Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu tuyến tính
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm mục tiêu tuyến tính $F(x;y)=ax+by$ trên miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, chỉ bằng cách tính $F$ tại một số hữu hạn điểm — các đỉnh của miền — thay vì phải xét vô số điểm.
Kiến thức nền cần nhớ
Bài trước đã cho em hai miền nghiệm cụ thể cùng tọa độ chính xác của từng đỉnh: tam giác $(0;0), (4;0), (0;4)$ và tứ giác $(0;0), (4;0), (4;2), (0;6)$ (same-grade bridge). Bài đó cũng nêu một tính chất quan trọng: miền nghiệm luôn lồi. Bài này dùng đúng hai miền nghiệm đó và tính lồi ấy để trả lời câu hỏi mới — trong vô số điểm của miền, điểm nào cho một đại lượng lớn nhất hoặc nhỏ nhất?
Khởi động
Giả sử một cửa hàng bán hai loại sản phẩm, số lượng mỗi loại bị giới hạn bởi nguyên liệu và nhân công — chính là một miền nghiệm như em vừa học vẽ. Miền đó có vô số điểm, tức vô số phương án sản xuất hợp lệ. Nhưng cửa hàng chỉ quan tâm một phương án duy nhất: phương án cho lợi nhuận cao nhất. Có cách nào tìm ra nó mà không cần thử từng điểm một không?
Kiến thức trọng tâm
Một hàm số dạng $F(x;y)=ax+by$, trong đó $x, y$ là tọa độ một điểm trong miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, được gọi là hàm mục tiêu tuyến tính. Bài toán đặt ra là tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của $F$ khi $(x;y)$ chạy khắp miền nghiệm — một miền đa giác lồi nếu bị chặn.
Xét tập hợp các đường thẳng $ax+by=k$ khi $k$ thay đổi — đây là một họ đường thẳng song song với nhau, gọi là các đường mức của $F$. Khi $k$ tăng dần, đường mức này trượt đều theo một hướng cố định trên mặt phẳng. Vì miền nghiệm là một miền lồi, khép kín và bị chặn, đường mức chỉ có thể chạm miền nghiệm lần cuối cùng — trước khi rời hẳn khỏi miền — tại một đỉnh của miền, hoặc dọc theo một cạnh nếu đường mức tình cờ song song với cạnh đó (khi ấy hai đầu mút của cạnh cho cùng một giá trị $F$, nên xét đỉnh vẫn cho đáp án đúng). Từ quan sát này ta có quy tắc: giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $F$ trên miền đa giác luôn đạt được tại một trong các đỉnh của miền — không bao giờ ở một điểm nằm sâu bên trong.
Vì vậy, quy trình tìm GTLN, GTNN chỉ gồm hai việc: liệt kê tất cả các đỉnh của miền nghiệm (bằng kỹ thuật đã học ở bài trước), rồi tính giá trị $F$ tại từng đỉnh và so sánh. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó là GTLN của $F$ trên miền; giá trị nhỏ nhất là GTNN. Không cần đạo hàm, không cần xét từng điểm — chỉ cần một bảng so sánh hữu hạn số.
Một câu hỏi tự nhiên là: nếu miền nghiệm không bị chặn — mở rộng ra vô hạn theo một hướng nào đó — thì $F$ có luôn đạt được cả GTLN lẫn GTNN không? Câu trả lời là không chắc chắn cho cả hai chiều: nếu hệ số $a, b$ đều dương và miền mở rộng vô hạn về phía $x, y$ dương, $F$ có thể tăng mãi không giới hạn trên, tức không tồn tại GTLN; nhưng GTNN vẫn có thể đạt được, tại một trong các đỉnh nằm gần gốc tọa độ nhất trên biên của miền. Tình huống này sẽ gặp lại ở một bài toán vận chuyển hàng hóa trong chương sau, nơi miền nghiệm mở rộng vô hạn nhưng bài toán chỉ hỏi chi phí nhỏ nhất — và câu trả lời vẫn nằm ở các đỉnh.
