Bài học

Mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo, điều kiện cần và đủ

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu đúng mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q$ , xác định được khi nào nó đúng hay sai, lập được mệnh đề đảo $Q\Rightarrow P$ và mệnh đề tương đương $P\Leftrightarrow Q$ , đồng thời dùng đúng ngôn ngữ điều kiện cần, điều kiện đủ khi trình bày lập luận.

Sau bài này, em phát biểu đúng mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q$, xác định được khi nào nó đúng hay sai, lập được mệnh đề đảo $Q\Rightarrow P$ và mệnh đề tương đương $P\Leftrightarrow Q$, đồng thời dùng đúng ngôn ngữ điều kiện cần, điều kiện đủ khi trình bày lập luận.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước cho em công cụ đầu tiên: phủ định một mệnh đề (same-grade bridge). Bài này ghép hai mệnh đề $P$ , $Q$ lại bằng liên từ 'nếu... thì...' — cấu trúc lập luận em sẽ dùng trong mọi bài chứng minh hình học và đại số sau này, từ tính chất tam giác đến điều kiện nghiệm phương trình.

Bài trước cho em công cụ đầu tiên: phủ định một mệnh đề (same-grade bridge). Bài này ghép hai mệnh đề $P$, $Q$ lại bằng liên từ 'nếu... thì...' — cấu trúc lập luận em sẽ dùng trong mọi bài chứng minh hình học và đại số sau này, từ tính chất tam giác đến điều kiện nghiệm phương trình.

Khởi động

Một quảng cáo ghi: 'Nếu bạn mua sản phẩm này, bạn sẽ hài lòng.' Giả sử quảng cáo đúng. Nếu một khách hàng không hài lòng, ta có thể chắc chắn khách hàng đó không mua sản phẩm không? Ngược lại, nếu một khách hàng hài lòng, ta có chắc họ đã mua sản phẩm này không?

Kiến thức trọng tâm

Cho hai mệnh đề $P$ và $Q$ . Mệnh đề 'Nếu $P$ thì $Q$ ', kí hiệu $P \Rightarrow Q$ , gọi là mệnh đề kéo theo. Mệnh đề này chỉ sai trong đúng một trường hợp: $P$ đúng mà $Q$ sai; ở mọi trường hợp khác (kể cả khi $P$ sai), $P \Rightarrow Q$ đều đúng. Xét 'Nếu tam giác đều thì tam giác cân' — đây là mệnh đề đúng, vì mọi tam giác đều đúng là tam giác cân (ba cạnh bằng nhau kéo theo có ít nhất hai cạnh bằng nhau).

Cho hai mệnh đề $P$ và $Q$. Mệnh đề 'Nếu $P$ thì $Q$', kí hiệu $P \Rightarrow Q$, gọi là mệnh đề kéo theo. Mệnh đề này chỉ sai trong đúng một trường hợp: $P$ đúng mà $Q$ sai; ở mọi trường hợp khác (kể cả khi $P$ sai), $P \Rightarrow Q$ đều đúng. Xét 'Nếu tam giác đều thì tam giác cân' — đây là mệnh đề đúng, vì mọi tam giác đều đúng là tam giác cân (ba cạnh bằng nhau kéo theo có ít nhất hai cạnh bằng nhau).

Khi $P \Rightarrow Q$ đúng, ta nói $P$ là điều kiện đủ để có $Q$ — chỉ cần $P$ xảy ra, chắc chắn $Q$ cũng xảy ra theo. Đồng thời ta nói $Q$ là điều kiện cần để có $P$ — muốn có $P$ thì bắt buộc phải có $Q$ trước (nếu không có $Q$ thì chắc chắn không có $P$ , vì nếu có $P$ thì theo mệnh đề đúng, $Q$ phải xảy ra). Với ví dụ trên: 'tam giác đều' là điều kiện đủ để có 'tam giác cân', còn 'tam giác cân' là điều kiện cần để có 'tam giác đều' — nhưng chưa chắc đã đủ, vì có tam giác cân mà không đều.

Khi $P \Rightarrow Q$ đúng, ta nói $P$ là điều kiện đủ để có $Q$ — chỉ cần $P$ xảy ra, chắc chắn $Q$ cũng xảy ra theo. Đồng thời ta nói $Q$ là điều kiện cần để có $P$ — muốn có $P$ thì bắt buộc phải có $Q$ trước (nếu không có $Q$ thì chắc chắn không có $P$, vì nếu có $P$ thì theo mệnh đề đúng, $Q$ phải xảy ra). Với ví dụ trên: 'tam giác đều' là điều kiện đủ để có 'tam giác cân', còn 'tam giác cân' là điều kiện cần để có 'tam giác đều' — nhưng chưa chắc đã đủ, vì có tam giác cân mà không đều.

