Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Ôn tập tổng hợp: Bất phương trình hai ẩn và quy hoạch tuyến tính
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em tự giải trọn một bài toán quy hoạch tuyến tính mới từ đầu đến cuối — đọc đề, lập ẩn và ràng buộc, vẽ miền nghiệm, tìm đỉnh, lập và so sánh hàm mục tiêu, rồi kết luận — mà không cần nhắc lại từng kỹ thuật riêng lẻ, vì tất cả đã quen thuộc với em.
Kiến thức nền cần nhớ
Bài này không giới thiệu khái niệm mới; nó ghép lại toàn bộ năm bài trước của chương thành một quy trình liền mạch (same-grade bridge, ôn tập). Em cần nhớ: cách vẽ miền nghiệm của một bất phương trình (bài 1), cách tìm đỉnh của một hệ bất phương trình bằng cách giải hệ hai đường thẳng và kiểm tra lại (bài 2), cách tìm GTLN, GTNN bằng cách so sánh giá trị hàm mục tiêu tại các đỉnh (bài 3), và cách dịch một đề bài thực tế — dù là tối đa lợi nhuận hay tối thiểu chi phí — sang ngôn ngữ bất phương trình (bài 4, bài 5).
Khởi động
Một hộ nông dân có một diện tích đất và một số ngày công nhất định, muốn trồng hai loại cây cho lợi nhuận khác nhau. Đây là một bài toán quy hoạch tuyến tính hoàn toàn mới — em chưa từng thấy con số này — nhưng cấu trúc của nó thì em đã gặp đủ năm lần trong chương này. Em có tự giải được không, không cần ai nhắc từng bước?
Quy trình tổng hợp
Toàn bộ chương này gói gọn trong năm bước, áp dụng cho bất kỳ bài toán tối ưu tuyến tính nào: xác định ẩn số và điều kiện của chúng; dịch từng ràng buộc trong đề (nguyên liệu, thời gian, vốn, thị trường, hoặc yêu cầu tối thiểu) thành một bất phương trình bậc nhất hai ẩn; tìm các đỉnh của miền nghiệm bằng cách giải hệ từng cặp đường biên rồi kiểm tra với các ràng buộc còn lại; lập hàm mục tiêu $F=ax+by$ theo đại lượng cần tối đa hoặc tối thiểu và tính giá trị của nó tại mọi đỉnh; và cuối cùng so sánh để kết luận phương án tối ưu, luôn kèm đơn vị và ý nghĩa thực tế của con số.
Vì sao chỉ cần xét các đỉnh mà không cần thử toàn bộ miền? Hai lý do đã học đủ để trả lời chắc chắn: miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất luôn là một miền lồi — giao của các nửa mặt phẳng — và một hàm mục tiêu tuyến tính có các đường mức là những đường thẳng song song trượt đều theo một hướng cố định. Trên một miền lồi khép kín, đường mức chỉ có thể chạm miền lần cuối tại một đỉnh trước khi rời hẳn khỏi miền, nên GTLN, GTNN không thể nằm ở đâu khác ngoài các đỉnh. Nhớ đúng hai lý do này, em không cần học thuộc lòng quy trình mà vẫn hiểu vì sao nó đúng, kể cả khi gặp một bài toán với con số hoàn toàn mới.
Ví dụ
Hộ nông dân trồng lúa và rau
1
Một hộ nông dân có tối đa 10 ha đất để trồng lúa và trồng rau. Mỗi ha lúa cần 2 ngày công, mỗi ha rau cần 3 ngày công; hộ có tối đa 24 ngày công mỗi vụ. Lợi nhuận: lúa lãi 10 triệu đồng/ha, rau lãi 12 triệu đồng/ha. Tìm diện tích mỗi loại cây để lợi nhuận lớn nhất.
2
Gọi $x$ là diện tích trồng lúa (ha), $y$ là diện tích trồng rau (ha), $x, y\ge0$.
3
Ràng buộc đất: $x+y\le10$. Ràng buộc ngày công: $2x+3y\le24$. Ta có hệ $\begin{cases}x+y\le10\\2x+3y\le24\\x\ge0\\y\ge0\end{cases}$.
4
Lợi nhuận (triệu đồng) là $F(x;y)=10x+12y$, cần tìm GTLN.
