một đơn vị thể tích, đơn vị phân tử/m³), $m$ là khối lượng của một phân tử khí (kg), và $\overline{v^2}$ là giá trị trung bình của bình phương tốc độ các phân tử. Vì các phân tử khí chuyển động hỗn loạn với tốc độ khác nhau nên phải lấy trung bình của $v^2$ chứ không phải bình phương của tốc độ trung bình — hai đại lượng này nói chung không bằng nhau.

trong đó $n_0 = \frac{N}{V}$ là **mật độ số phân tử** (số phân tử khí trong một đơn vị thể tích, đơn vị phân tử/m³), $m$ là khối lượng của một phân tử khí (kg), và $\overline{v^2}$ là **giá trị trung bình của bình phương tốc độ** các phân tử. Vì các phân tử khí chuyển động hỗn loạn với tốc độ khác nhau nên phải lấy trung bình của $v^2$ chứ không phải bình phương của tốc độ trung bình — hai đại lượng này nói chung không bằng nhau.

Để hình dung độ lớn của $n_0$ : không khí ở điều kiện thường có mật độ phân tử cỡ $2{,}5 \times 10^{25}$ phân tử/m³ — một con số khổng lồ, phản ánh đúng thực tế rằng dù khoảng cách phân tử khí lớn hơn nhiều so với kích thước phân tử (đã học ở Chương 1), số phân tử chứa trong một mét khối không khí vẫn cực kì lớn. Đây là lí do vì sao các giá trị $n_0$ trong bài học và bài tập của chương này đều mang số mũ $10^{25}$ : đó không phải là số liệu được chọn tuỳ ý, mà phản ánh đúng bậc độ lớn thực tế của chất khí.

Để hình dung độ lớn của $n_0$: không khí ở điều kiện thường có mật độ phân tử cỡ $2{,}5 \times 10^{25}$ phân tử/m³ — một con số khổng lồ, phản ánh đúng thực tế rằng dù khoảng cách phân tử khí lớn hơn nhiều so với kích thước phân tử (đã học ở Chương 1), số phân tử chứa trong một mét khối không khí vẫn cực kì lớn. Đây là lí do vì sao các giá trị $n_0$ trong bài học và bài tập của chương này đều mang số mũ $10^{25}$: đó không phải là số liệu được chọn tuỳ ý, mà phản ánh đúng bậc độ lớn thực tế của chất khí.

Công thức trên có thể viết lại theo động năng tịnh tiến trung bình của một phân tử $\overline{W_đ} = \frac{1}{2} m \overline{v^2}$ , thành $p = \frac{2}{3} n_0 \overline{W_đ}$ . Cách viết này cho thấy rõ điều bài trước đã lập luận định tính: áp suất tỉ lệ thuận với mật độ phân tử $n_0$ VÀ tỉ lệ thuận với động năng trung bình (tức bình phương tốc độ trung bình) của phân tử. Khi so sánh hai khối khí cùng loại phân tử (cùng $m$ ), tỉ số áp suất chỉ phụ thuộc tích của hai tỉ số này:

Công thức trên có thể viết lại theo động năng tịnh tiến trung bình của một phân tử $\overline{W_đ} = \frac{1}{2} m \overline{v^2}$, thành $p = \frac{2}{3} n_0 \overline{W_đ}$. Cách viết này cho thấy rõ điều bài trước đã lập luận định tính: áp suất tỉ lệ thuận với mật độ phân tử $n_0$ VÀ tỉ lệ thuận với động năng trung bình (tức bình phương tốc độ trung bình) của phân tử. Khi so sánh hai khối khí cùng loại phân tử (cùng $m$), tỉ số áp suất chỉ phụ thuộc tích của hai tỉ số này:

$\dfrac{p_1}{p_2} = \dfrac{n_{0,1}}{n_{0,2}} \times \dfrac{\overline{v^2}_1}{\overline{v^2}_2}$

$$\dfrac{p_1}{p_2} = \dfrac{n_{0,1}}{n_{0,2}} \times \dfrac{\overline{v^2}_1}{\overline{v^2}_2}$$

Có thể kiểm tra sự hợp lí của công thức bằng cách xét đơn vị: $n_0$ có đơn vị $1/\text{m}^3$ , $m$ có đơn vị kg, $\overline{v^2}$ có đơn vị $\text{m}^2/\text{s}^2$ . Nhân ba đại lượng lại: $\dfrac{1}{\text{m}^3} \times \text{kg} \times \dfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2} = \dfrac{\text{kg}}{\text{m} \cdot \text{s}^2}$ , đúng bằng đơn vị áp suất Pa ( $1$ Pa $= 1\,\text{N/m}^2 = 1\,\text{kg}/(\text{m}\cdot\text{s}^2)$ ). Việc đơn vị hai vế khớp nhau là một cách kiểm tra nhanh công thức trước khi thay số, không cần nhớ máy móc hệ số $\frac{1}{3}$ .

