Bài học

Định lý cosin và ứng dụng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu đúng định lý cosin trong một tam giác bất kỳ, dùng nó để tính một cạnh khi biết hai cạnh và góc xen giữa, tính một góc khi biết cả ba cạnh, và xác định một tam giác là nhọn, vuông hay tù chỉ từ dấu của cosin góc lớn nhất.

Kiến thức nền cần nhớ

Ở lớp 9, em đã biết định lý Pythagoras và các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông — nhưng cả hai công cụ đó chỉ dùng được khi tam giác có một góc 90°. Bài trước trong chương trình lớp 10 (same-grade bridge) đã mở rộng giá trị lượng giác cho một góc bất kỳ từ 0° đến 180°, và cho biết một điều quan trọng: cosin của góc tù mang giá trị âm. Định lý cosin hôm nay chính là công cụ dùng đúng mở rộng đó để xử lý tam giác không có góc vuông.

Khởi động

Một mảnh đất hình tam giác có hai cạnh dài 7 m và 5 m, góc xen giữa hai cạnh đó đo được 60°. Không có góc vuông nào để dùng Pythagoras, vậy làm sao tính cạnh còn lại?

Kiến thức trọng tâm

Định lý cosin phát biểu: trong tam giác ABC với các cạnh a, b, c lần lượt đối diện các góc A, B, C, ta có $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ , và tương tự $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ , $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ . Nhìn kỹ công thức này, em sẽ thấy nó không xa lạ: nếu góc A bằng 90° thì $\cos A=0$ , số hạng $-2bc\cos A$ biến mất và công thức trở lại đúng định lý Pythagoras $a^2=b^2+c^2$ . Nói cách khác, định lý cosin là bản mở rộng của Pythagoras cho tam giác bất kỳ, còn Pythagoras chỉ là một trường hợp riêng khi góc xen giữa bằng 90°.

Định lý cosin phát biểu: trong tam giác ABC với các cạnh a, b, c lần lượt đối diện các góc A, B, C, ta có $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, và tương tự $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$, $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$. Nhìn kỹ công thức này, em sẽ thấy nó không xa lạ: nếu góc A bằng 90° thì $\cos A=0$, số hạng $-2bc\cos A$ biến mất và công thức trở lại đúng định lý Pythagoras $a^2=b^2+c^2$. Nói cách khác, định lý cosin là bản mở rộng của Pythagoras cho tam giác bất kỳ, còn Pythagoras chỉ là một trường hợp riêng khi góc xen giữa bằng 90°.

Khi góc A nhọn, $\cos A>0$ nên số hạng $-2bc\cos A$ âm, làm $a^2$ nhỏ hơn $b^2+c^2$ . Khi góc A tù, $\cos A<0$ nên số hạng đó dương, làm $a^2$ lớn hơn $b^2+c^2$ . Đây chính là chỗ định lý cosin làm được việc mà Pythagoras không làm được: nó tự động "biết" góc xen giữa tù hay nhọn thông qua dấu của cosin, không cần vẽ thêm đường cao hay xét riêng từng trường hợp.

Khi góc A nhọn, $\cos A>0$ nên số hạng $-2bc\cos A$ âm, làm $a^2$ nhỏ hơn $b^2+c^2$. Khi góc A tù, $\cos A<0$ nên số hạng đó dương, làm $a^2$ lớn hơn $b^2+c^2$. Đây chính là chỗ định lý cosin làm được việc mà Pythagoras không làm được: nó tự động "biết" góc xen giữa tù hay nhọn thông qua dấu của cosin, không cần vẽ thêm đường cao hay xét riêng từng trường hợp.

Định lý cosin dùng được cho hai dạng bài chính. Dạng thứ nhất: biết hai cạnh và góc xen giữa (SAS), tính cạnh còn lại bằng công thức trên. Dạng thứ hai: biết cả ba cạnh (SSS), muốn tính một góc, ta biến đổi công thức thành $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ (và hai công thức tương tự cho góc B, góc C). Dạng thứ hai đặc biệt hữu ích để phân loại tam giác: chỉ cần tính cosin của góc đối diện cạnh dài nhất — đó luôn là góc lớn nhất trong tam giác. Nếu cosin đó dương, tam giác nhọn; nếu bằng 0, tam giác vuông; nếu âm, tam giác tù.