5
$x=0,y=0$ cho $(0;0)$. $y=0$ và $x+y=10$ cho $x=10$; thay vào $2x+3y\le24$: $20\le24$, thỏa, cho $(10;0)$. $x+y=10$ và $2x+3y=24$: từ $x=10-y$ thế vào phương trình sau, $2(10-y)+3y=24 \Rightarrow 20+y=24 \Rightarrow y=4$, suy ra $x=6$, cho $(6;4)$. $x=0$ và $2x+3y=24$ cho $y=8$; thay vào $x+y\le10$: $8\le10$, thỏa, cho $(0;8)$.
Trong bốn giá trị $0, 100, 108, 96$, giá trị lớn nhất là $108$, tại $(6;4)$. Kiểm tra lại: với $x=6, y=4$, đất dùng $6+4=10$ ha (vừa đúng giới hạn), ngày công dùng $2(6)+3(4)=12+12=24$ (vừa đúng giới hạn) — cả hai ràng buộc đều đạt dấu bằng tại đỉnh tối ưu, đúng như quy luật đã học ở chương này.
8
Vậy hộ nông dân nên trồng 6 ha lúa và 4 ha rau để đạt lợi nhuận lớn nhất, bằng 108 triệu đồng.
So sánh bài toán này với bài toán vận chuyển ở chương trước cho thấy cùng một quy trình phục vụ hai hướng bài toán trái ngược nhau. Ở đây, miền nghiệm bị chặn bởi hai ràng buộc dạng $\le$ — đất và ngày công — nên là một tứ giác khép kín, và ta tìm GTLN. Ở bài vận chuyển, miền nghiệm không bị chặn vì các ràng buộc mang dấu $\ge$, và ta tìm GTNN bằng cách chỉ xét các đỉnh trên phần biên gần gốc tọa độ. Dù hướng tối ưu và hình dạng miền khác nhau, năm bước của quy trình — gọi ẩn, lập ràng buộc, tìm đỉnh, lập và tính $F$, so sánh — không hề thay đổi.
Đỉnh (6;4) — 6 ha lúa, 4 ha rau — cho lợi nhuận lớn nhất, tại đó cả hai ràng buộc đều đạt dấu bằng.Cột cao nhất xác nhận đỉnh (6;4) là phương án tối ưu.
Ba bẫy cần nhớ
Ba bẫy dễ gặp nhất trong cả chương, nhắc lại một lần cuối: quên thử điểm hoặc chọn nhầm nửa mặt phẳng khi vẽ một bất phương trình đơn lẻ (bài 1); công nhận một giao điểm là đỉnh mà quên kiểm tra nó với các ràng buộc còn lại trong hệ (bài 2); và chỉ so sánh một vài đỉnh thay vì tất cả các đỉnh khi tìm GTLN, GTNN (bài 3). Cả ba đều xuất phát từ việc bỏ qua một bước kiểm tra — luôn kiểm tra lại trước khi kết luận.
Chương này đã đưa em từ một bất phương trình bậc nhất hai ẩn đơn lẻ, qua một hệ bất phương trình với miền nghiệm là một đa giác, đến việc tối ưu hóa một hàm mục tiêu tuyến tính trên miền đó — rồi áp dụng toàn bộ kỹ thuật ấy vào các bài toán sản xuất và vận chuyển thực tế, cả tối đa lợi nhuận lẫn tối thiểu chi phí. Năm bước tổng quát ở đầu bài này chính là bản đồ chung cho mọi bài toán dạng này, dù con số trong đề có thay đổi thế nào.
Chương trình Toán 10 tiếp theo chuyển sang một chủ đề khác của đại số: hàm số, đặc biệt là hàm số bậc hai và đồ thị của nó — nơi khái niệm miền giá trị và cực trị sẽ quay lại dưới một hình dạng mới, không còn là đường thẳng mà là parabol.
Bài này không giới thiệu khái niệm mới; nó ghép lại toàn bộ năm bài trước của chương thành một quy trình liền mạch (same-grade bridge, ôn tập). Em cần nhớ: cách vẽ miền nghiệm của một bất phương trình (bài 1), cách tìm đỉnh của một hệ bất phương trình bằng cách giải hệ hai đường thẳng và kiểm tra lại (bài 2), cách tìm GTLN, GTNN bằng cách so sánh giá trị hàm mục tiêu tại các đỉnh (bài 3), và cách dịch một đề bài thực tế — dù là tối đa lợi nhuận hay tối thiểu chi phí — sang ngôn ngữ bất phương trình (bài 4, bài 5).
