Bài học

Phương trình cân bằng nhiệt với ba vật trở lên

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em lập được phương trình cân bằng nhiệt cho hệ từ ba vật, kiểm tra dấu của từng nhiệt lượng và đánh giá tính hợp lí của nhiệt độ cân bằng.

Kiến thức cần có

Cần nhớ $Q=mc\Delta t$ , nguyên lí truyền nhiệt và quy ước: vật có nhiệt độ đầu cao hơn nhiệt độ cân bằng thì tỏa nhiệt; vật lạnh hơn thì thu nhiệt.

Cần nhớ $Q=mc\Delta t$, nguyên lí truyền nhiệt và quy ước: vật có nhiệt độ đầu cao hơn nhiệt độ cân bằng thì tỏa nhiệt; vật lạnh hơn thì thu nhiệt.

So với bài chuẩn: Bài chuẩn lớp 8 thường chỉ trộn hai vật và thay số trực tiếp vào $Q_{\text{tỏa}}=Q_{\text{thu}}$ . Bài HSG giấu vai trò tỏa–thu trong một hệ nhiều vật, buộc ta dự đoán khoảng nhiệt độ, phân nhóm và tự kiểm tra nghiệm.

**So với bài chuẩn:** Bài chuẩn lớp 8 thường chỉ trộn hai vật và thay số trực tiếp vào $Q_{\text{tỏa}}=Q_{\text{thu}}$. Bài HSG giấu vai trò tỏa–thu trong một hệ nhiều vật, buộc ta dự đoán khoảng nhiệt độ, phân nhóm và tự kiểm tra nghiệm.

Câu hỏi mở đầu

Ba vật có nhiệt độ đầu khác nhau cùng được đặt trong một bình cách nhiệt. Có phải vật ở nhiệt độ trung gian luôn giữ nguyên nhiệt lượng? Không. Vai trò của nó chỉ được biết sau khi tìm hoặc khoanh được nhiệt độ cân bằng.

Ý tưởng cốt lõi

Gọi nhiệt độ cân bằng là $t$ . Trước hết, khoanh $t$ giữa nhiệt độ nhỏ nhất và lớn nhất. Sau đó so sánh từng nhiệt độ đầu với $t$ : vật nóng hơn tỏa nhiệt, vật lạnh hơn thu nhiệt. Nếu chưa biết vật ở nhiệt độ trung gian thuộc phía nào, hãy xét hai khoảng hoặc lập phương trình đại số có dấu một cách nhất quán. Trong lời giải lớp 8, cách phân khoảng thường sáng rõ hơn. Với bình cách nhiệt lí tưởng, tổng nhiệt lượng tỏa bằng tổng nhiệt lượng thu. Nhiệt dung của mỗi vật là $C=mc$ ; vật có $C$ lớn kéo nhiệt độ cân bằng về gần nhiệt độ đầu của nó hơn. Đây là cách ước lượng nhanh trước khi bấm máy.

Gọi nhiệt độ cân bằng là $t$. Trước hết, khoanh $t$ giữa nhiệt độ nhỏ nhất và lớn nhất. Sau đó so sánh từng nhiệt độ đầu với $t$: vật nóng hơn tỏa nhiệt, vật lạnh hơn thu nhiệt. Nếu chưa biết vật ở nhiệt độ trung gian thuộc phía nào, hãy xét hai khoảng hoặc lập phương trình đại số có dấu một cách nhất quán. Trong lời giải lớp 8, cách phân khoảng thường sáng rõ hơn. Với bình cách nhiệt lí tưởng, tổng nhiệt lượng tỏa bằng tổng nhiệt lượng thu. Nhiệt dung của mỗi vật là $C=mc$; vật có $C$ lớn kéo nhiệt độ cân bằng về gần nhiệt độ đầu của nó hơn. Đây là cách ước lượng nhanh trước khi bấm máy.

Nhiệt dung

mc

của hai phần nước lớn hơn nhiều so với miếng kim loại; vì thế nhiệt độ cân bằng gần nhiệt độ trung bình có trọng số của nước.Nhiệt dung $mc$ của hai phần nước lớn hơn nhiều so với miếng kim loại; vì thế nhiệt độ cân bằng gần nhiệt độ trung bình có trọng số của nước.