Có thể kiểm tra sự hợp lí của công thức bằng cách xét đơn vị: $n_0$ có đơn vị $1/\text{m}^3$, $m$ có đơn vị kg, $\overline{v^2}$ có đơn vị $\text{m}^2/\text{s}^2$. Nhân ba đại lượng lại: $\dfrac{1}{\text{m}^3} \times \text{kg} \times \dfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2} = \dfrac{\text{kg}}{\text{m} \cdot \text{s}^2}$, đúng bằng đơn vị áp suất Pa ($1$ Pa $= 1\,\text{N/m}^2 = 1\,\text{kg}/(\text{m}\cdot\text{s}^2)$). Việc đơn vị hai vế khớp nhau là một cách kiểm tra nhanh công thức trước khi thay số, không cần nhớ máy móc hệ số $\frac{1}{3}$.

Bước kiểm tra cuối cùng rất quan trọng: nếu kết quả lệch quá xa 10⁵ Pa cho khí ở điều kiện thường, nhiều khả năng đã sai đơn vị.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tính áp suất khí từ mật độ phân tử và tốc độ phân tử

1
Một khối khí có mật độ phân tử $n_0 = 2 \times 10^{25}$ phân tử/m³, khối lượng mỗi phân tử $m = 5 \times 10^{-26}$ kg, và giá trị trung bình bình phương tốc độ phân tử $\overline{v^2} = 3 \times 10^{5}$ m²/s². Tính áp suất khí.
Một khối khí có mật độ phân tử $n_0 = 2 \times 10^{25}$ phân tử/m³, khối lượng mỗi phân tử $m = 5 \times 10^{-26}$ kg, và giá trị trung bình bình phương tốc độ phân tử $\overline{v^2} = 3 \times 10^{5}$ m²/s². Tính áp suất khí.
2
$p = \frac{1}{3} n_0 m \overline{v^2} = \frac{1}{3} \times (2 \times 10^{25}) \times (5 \times 10^{-26}) \times (3 \times 10^{5})$ .
$p = \frac{1}{3} n_0 m \overline{v^2} = \frac{1}{3} \times (2 \times 10^{25}) \times (5 \times 10^{-26}) \times (3 \times 10^{5})$.
3
$n_0 m = (2 \times 10^{25}) \times (5 \times 10^{-26}) = 1$ (kg/m³). Suy ra $p = \frac{1}{3} \times 1 \times (3 \times 10^{5}) = 1 \times 10^{5}$ Pa.
$n_0 m = (2 \times 10^{25}) \times (5 \times 10^{-26}) = 1$ (kg/m³). Suy ra $p = \frac{1}{3} \times 1 \times (3 \times 10^{5}) = 1 \times 10^{5}$ Pa.
4
Áp suất khí quyển chuẩn xấp xỉ $1{,}013 \times 10^{5}$ Pa. Kết quả tính được cùng bậc độ lớn với áp suất khí quyển — hợp lí cho một khối khí ở điều kiện gần với điều kiện thường.
Áp suất khí quyển chuẩn xấp xỉ $1{,}013 \times 10^{5}$ Pa. Kết quả tính được cùng bậc độ lớn với áp suất khí quyển — hợp lí cho một khối khí ở điều kiện gần với điều kiện thường.
5
Vậy áp suất khối khí là $p \approx 1 \times 10^{5}$ Pa $= 100$ kPa.
Vậy áp suất khối khí là $p \approx 1 \times 10^{5}$ Pa $= 100$ kPa.