Cũng có trường hợp GTLN hoặc GTNN đạt được đồng thời tại hai đỉnh kề nhau, như $(4;0)$ và $(0;6)$ trong ví dụ thứ hai dưới đây cùng cho $F=12$, dù đó không phải giá trị lớn nhất ở ví dụ đó. Nếu điều này xảy ra đúng tại cặp đỉnh cho giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất), nó có nghĩa là mọi điểm trên cạnh nối hai đỉnh đó — không chỉ hai đầu mút — đều cho cùng giá trị $F$ tối ưu, vì lúc này đường mức trùng khít với cạnh của miền. Bài toán vẫn có nghiệm, chỉ là có nhiều phương án tối ưu thay vì một phương án duy nhất.
Ví dụ
Tìm GTLN, GTNN của $F=2x+3y$ trên miền tam giác $(0;0), (4;0), (0;4)$
1
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $F(x;y)=2x+3y$ trên miền nghiệm của hệ $\{x\ge0; y\ge0; x+y\le4\}$ — miền tam giác đã tìm đỉnh ở bài trước.
2
Miền nghiệm là tam giác có ba đỉnh $(0;0), (4;0), (0;4)$.
3
Ta có $F(0;0)=2(0)+3(0)=0$; $F(4;0)=2(4)+3(0)=8$; $F(0;4)=2(0)+3(4)=12$.
4
Trong ba giá trị $0, 8, 12$, giá trị lớn nhất là $12$ và giá trị nhỏ nhất là $0$.
5
Vậy $F=2x+3y$ đạt GTLN bằng $12$ tại đỉnh $(0;4)$, và đạt GTNN bằng $0$ tại đỉnh $(0;0)$.
So sánh ba giá trị F tại ba đỉnh là đủ để kết luận GTLN và GTNN trên toàn miền.
Ví dụ
Tìm GTLN, GTNN của $F=3x+2y$ trên miền tứ giác $(0;0), (4;0), (4;2), (0;6)$
1
Tìm GTLN, GTNN của $F(x;y)=3x+2y$ trên miền nghiệm của hệ $\{x\ge0; y\ge0; x+y\le6; x\le4\}$ — tứ giác bốn đỉnh đã tìm ở bài trước.
2
Ta có $F(0;0)=0$; $F(4;0)=3(4)+2(0)=12$; $F(4;2)=3(4)+2(2)=16$; $F(0;6)=3(0)+2(6)=12$.
3
Bốn giá trị thu được là $0, 12, 16, 12$. Giá trị lớn nhất là $16$; giá trị nhỏ nhất là $0$. Chú ý hai đỉnh $(4;0)$ và $(0;6)$ cho cùng giá trị $12$ — điều này không ảnh hưởng đến kết luận, vì ta chỉ cần giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong toàn bộ danh sách.
4
Vậy $F=3x+2y$ đạt GTLN bằng $16$ tại đỉnh $(4;2)$, và đạt GTNN bằng $0$ tại đỉnh $(0;0)$.
Cột cao nhất tại đỉnh (4;2) xác định trực quan GTLN bằng 16.
Bẫy thường gặp
Sai lầm thường gặp: một số bạn chỉ tính $F$ tại một hoặc hai đỉnh rồi vội kết luận đó là GTLN, thay vì tính đủ tại TẤT CẢ các đỉnh của miền. Nếu miền có bốn đỉnh mà chỉ so sánh ba giá trị, kết quả có thể sai — như ví dụ trên, nếu bỏ sót đỉnh $(4;2)$ thì sẽ nhầm $12$ là GTLN, trong khi giá trị thật là $16$.
Tóm lại, để tìm GTLN, GTNN của một hàm mục tiêu tuyến tính $F=ax+by$ trên miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, em chỉ cần liệt kê các đỉnh của miền, tính $F$ tại từng đỉnh, rồi so sánh — không cần xét toàn bộ miền vô hạn điểm.