Đào sâu phương pháp

Một cách nhìn mạnh hơn là coi nhiệt độ cân bằng như trung bình có trọng số theo nhiệt dung. Khi không có chuyển thể và không thất thoát, ta có $t=\dfrac{C_1t_1+C_2t_2+\cdots+C_nt_n}{C_1+C_2+\cdots+C_n}$ . Công thức này không thay thế lời giải tỏa–thu ở lớp 8; nó giúp kiểm tra nhanh và nhìn ra ảnh hưởng của từng vật. Nếu tăng gấp đôi khối lượng một vật mà giữ nguyên mọi dữ kiện khác, trọng số của vật ấy tăng gấp đôi. Nếu một miếng kim loại rất nóng nhưng có nhiệt dung nhỏ, nó vẫn có thể ảnh hưởng ít hơn một lượng nước chỉ hơi ấm. Với bài có ẩn là khối lượng hoặc nhiệt dung riêng, không nên dùng công thức trung bình một cách máy móc. Hãy viết cân bằng nhiệt trước, chỉ ra vật nào tỏa và vật nào thu, rồi mới biến đổi. Cách trình bày ấy cho thấy điều kiện của nghiệm và tránh nhầm dấu.

Một cách nhìn mạnh hơn là coi nhiệt độ cân bằng như trung bình có trọng số theo nhiệt dung. Khi không có chuyển thể và không thất thoát, ta có $t=\dfrac{C_1t_1+C_2t_2+\cdots+C_nt_n}{C_1+C_2+\cdots+C_n}$. Công thức này không thay thế lời giải tỏa–thu ở lớp 8; nó giúp kiểm tra nhanh và nhìn ra ảnh hưởng của từng vật. Nếu tăng gấp đôi khối lượng một vật mà giữ nguyên mọi dữ kiện khác, trọng số của vật ấy tăng gấp đôi. Nếu một miếng kim loại rất nóng nhưng có nhiệt dung nhỏ, nó vẫn có thể ảnh hưởng ít hơn một lượng nước chỉ hơi ấm. Với bài có ẩn là khối lượng hoặc nhiệt dung riêng, không nên dùng công thức trung bình một cách máy móc. Hãy viết cân bằng nhiệt trước, chỉ ra vật nào tỏa và vật nào thu, rồi mới biến đổi. Cách trình bày ấy cho thấy điều kiện của nghiệm và tránh nhầm dấu.

Khi đề nói hệ “đạt cân bằng ở nhiệt độ $t$ ”, hãy tự hỏi thêm ba câu. Nhiệt độ ấy có nằm trong khoảng cho phép không? Tổng nhiệt lượng tỏa có đúng bằng tổng nhiệt lượng thu khi thay ngược nghiệm không? Nếu bỏ một vật có nhiệt dung rất nhỏ, kết quả có thay đổi theo chiều hợp lí không? Ba phép thử này phát hiện phần lớn lỗi đổi đơn vị, nhầm dấu và nhập máy tính. Trong bài thi, ghi một dòng kiểm tra khoảng nhiệt độ thường đủ chứng minh em hiểu mô hình, không chỉ giải phương trình.

Khi đề nói hệ “đạt cân bằng ở nhiệt độ $t$”, hãy tự hỏi thêm ba câu. Nhiệt độ ấy có nằm trong khoảng cho phép không? Tổng nhiệt lượng tỏa có đúng bằng tổng nhiệt lượng thu khi thay ngược nghiệm không? Nếu bỏ một vật có nhiệt dung rất nhỏ, kết quả có thay đổi theo chiều hợp lí không? Ba phép thử này phát hiện phần lớn lỗi đổi đơn vị, nhầm dấu và nhập máy tính. Trong bài thi, ghi một dòng kiểm tra khoảng nhiệt độ thường đủ chứng minh em hiểu mô hình, không chỉ giải phương trình.

Xét một biến thể có thất thoát: đề cho 12% tổng nhiệt lượng phía nóng tỏa ra môi trường. Khi đó không được lấy kết quả của mô hình cách nhiệt rồi giảm nhiệt độ 12%, vì nhiệt độ không tỉ lệ trực tiếp với phần trăm thất thoát. Hãy gọi $Q_t$ là tổng nhiệt lượng các vật nóng giảm xuống $t$ . Chỉ $0{,}88Q_t$ truyền cho phía lạnh, nên phương trình là $0{,}88Q_t=Q_{thu}$ . Nếu đề nói “12% nhiệt lượng do vật A tỏa ra bị mất” thì hệ số chỉ đặt trước hạng của A, không đặt trước toàn vế. Hai cách hiểu cho kết quả khác nhau. Bài HSG thường kiểm tra chính khả năng đọc phạm vi của một dữ kiện phần trăm như vậy.