Ví dụ

Nén khí ở nhiệt độ không đổi — áp suất thay đổi bao nhiêu lần (dạng thi)

1
Vẫn xét khối khí ở ví dụ trên, có áp suất ban đầu $p_1 \approx 1 \times 10^{5}$ Pa. Nén khí ở nhiệt độ không đổi (nên $\overline{v^2}$ không đổi) sao cho mật độ phân tử tăng lên gấp 3 lần. Tính áp suất $p_2$ sau khi nén.
Vẫn xét khối khí ở ví dụ trên, có áp suất ban đầu $p_1 \approx 1 \times 10^{5}$ Pa. Nén khí ở nhiệt độ không đổi (nên $\overline{v^2}$ không đổi) sao cho mật độ phân tử tăng lên gấp 3 lần. Tính áp suất $p_2$ sau khi nén.
2
Vì cùng loại khí (cùng $m$ ) và nhiệt độ không đổi (cùng $\overline{v^2}$ ), tỉ số áp suất chỉ còn phụ thuộc tỉ số mật độ phân tử: $\dfrac{p_2}{p_1} = \dfrac{n_{0,2}}{n_{0,1}} = 3$ .
Vì cùng loại khí (cùng $m$) và nhiệt độ không đổi (cùng $\overline{v^2}$), tỉ số áp suất chỉ còn phụ thuộc tỉ số mật độ phân tử: $\dfrac{p_2}{p_1} = \dfrac{n_{0,2}}{n_{0,1}} = 3$.
3
$p_2 = 3 \times p_1 = 3 \times (1 \times 10^{5}) = 3 \times 10^{5}$ Pa.
$p_2 = 3 \times p_1 = 3 \times (1 \times 10^{5}) = 3 \times 10^{5}$ Pa.
4
Kết quả phù hợp với hiểu biết thông thường: nén khí ở nhiệt độ không đổi làm áp suất tăng — đây chính là mối liên hệ mà định luật Boyle ở khoá học sau sẽ phát biểu đầy đủ, còn ở bài này ta giải thích được bằng mô hình động học phân tử.
5
Vậy sau khi nén, áp suất khí tăng lên $p_2 = 3 \times 10^{5}$ Pa, gấp 3 lần áp suất ban đầu.
Vậy sau khi nén, áp suất khí tăng lên $p_2 = 3 \times 10^{5}$ Pa, gấp 3 lần áp suất ban đầu.

Mật độ phân tử tăng gấp 3 lần trong khi tốc độ trung bình không đổi nên áp suất cũng tăng đúng gấp 3 lần.

Ví dụ

Kiểm tra đơn vị trước khi tính — phát hiện lỗi đề bài

1
Một học sinh tính áp suất bằng công thức $p = \frac{1}{3} n_0 m \overline{v^2}$ nhưng thay nhầm khối lượng phân tử theo đơn vị gam thay vì kilôgam: $n_0 = 2\times10^{25}$ phân tử/m³, $m = 5\times10^{-23}$ g (quên đổi sang kg), $\overline{v^2}=3\times10^{5}$ m²/s². Kết quả học sinh tính được là bao nhiêu, và vì sao đây là một con số vô lí?
Một học sinh tính áp suất bằng công thức $p = \frac{1}{3} n_0 m \overline{v^2}$ nhưng thay nhầm khối lượng phân tử theo đơn vị gam thay vì kilôgam: $n_0 = 2\times10^{25}$ phân tử/m³, $m = 5\times10^{-23}$ g (quên đổi sang kg), $\overline{v^2}=3\times10^{5}$ m²/s². Kết quả học sinh tính được là bao nhiêu, và vì sao đây là một con số vô lí?
2
$n_0 m = (2\times10^{25})(5\times10^{-23}) = 1000$ ; $p = \frac{1}{3}(1000)(3\times10^{5}) = 1\times10^{8}$ Pa.
$n_0 m = (2\times10^{25})(5\times10^{-23}) = 1000$; $p = \frac{1}{3}(1000)(3\times10^{5}) = 1\times10^{8}$ Pa.
3
$1\times10^{8}$ Pa lớn gấp khoảng $1000$ lần áp suất khí quyển chuẩn ( $10^5$ Pa) — vô lí đối với một khối khí ở điều kiện gần điều kiện thường như đề mô tả. Đây là dấu hiệu rõ ràng của lỗi đơn vị: $5\times10^{-23}$ g $= 5\times10^{-26}$ kg, đúng như ví dụ đầu tiên đã dùng, chứ không phải $5\times10^{-23}$ kg.
$1\times10^{8}$ Pa lớn gấp khoảng $1000$ lần áp suất khí quyển chuẩn ($10^5$ Pa) — vô lí đối với một khối khí ở điều kiện gần điều kiện thường như đề mô tả. Đây là dấu hiệu rõ ràng của lỗi đơn vị: $5\times10^{-23}$ g $= 5\times10^{-26}$ kg, đúng như ví dụ đầu tiên đã dùng, chứ không phải $5\times10^{-23}$ kg.
4
Vậy kết quả đúng phải tính lại với $m = 5\times10^{-26}$ kg, cho $p = 1\times10^{5}$ Pa như ví dụ đầu — bước kiểm tra bậc độ lớn giúp phát hiện ngay lỗi quên đổi đơn vị trước khi nộp bài.
Vậy kết quả đúng phải tính lại với $m = 5\times10^{-26}$ kg, cho $p = 1\times10^{5}$ Pa như ví dụ đầu — bước kiểm tra bậc độ lớn giúp phát hiện ngay lỗi quên đổi đơn vị trước khi nộp bài.