Toàn bộ chương này gói gọn trong năm bước, áp dụng cho bất kỳ bài toán tối ưu tuyến tính nào: xác định ẩn số và điều kiện của chúng; dịch từng ràng buộc trong đề (nguyên liệu, thời gian, vốn, thị trường, hoặc yêu cầu tối thiểu) thành một bất phương trình bậc nhất hai ẩn; tìm các đỉnh của miền nghiệm bằng cách giải hệ từng cặp đường biên rồi kiểm tra với các ràng buộc còn lại; lập hàm mục tiêu F=ax+by theo đại lượng cần tối đa hoặc tối thiểu và tính giá trị của nó tại mọi đỉnh; và cuối cùng so sánh để kết luận phương án tối ưu, luôn kèm đơn vị và ý nghĩa thực tế của con số.
Vì sao chỉ cần xét các đỉnh mà không cần thử toàn bộ miền? Hai lý do đã học đủ để trả lời chắc chắn: miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất luôn là một miền lồi — giao của các nửa mặt phẳng — và một hàm mục tiêu tuyến tính có các đường mức là những đường thẳng song song trượt đều theo một hướng cố định. Trên một miền lồi khép kín, đường mức chỉ có thể chạm miền lần cuối tại một đỉnh trước khi rời hẳn khỏi miền, nên GTLN, GTNN không thể nằm ở đâu khác ngoài các đỉnh. Nhớ đúng hai lý do này, em không cần học thuộc lòng quy trình mà vẫn hiểu vì sao nó đúng, kể cả khi gặp một bài toán với con số hoàn toàn mới.
Gọi x là diện tích trồng lúa (ha), y là diện tích trồng rau (ha), x,y≥0.
Ràng buộc đất: x+y≤10. Ràng buộc ngày công: 2x+3y≤24. Ta có hệ ⎩⎨⎧x+y≤102x+3y≤24x≥0y≥0.
Lợi nhuận (triệu đồng) là F(x;y)=10x+12y, cần tìm GTLN.
x=0,y=0 cho (0;0). y=0 và x+y=10 cho x=10; thay vào 2x+3y≤24: 20≤24, thỏa, cho (10;0). x+y=10 và 2x+3y=24: từ x=10−y thế vào phương trình sau, 2(10−y)+3y=24⇒20+y=24⇒y=4, suy ra x=6, cho (6;4). x=0 và 2x+3y=24 cho y=8; thay vào x+y≤10: 8≤10, thỏa, cho (0;8).
Trong bốn giá trị 0,100,108,96, giá trị lớn nhất là 108, tại (6;4). Kiểm tra lại: với x=6,y=4, đất dùng 6+4=10 ha (vừa đúng giới hạn), ngày công dùng 2(6)+3(4)=12+12=24 (vừa đúng giới hạn) — cả hai ràng buộc đều đạt dấu bằng tại đỉnh tối ưu, đúng như quy luật đã học ở chương này.
So sánh bài toán này với bài toán vận chuyển ở chương trước cho thấy cùng một quy trình phục vụ hai hướng bài toán trái ngược nhau. Ở đây, miền nghiệm bị chặn bởi hai ràng buộc dạng ≤ — đất và ngày công — nên là một tứ giác khép kín, và ta tìm GTLN. Ở bài vận chuyển, miền nghiệm không bị chặn vì các ràng buộc mang dấu ≥, và ta tìm GTNN bằng cách chỉ xét các đỉnh trên phần biên gần gốc tọa độ. Dù hướng tối ưu và hình dạng miền khác nhau, năm bước của quy trình — gọi ẩn, lập ràng buộc, tìm đỉnh, lập và tính F, so sánh — không hề thay đổi.
Ba bẫy dễ gặp nhất trong cả chương, nhắc lại một lần cuối: quên thử điểm hoặc chọn nhầm nửa mặt phẳng khi vẽ một bất phương trình đơn lẻ (bài 1); công nhận một giao điểm là đỉnh mà quên kiểm tra nó với các ràng buộc còn lại trong hệ (bài 2); và chỉ so sánh một vài đỉnh thay vì tất cả các đỉnh khi tìm GTLN, GTNN (bài 3). Cả ba đều xuất phát từ việc bỏ qua một bước kiểm tra — luôn kiểm tra lại trước khi kết luận.
Chương này đã đưa em từ một bất phương trình bậc nhất hai ẩn đơn lẻ, qua một hệ bất phương trình với miền nghiệm là một đa giác, đến việc tối ưu hóa một hàm mục tiêu tuyến tính trên miền đó — rồi áp dụng toàn bộ kỹ thuật ấy vào các bài toán sản xuất và vận chuyển thực tế, cả tối đa lợi nhuận lẫn tối thiểu chi phí. Năm bước tổng quát ở đầu bài này chính là bản đồ chung cho mọi bài toán dạng này, dù con số trong đề có thay đổi thế nào.