Xét một biến thể có thất thoát: đề cho 12% tổng nhiệt lượng phía nóng tỏa ra môi trường. Khi đó không được lấy kết quả của mô hình cách nhiệt rồi giảm nhiệt độ 12%, vì nhiệt độ không tỉ lệ trực tiếp với phần trăm thất thoát. Hãy gọi $Q_t$ là tổng nhiệt lượng các vật nóng giảm xuống $t$. Chỉ $0{,}88Q_t$ truyền cho phía lạnh, nên phương trình là $0{,}88Q_t=Q_{thu}$. Nếu đề nói “12% nhiệt lượng do vật A tỏa ra bị mất” thì hệ số chỉ đặt trước hạng của A, không đặt trước toàn vế. Hai cách hiểu cho kết quả khác nhau. Bài HSG thường kiểm tra chính khả năng đọc phạm vi của một dữ kiện phần trăm như vậy.

Trình bày để nhận đủ điểm

Mỗi lời giải định lượng cần có: đổi đơn vị; gọi ẩn và nêu điều kiện; xác định vật tỏa, vật thu hoặc trạng thái chuyển thể; viết hệ thức kèm tên nguyên lí; biến đổi có đơn vị; kiểm tra nghiệm; kết luận bằng “Vậy …”. Với câu giải thích, viết theo chuỗi nguồn nhiệt → cơ chế → vật nhận → hệ quả, rồi nêu điều kiện giới hạn. Cách trình bày này giúp người chấm thấy rõ lập luận ngay cả khi phép tính cuối có sai số nhỏ.

Tự kiểm tra trước khi xem lời giải

Hãy che phần đáp án và nói thành lời ba điều: mô hình nào đang dùng, dữ kiện nào quyết định mô hình ấy, và kết quả phải nằm trong giới hạn nào. Sau khi giải, thay ngược các đại lượng vào quan hệ vật lí thay vì chỉ kiểm tra phép tính đại số. Cuối cùng, đổi một dữ kiện theo chiều dễ đoán — tăng khối lượng vật nóng, thêm lớp cách nhiệt hoặc mở nắp — rồi xem kết quả của em có đổi đúng chiều không. Nếu không, hãy quay lại bước chọn mô hình trước khi sửa số.

Ví dụ

Ba vật trong bình cách nhiệt

1
Trộn $0{,}2$ kg nước ở $20^\circ$ C, $0{,}3$ kg nước ở $80^\circ$ C và miếng đồng $0{,}15$ kg ở $100^\circ$ C. Cho $c_{n}=4200$ J/(kg.K), $c_{Cu}=380$ J/(kg.K). Bỏ qua nhiệt dung bình. Tìm nhiệt độ cân bằng.
Trộn $0{,}2$ kg nước ở $20^\circ$C, $0{,}3$ kg nước ở $80^\circ$C và miếng đồng $0{,}15$ kg ở $100^\circ$C. Cho $c_{n}=4200$ J/(kg.K), $c_{Cu}=380$ J/(kg.K). Bỏ qua nhiệt dung bình. Tìm nhiệt độ cân bằng.
2
Có ba nguồn nhiệt lượng. Nếu ghép hai vật trước rồi làm tròn, kết quả phụ thuộc thứ tự ghép. Ta phải xét cả hệ trong cùng một phương trình bảo toàn năng lượng.
3
Cả nước nóng và đồng đều tỏa nhiệt; nước lạnh thu nhiệt. Dự đoán $20<t<80$ vì nhiệt dung của nước nóng lớn, còn đồng tuy nóng hơn nhưng nhiệt dung nhỏ.
Cả nước nóng và đồng đều tỏa nhiệt; nước lạnh thu nhiệt. Dự đoán $20<t<80$ vì nhiệt dung của nước nóng lớn, còn đồng tuy nóng hơn nhưng nhiệt dung nhỏ.
4
Ta có $C_1=0{,}2\cdot4200=840$ J/K, $C_2=1260$ J/K và $C_3=57$ J/K. Theo phương trình cân bằng nhiệt: $1260(80-t)+57(100-t)=840(t-20)$ . Suy ra $106500-1317t=840t-16800$ , nên $2157t=123300$ và $t\approx57{,}16^\circ$ C. Nghiệm thuộc khoảng $(20;80)$ , đúng với phân nhóm tỏa–thu. Vậy nhiệt độ cân bằng xấp xỉ $57{,}2^\circ$ C.
Ta có $C_1=0{,}2\cdot4200=840$ J/K, $C_2=1260$ J/K và $C_3=57$ J/K. Theo phương trình cân bằng nhiệt: $1260(80-t)+57(100-t)=840(t-20)$. Suy ra $106500-1317t=840t-16800$, nên $2157t=123300$ và $t\approx57{,}16^\circ$C. Nghiệm thuộc khoảng $(20;80)$, đúng với phân nhóm tỏa–thu. Vậy nhiệt độ cân bằng xấp xỉ $57{,}2^\circ$C.
5
Hãy cộng mọi nhiệt lượng trong một lần, không “trộn từng đôi”. Nếu đề cho thêm nhiệt dung bình, xem bình như một vật nữa có nhiệt dung $C_b$ .
Hãy cộng mọi nhiệt lượng trong một lần, không “trộn từng đôi”. Nếu đề cho thêm nhiệt dung bình, xem bình như một vật nữa có nhiệt dung $C_b$.