Đổi vị trí $P$ và $Q$ trong $P \Rightarrow Q$ , ta được mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$ . Mệnh đề đảo không nhất thiết cùng tính đúng sai với mệnh đề thuận: đảo của 'Nếu tam giác đều thì tam giác cân' là 'Nếu tam giác cân thì tam giác đều' — mệnh đề đảo này sai, vì có tam giác cân (ví dụ hai cạnh bên bằng 5 cm, cạnh đáy 6 cm) không phải tam giác đều. Đây là lý do phải luôn kiểm tra mệnh đề đảo độc lập với mệnh đề thuận, tuyệt đối không suy luôn đảo đúng chỉ vì thuận đúng.

Đổi vị trí $P$ và $Q$ trong $P \Rightarrow Q$, ta được mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$. Mệnh đề đảo không nhất thiết cùng tính đúng sai với mệnh đề thuận: đảo của 'Nếu tam giác đều thì tam giác cân' là 'Nếu tam giác cân thì tam giác đều' — mệnh đề đảo này sai, vì có tam giác cân (ví dụ hai cạnh bên bằng 5 cm, cạnh đáy 6 cm) không phải tam giác đều. Đây là lý do phải luôn kiểm tra mệnh đề đảo độc lập với mệnh đề thuận, tuyệt đối không suy luôn đảo đúng chỉ vì thuận đúng.

Khi cả $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đều đúng, ta nói $P$ và $Q$ tương đương, kí hiệu $P \Leftrightarrow Q$ , đọc là ' $P$ khi và chỉ khi $Q$ ' hoặc ' $P$ là điều kiện cần và đủ để có $Q$ '. Xét $P$ : ' $n$ chia hết cho 6' và $Q$ : ' $n$ chia hết cho cả 2 và 3' (với $n$ là số tự nhiên). Ta có $P \Rightarrow Q$ đúng (số chia hết cho 6 luôn chia hết cho 2 và 3, vì $6=2\times3$ ), và ngược lại $Q \Rightarrow P$ cũng đúng (số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 thì chia hết cho 6, vì 2 và 3 nguyên tố cùng nhau). Vậy $P \Leftrightarrow Q$ : ' $n$ chia hết cho 6 khi và chỉ khi $n$ chia hết cho cả 2 và 3.'

Khi cả $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đều đúng, ta nói $P$ và $Q$ tương đương, kí hiệu $P \Leftrightarrow Q$, đọc là '$P$ khi và chỉ khi $Q$' hoặc '$P$ là điều kiện cần và đủ để có $Q$'. Xét $P$: '$n$ chia hết cho 6' và $Q$: '$n$ chia hết cho cả 2 và 3' (với $n$ là số tự nhiên). Ta có $P \Rightarrow Q$ đúng (số chia hết cho 6 luôn chia hết cho 2 và 3, vì $6=2\times3$), và ngược lại $Q \Rightarrow P$ cũng đúng (số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 thì chia hết cho 6, vì 2 và 3 nguyên tố cùng nhau). Vậy $P \Leftrightarrow Q$: '$n$ chia hết cho 6 khi và chỉ khi $n$ chia hết cho cả 2 và 3.'

Ví dụ

Xét mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo về tam giác

1
Cho hai mệnh đề $P$ : 'Tam giác ABC đều' và $Q$ : 'Tam giác ABC cân'. Lập mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$ , rồi xét tính đúng sai của cả hai.
Cho hai mệnh đề $P$: 'Tam giác ABC đều' và $Q$: 'Tam giác ABC cân'. Lập mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$, rồi xét tính đúng sai của cả hai.
2
Ta có 'Nếu tam giác ABC đều thì tam giác ABC cân.' Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau, suy ra có ít nhất hai cạnh bằng nhau, tức là cân theo định nghĩa. Vậy $P \Rightarrow Q$ đúng.
Ta có 'Nếu tam giác ABC đều thì tam giác ABC cân.' Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau, suy ra có ít nhất hai cạnh bằng nhau, tức là cân theo định nghĩa. Vậy $P \Rightarrow Q$ đúng.
3
Mệnh đề đảo: 'Nếu tam giác ABC cân thì tam giác ABC đều.' Xét tam giác cân có hai cạnh bên bằng 5 cm, cạnh đáy 6 cm — đây là tam giác cân nhưng ba cạnh không bằng nhau nên không đều. Vậy $Q \Rightarrow P$ sai.
Mệnh đề đảo: 'Nếu tam giác ABC cân thì tam giác ABC đều.' Xét tam giác cân có hai cạnh bên bằng 5 cm, cạnh đáy 6 cm — đây là tam giác cân nhưng ba cạnh không bằng nhau nên không đều. Vậy $Q \Rightarrow P$ sai.
4
Vậy $P\Rightarrow Q$ đúng nhưng đảo của nó sai, nên $P$ và $Q$ không tương đương. 'Tam giác đều' là điều kiện đủ để có 'tam giác cân', còn 'tam giác cân' chỉ là điều kiện cần, chưa đủ, để có 'tam giác đều'.
Vậy $P\Rightarrow Q$ đúng nhưng đảo của nó sai, nên $P$ và $Q$ không tương đương. 'Tam giác đều' là điều kiện đủ để có 'tam giác cân', còn 'tam giác cân' chỉ là điều kiện cần, chưa đủ, để có 'tam giác đều'.