Vì sao chỉ cần kiểm tra góc đối diện cạnh dài nhất? Trong một tam giác, cạnh càng dài thì góc đối diện nó càng lớn — góc lớn nhất luôn đối diện cạnh dài nhất. Nếu góc lớn nhất đã nhọn (hoặc vuông) thì hai góc còn lại chắc chắn nhỏ hơn nó, nên cũng nhọn — cả tam giác nhọn. Ngược lại chỉ cần một góc tù là đủ kết luận tam giác tù, và góc tù duy nhất có thể có trong một tam giác chính là góc lớn nhất.

Một mẹo nhớ công thức: vế trái luôn là bình phương cạnh đối diện góc đang xét, còn vế phải bắt đầu bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại — đúng phần Pythagoras — rồi trừ thêm "phần điều chỉnh" $2bc\cos A$ do góc không nhất thiết vuông. Ba công thức $a^2=\ldots$ , $b^2=\ldots$ , $c^2=\ldots$ hoàn toàn đối xứng: chỉ cần nhớ một công thức rồi đổi tên ba cạnh, ba góc theo đúng vòng $a\to b\to c\to a$ là ra cả ba.

Một mẹo nhớ công thức: vế trái luôn là bình phương cạnh đối diện góc đang xét, còn vế phải bắt đầu bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại — đúng phần Pythagoras — rồi trừ thêm "phần điều chỉnh" $2bc\cos A$ do góc không nhất thiết vuông. Ba công thức $a^2=\ldots$, $b^2=\ldots$, $c^2=\ldots$ hoàn toàn đối xứng: chỉ cần nhớ một công thức rồi đổi tên ba cạnh, ba góc theo đúng vòng $a\to b\to c\to a$ là ra cả ba.

Ví dụ 1: tính cạnh từ hai cạnh và góc xen giữa

Lời giải có hình

Tam giác ABC với AC = 7, AB = 5, góc A = 60°

Bước 1

Đề bài cho tam giác ABC với AC = 7, AB = 5 và góc A = 60°; cạnh BC = a chưa biết.

Ví dụ

Tính cạnh a khi biết b, c và góc A

1
Tam giác ABC có $AC=b=7$ , $AB=c=5$ và góc $A=60°$ . Tính cạnh $a=BC$ .
Tam giác ABC có $AC=b=7$, $AB=c=5$ và góc $A=60°$. Tính cạnh $a=BC$.
2
Ta có $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ , với $b=7$ , $c=5$ , $\cos 60°=\dfrac{1}{2}$ .
Ta có $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, với $b=7$, $c=5$, $\cos 60°=\dfrac{1}{2}$.
3
Ta có $a^2=7^2+5^2-2\times 7\times 5\times\dfrac{1}{2}=49+25-35=39$ , suy ra $a=\sqrt{39}\approx 6,24$ .
Ta có $a^2=7^2+5^2-2\times 7\times 5\times\dfrac{1}{2}=49+25-35=39$, suy ra $a=\sqrt{39}\approx 6,24$.
4
Vì góc A nhọn (60° < 90°) nên theo lý luận ở trên, $a^2$ phải nhỏ hơn $b^2+c^2=74$ ; quả thật $39<74$ , kết quả hợp lý. Vậy $BC\approx 6,24$ (đơn vị dài).
Vì góc A nhọn (60° < 90°) nên theo lý luận ở trên, $a^2$ phải nhỏ hơn $b^2+c^2=74$; quả thật $39<74$, kết quả hợp lý. Vậy $BC\approx 6,24$ (đơn vị dài).

Ví dụ 2: phân loại tam giác từ ba cạnh (dạng thi)

Cạnh c dài nhất nên góc C (đối diện c) là góc lớn nhất — kiểm tra dấu của cos C để phân loại tam giác.