Sai lầm thường gặp

Nhầm lẫn thường gặp: dùng tốc độ trung bình $\overline{v}$ thay cho giá trị trung bình bình phương tốc độ $\overline{v^2}$ khi thay vào công thức — hai đại lượng này khác nhau vì phân tử có tốc độ không đều nhau. Một nhầm lẫn khác là quên đổi khối lượng phân tử từ đơn vị u (đơn vị khối lượng nguyên tử) sang kg trước khi thay số, khiến kết quả sai hàng chục bậc độ lớn.

Về hệ số $\frac{1}{3}$ trong công thức: phân tử khí chuyển động hỗn loạn theo cả ba chiều trong không gian (trái–phải, trên–dưới, trước–sau) một cách ngẫu nhiên và như nhau theo mọi phương. Áp suất lên một mặt thành bình chỉ do thành phần chuyển động vuông góc với mặt đó gây ra, và vì ba phương đóng góp như nhau vào tổng động năng chuyển động, mỗi phương trung bình chỉ đóng góp một phần ba tổng động năng đó. Đây là lí do trực giác cho hệ số $\frac{1}{3}$ , dù phần chứng minh chặt chẽ bằng động lượng va chạm nằm ngoài yêu cầu của chương trình nền tảng.

Về hệ số $\frac{1}{3}$ trong công thức: phân tử khí chuyển động hỗn loạn theo cả ba chiều trong không gian (trái–phải, trên–dưới, trước–sau) một cách ngẫu nhiên và như nhau theo mọi phương. Áp suất lên một mặt thành bình chỉ do thành phần chuyển động vuông góc với mặt đó gây ra, và vì ba phương đóng góp như nhau vào tổng động năng chuyển động, mỗi phương trung bình chỉ đóng góp một phần ba tổng động năng đó. Đây là lí do trực giác cho hệ số $\frac{1}{3}$, dù phần chứng minh chặt chẽ bằng động lượng va chạm nằm ngoài yêu cầu của chương trình nền tảng.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Áp suất chất khí theo mô hình động học phân tử: $p = \frac{1}{3} n_0 m \overline{v^2}$ , tỉ lệ thuận với mật độ phân tử $n_0$ và với giá trị trung bình bình phương tốc độ $\overline{v^2}$ (tức động năng trung bình của phân tử).

Áp suất chất khí theo mô hình động học phân tử: $p = \frac{1}{3} n_0 m \overline{v^2}$, tỉ lệ thuận với mật độ phân tử $n_0$ và với giá trị trung bình bình phương tốc độ $\overline{v^2}$ (tức động năng trung bình của phân tử).

Bài tiếp theo luyện riêng kĩ năng so sánh áp suất giữa hai mẫu khí — trước hết khi chỉ một yếu tố ( $n_0$ hoặc $\overline{v^2}$ ) khác nhau, sau đó khi cả hai yếu tố cùng thay đổi.

Bài tiếp theo luyện riêng kĩ năng so sánh áp suất giữa hai mẫu khí — trước hết khi chỉ một yếu tố ($n_0$ hoặc $\overline{v^2}$) khác nhau, sau đó khi cả hai yếu tố cùng thay đổi.