Kỹ thuật này chỉ thật sự có ý nghĩa khi gắn với một tình huống cụ thể. Chương tiếp theo áp dụng đúng ba bước vừa học — lập hệ ràng buộc, tìm đỉnh, tính và so sánh $F$ — vào những bài toán sản xuất và kinh doanh thực tế, nơi $F$ chính là lợi nhuận em muốn tối đa hóa.
Sau bài này, em tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm mục tiêu tuyến tính F(x;y)=ax+by trên miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, chỉ bằng cách tính F tại một số hữu hạn điểm — các đỉnh của miền — thay vì phải xét vô số điểm.
Bài trước đã cho em hai miền nghiệm cụ thể cùng tọa độ chính xác của từng đỉnh: tam giác (0;0),(4;0),(0;4) và tứ giác (0;0),(4;0),(4;2),(0;6) (same-grade bridge). Bài đó cũng nêu một tính chất quan trọng: miền nghiệm luôn lồi. Bài này dùng đúng hai miền nghiệm đó và tính lồi ấy để trả lời câu hỏi mới — trong vô số điểm của miền, điểm nào cho một đại lượng lớn nhất hoặc nhỏ nhất?
Giả sử một cửa hàng bán hai loại sản phẩm, số lượng mỗi loại bị giới hạn bởi nguyên liệu và nhân công — chính là một miền nghiệm như em vừa học vẽ. Miền đó có vô số điểm, tức vô số phương án sản xuất hợp lệ. Nhưng cửa hàng chỉ quan tâm một phương án duy nhất: phương án cho lợi nhuận cao nhất. Có cách nào tìm ra nó mà không cần thử từng điểm một không?
Một hàm số dạng F(x;y)=ax+by, trong đó x,y là tọa độ một điểm trong miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, được gọi là hàm mục tiêu tuyến tính. Bài toán đặt ra là tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của F khi (x;y) chạy khắp miền nghiệm — một miền đa giác lồi nếu bị chặn.
Xét tập hợp các đường thẳng ax+by=k khi k thay đổi — đây là một họ đường thẳng song song với nhau, gọi là các đường mức của F. Khi k tăng dần, đường mức này trượt đều theo một hướng cố định trên mặt phẳng. Vì miền nghiệm là một miền lồi, khép kín và bị chặn, đường mức chỉ có thể chạm miền nghiệm lần cuối cùng — trước khi rời hẳn khỏi miền — tại một đỉnh của miền, hoặc dọc theo một cạnh nếu đường mức tình cờ song song với cạnh đó (khi ấy hai đầu mút của cạnh cho cùng một giá trị F, nên xét đỉnh vẫn cho đáp án đúng). Từ quan sát này ta có quy tắc: giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của F trên miền đa giác luôn đạt được tại một trong các đỉnh của miền — không bao giờ ở một điểm nằm sâu bên trong.
Vì vậy, quy trình tìm GTLN, GTNN chỉ gồm hai việc: liệt kê tất cả các đỉnh của miền nghiệm (bằng kỹ thuật đã học ở bài trước), rồi tính giá trị F tại từng đỉnh và so sánh. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó là GTLN của F trên miền; giá trị nhỏ nhất là GTNN. Không cần đạo hàm, không cần xét từng điểm — chỉ cần một bảng so sánh hữu hạn số.
Một câu hỏi tự nhiên là: nếu miền nghiệm không bị chặn — mở rộng ra vô hạn theo một hướng nào đó — thì F có luôn đạt được cả GTLN lẫn GTNN không? Câu trả lời là không chắc chắn cho cả hai chiều: nếu hệ số a,b đều dương và miền mở rộng vô hạn về phía x,y dương, F có thể tăng mãi không giới hạn trên, tức không tồn tại GTLN; nhưng GTNN vẫn có thể đạt được, tại một trong các đỉnh nằm gần gốc tọa độ nhất trên biên của miền. Tình huống này sẽ gặp lại ở một bài toán vận chuyển hàng hóa trong chương sau, nơi miền nghiệm mở rộng vô hạn nhưng bài toán chỉ hỏi chi phí nhỏ nhất — và câu trả lời vẫn nằm ở các đỉnh.