Ví dụ

Tìm khối lượng vật thứ tư

1
Trong bình cách nhiệt có $0{,}4$ kg nước ở $25^\circ$ C. Thả một miếng nhôm $0{,}2$ kg ở $90^\circ$ C và một miếng sắt ở $70^\circ$ C. Hệ cân bằng ở $35^\circ$ C. Cho $c_{Al}=880$ , $c_{Fe}=460$ , $c_n=4200$ J/(kg.K). Tìm khối lượng sắt.
Trong bình cách nhiệt có $0{,}4$ kg nước ở $25^\circ$C. Thả một miếng nhôm $0{,}2$ kg ở $90^\circ$C và một miếng sắt ở $70^\circ$C. Hệ cân bằng ở $35^\circ$C. Cho $c_{Al}=880$, $c_{Fe}=460$, $c_n=4200$ J/(kg.K). Tìm khối lượng sắt.
2
Dữ kiện nhiệt độ cân bằng đã cho nên không cần phân khoảng. Nước thu nhiệt; nhôm và sắt đều tỏa nhiệt. Khối lượng sắt là ẩn trong một hạng nhiệt lượng.
3
Nước thu $Q_n=0{,}4\cdot4200\cdot(35-25)=16800$ J. Nhôm tỏa $Q_{Al}=0{,}2\cdot880\cdot(90-35)=9680$ J. Gọi khối lượng sắt là $m>0$ . Theo cân bằng nhiệt: $9680+460m(70-35)=16800$ . Suy ra $16100m=7120$ , nên $m\approx0{,}442$ kg. Vậy miếng sắt có khối lượng khoảng $442$ g.
Nước thu $Q_n=0{,}4\cdot4200\cdot(35-25)=16800$ J. Nhôm tỏa $Q_{Al}=0{,}2\cdot880\cdot(90-35)=9680$ J. Gọi khối lượng sắt là $m>0$. Theo cân bằng nhiệt: $9680+460m(70-35)=16800$. Suy ra $16100m=7120$, nên $m\approx0{,}442$ kg. Vậy miếng sắt có khối lượng khoảng $442$ g.
4
Nhiệt lượng sắt tỏa là $7120$ J; cộng với $9680$ J đúng bằng $16800$ J. Đơn vị khối lượng đã đổi về kg trước khi dùng công thức.
Nhiệt lượng sắt tỏa là $7120$ J; cộng với $9680$ J đúng bằng $16800$ J. Đơn vị khối lượng đã đổi về kg trước khi dùng công thức.
5
Nếu bình cũng ở $25^\circ$ C và có nhiệt dung $300$ J/K, vế thu nhiệt tăng thêm $300(35-25)$ ; khối lượng sắt cần lớn hơn.
Nếu bình cũng ở $25^\circ$C và có nhiệt dung $300$ J/K, vế thu nhiệt tăng thêm $300(35-25)$; khối lượng sắt cần lớn hơn.

Luyện tập có hướng dẫn

Tự luyện và thử thách

Lỗi thường gặp

Đừng viết tất cả các hạng theo $mc(t-t_0)$ rồi đồng thời gọi vài hạng là “nhiệt tỏa” dương. Chọn một quy ước rõ ràng: hoặc tổng biến thiên năng lượng bằng 0, hoặc tổng độ lớn nhiệt tỏa bằng tổng độ lớn nhiệt thu.

Chốt bài: Em đã lập được phương trình cân bằng nhiệt cho hệ từ ba vật, kiểm tra dấu của từng nhiệt lượng và đánh giá tính hợp lí của nhiệt độ cân bằng. Khi một vật không chỉ đổi nhiệt độ mà còn nóng chảy hoặc hóa hơi, công thức $mc\Delta t$ chưa đủ. Bài sau bổ sung nhiệt ẩn và kiểm tra trạng thái cuối.

**Chốt bài:** Em đã lập được phương trình cân bằng nhiệt cho hệ từ ba vật, kiểm tra dấu của từng nhiệt lượng và đánh giá tính hợp lí của nhiệt độ cân bằng. Khi một vật không chỉ đổi nhiệt độ mà còn nóng chảy hoặc hóa hơi, công thức $mc\Delta t$ chưa đủ. Bài sau bổ sung nhiệt ẩn và kiểm tra trạng thái cuối.