Ví dụ

Xác định tam giác nhọn, vuông hay tù từ ba cạnh cho trước

1
Một tam giác có ba cạnh $a=4$ , $b=5$ , $c=8$ (đơn vị dài). Xét xem tam giác đó nhọn, vuông hay tù.
Một tam giác có ba cạnh $a=4$, $b=5$, $c=8$ (đơn vị dài). Xét xem tam giác đó nhọn, vuông hay tù.
2
Ta có $a+b=9>c=8$ , nên ba số này lập được một tam giác thật.
Ta có $a+b=9>c=8$, nên ba số này lập được một tam giác thật.
3
Cạnh $c=8$ dài nhất, nên góc C (đối diện c) là góc lớn nhất — chỉ cần xét dấu $\cos C$ .
Cạnh $c=8$ dài nhất, nên góc C (đối diện c) là góc lớn nhất — chỉ cần xét dấu $\cos C$.
4
Ta có $\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\dfrac{16+25-64}{2\times 4\times 5}=\dfrac{-23}{40}=-0{,}575$ .
Ta có $\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\dfrac{16+25-64}{2\times 4\times 5}=\dfrac{-23}{40}=-0{,}575$.
5
Vì $\cos C<0$ nên góc C tù (khoảng 125,1°). Do góc lớn nhất của tam giác đã tù, hai góc còn lại chắc chắn nhọn. Vậy tam giác đã cho là tam giác tù.
Vì $\cos C<0$ nên góc C tù (khoảng 125,1°). Do góc lớn nhất của tam giác đã tù, hai góc còn lại chắc chắn nhọn. Vậy tam giác đã cho là tam giác tù.

Ví dụ trên chỉ cần biết dấu của cosin để phân loại. Nhưng nhiều đề còn hỏi giá trị chính xác của góc, không chỉ nhọn hay tù — khi đó vẫn dùng đúng công thức $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ , chỉ thêm một bước bấm máy tính $\arccos$ để ra số đo góc.

Ví dụ trên chỉ cần biết dấu của cosin để phân loại. Nhưng nhiều đề còn hỏi giá trị chính xác của góc, không chỉ nhọn hay tù — khi đó vẫn dùng đúng công thức $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$, chỉ thêm một bước bấm máy tính $\arccos$ để ra số đo góc.

Ví dụ 3: tính chính xác một góc từ ba cạnh

Ví dụ

Tính số đo góc lớn nhất của một tam giác nhọn

1
Một tam giác có ba cạnh 5, 6, 7. Tính số đo góc lớn nhất (làm tròn đến hàng phần mười độ).
2
Cạnh 7 dài nhất, nên góc đối diện nó (gọi là góc C) là góc lớn nhất trong tam giác.
3
Ta có $\cos C=\dfrac{5^2+6^2-7^2}{2\times5\times6}=\dfrac{12}{60}=0{,}2$ .
Ta có $\cos C=\dfrac{5^2+6^2-7^2}{2\times5\times6}=\dfrac{12}{60}=0{,}2$.
4
Suy ra $C=\arccos(0{,}2)\approx78,5°$ .
Suy ra $C=\arccos(0{,}2)\approx78,5°$.
5
Vì $0{,}2>0$ nên góc C nhọn, đúng như dự đoán từ Ví dụ 2 rằng dấu dương ứng với góc nhọn. Vậy góc lớn nhất của tam giác xấp xỉ $78,5°$ , và cả tam giác là tam giác nhọn.
Vì $0{,}2>0$ nên góc C nhọn, đúng như dự đoán từ Ví dụ 2 rằng dấu dương ứng với góc nhọn. Vậy góc lớn nhất của tam giác xấp xỉ $78,5°$, và cả tam giác là tam giác nhọn.

Sai lầm thường gặp

Nhiều em quên số hạng $-2bc\cos A$ và tính nhầm $a^2=b^2+c^2$ như Pythagoras dù góc A không phải 90° — công thức đó chỉ đúng khi có góc vuông. Sai lầm khác: khi góc cho trước là góc tù (như 120°, 150°), quên rằng cosin của nó âm nên $-2bc\cos A$ trở thành số dương cộng thêm, không phải trừ đi; bỏ sót dấu trừ của cosin làm cạnh tính ra ngắn hơn thực tế rất nhiều.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Định lý cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ — mở rộng của Pythagoras cho mọi tam giác. Biết hai cạnh và góc xen giữa thì tính cạnh còn lại; biết ba cạnh thì tính $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ để tìm góc. Cạnh dài nhất luôn đối diện góc lớn nhất — dấu của cosin góc đó cho biết tam giác nhọn, vuông hay tù.

Bài tiếp theo giới thiệu định lý sin — công cụ mạnh hơn khi đề bài cho biết góc thay vì cạnh xen giữa, và gắn liền tam giác với đường tròn ngoại tiếp của nó.