Cũng có trường hợp GTLN hoặc GTNN đạt được đồng thời tại hai đỉnh kề nhau, như (4;0) và (0;6) trong ví dụ thứ hai dưới đây cùng cho F=12, dù đó không phải giá trị lớn nhất ở ví dụ đó. Nếu điều này xảy ra đúng tại cặp đỉnh cho giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất), nó có nghĩa là mọi điểm trên cạnh nối hai đỉnh đó — không chỉ hai đầu mút — đều cho cùng giá trị F tối ưu, vì lúc này đường mức trùng khít với cạnh của miền. Bài toán vẫn có nghiệm, chỉ là có nhiều phương án tối ưu thay vì một phương án duy nhất.
Tìm GTLN, GTNN của F=2x+3y trên miền tam giác (0;0),(4;0),(0;4)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của F(x;y)=2x+3y trên miền nghiệm của hệ {x≥0;y≥0;x+y≤4} — miền tam giác đã tìm đỉnh ở bài trước.
Miền nghiệm là tam giác có ba đỉnh (0;0),(4;0),(0;4).
Ta có F(0;0)=2(0)+3(0)=0; F(4;0)=2(4)+3(0)=8; F(0;4)=2(0)+3(4)=12.
Trong ba giá trị 0,8,12, giá trị lớn nhất là 12 và giá trị nhỏ nhất là 0.
Vậy F=2x+3y đạt GTLN bằng 12 tại đỉnh (0;4), và đạt GTNN bằng 0 tại đỉnh (0;0).
Tìm GTLN, GTNN của F=3x+2y trên miền tứ giác (0;0),(4;0),(4;2),(0;6)
Tìm GTLN, GTNN của F(x;y)=3x+2y trên miền nghiệm của hệ {x≥0;y≥0;x+y≤6;x≤4} — tứ giác bốn đỉnh đã tìm ở bài trước.
Ta có F(0;0)=0; F(4;0)=3(4)+2(0)=12; F(4;2)=3(4)+2(2)=16; F(0;6)=3(0)+2(6)=12.
Bốn giá trị thu được là 0,12,16,12. Giá trị lớn nhất là 16; giá trị nhỏ nhất là 0. Chú ý hai đỉnh (4;0) và (0;6) cho cùng giá trị 12 — điều này không ảnh hưởng đến kết luận, vì ta chỉ cần giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong toàn bộ danh sách.
Vậy F=3x+2y đạt GTLN bằng 16 tại đỉnh (4;2), và đạt GTNN bằng 0 tại đỉnh (0;0).
Sai lầm thường gặp: một số bạn chỉ tính F tại một hoặc hai đỉnh rồi vội kết luận đó là GTLN, thay vì tính đủ tại TẤT CẢ các đỉnh của miền. Nếu miền có bốn đỉnh mà chỉ so sánh ba giá trị, kết quả có thể sai — như ví dụ trên, nếu bỏ sót đỉnh (4;2) thì sẽ nhầm 12 là GTLN, trong khi giá trị thật là 16.
Tóm lại, để tìm GTLN, GTNN của một hàm mục tiêu tuyến tính F=ax+by trên miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, em chỉ cần liệt kê các đỉnh của miền, tính F tại từng đỉnh, rồi so sánh — không cần xét toàn bộ miền vô hạn điểm.
Kỹ thuật này chỉ thật sự có ý nghĩa khi gắn với một tình huống cụ thể. Chương tiếp theo áp dụng đúng ba bước vừa học — lập hệ ràng buộc, tìm đỉnh, tính và so sánh F — vào những bài toán sản xuất và kinh doanh thực tế, nơi F chính là lợi nhuận em muốn tối đa hóa.