Ví dụ

Kiểm tra mệnh đề đảo bằng phản ví dụ

1
Cho $n$ là số tự nhiên. Xét mệnh đề 'Nếu $n$ chia hết cho 6 thì $n$ chia hết cho 3.' Mệnh đề này đúng hay sai? Lập mệnh đề đảo và xét tính đúng sai của nó.
Cho $n$ là số tự nhiên. Xét mệnh đề 'Nếu $n$ chia hết cho 6 thì $n$ chia hết cho 3.' Mệnh đề này đúng hay sai? Lập mệnh đề đảo và xét tính đúng sai của nó.
2
Ta có $6 = 2 \times 3$ , nên nếu $n$ chia hết cho 6 thì $n$ chia hết cho 3 (vì 3 là ước của 6). Vậy mệnh đề thuận đúng.
Ta có $6 = 2 \times 3$, nên nếu $n$ chia hết cho 6 thì $n$ chia hết cho 3 (vì 3 là ước của 6). Vậy mệnh đề thuận đúng.
3
Mệnh đề đảo: 'Nếu $n$ chia hết cho 3 thì $n$ chia hết cho 6.'
Mệnh đề đảo: 'Nếu $n$ chia hết cho 3 thì $n$ chia hết cho 6.'
4
Xét $n = 9$ : ta có 9 chia hết cho 3 (vì $9 = 3\times3$ ), nhưng 9 không chia hết cho 6 (vì $9 = 6\times1+3$ ). Vậy $n=9$ là phản ví dụ.
Xét $n = 9$: ta có 9 chia hết cho 3 (vì $9 = 3\times3$), nhưng 9 không chia hết cho 6 (vì $9 = 6\times1+3$). Vậy $n=9$ là phản ví dụ.
5
Vậy mệnh đề đảo sai ( $n=9$ là phản ví dụ), trong khi mệnh đề thuận đúng. ' $n$ chia hết cho 6' là điều kiện đủ để có ' $n$ chia hết cho 3', nhưng ' $n$ chia hết cho 3' chỉ là điều kiện cần, không đủ, để có ' $n$ chia hết cho 6'.
Vậy mệnh đề đảo sai ($n=9$ là phản ví dụ), trong khi mệnh đề thuận đúng. '$n$ chia hết cho 6' là điều kiện đủ để có '$n$ chia hết cho 3', nhưng '$n$ chia hết cho 3' chỉ là điều kiện cần, không đủ, để có '$n$ chia hết cho 6'.

Ví dụ

Xác lập mệnh đề tương đương

1
Với $n$ là số tự nhiên, xét $P$ : ' $n$ chia hết cho 6' và $Q$ : ' $n$ chia hết cho cả 2 và 3'. Chứng tỏ $P \Leftrightarrow Q$ bằng cách xét cả hai chiều, và kiểm tra lại với $n = 12$ .
Với $n$ là số tự nhiên, xét $P$: '$n$ chia hết cho 6' và $Q$: '$n$ chia hết cho cả 2 và 3'. Chứng tỏ $P \Leftrightarrow Q$ bằng cách xét cả hai chiều, và kiểm tra lại với $n = 12$.
2
Ta có $6=2\times3$ ; nếu $n$ chia hết cho 6 thì $n$ chia hết cho 2 (vì 2 là ước của 6) và chia hết cho 3 (vì 3 là ước của 6). Vậy $P \Rightarrow Q$ đúng. (1)
Ta có $6=2\times3$; nếu $n$ chia hết cho 6 thì $n$ chia hết cho 2 (vì 2 là ước của 6) và chia hết cho 3 (vì 3 là ước của 6). Vậy $P \Rightarrow Q$ đúng. (1)
3
Nếu $n$ vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3, mà 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau (không có ước chung nào khác 1), nên $n$ phải chia hết cho tích $2\times3=6$ . Vậy $Q \Rightarrow P$ đúng. (2)
Nếu $n$ vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3, mà 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau (không có ước chung nào khác 1), nên $n$ phải chia hết cho tích $2\times3=6$. Vậy $Q \Rightarrow P$ đúng. (2)
4
Từ (1) và (2) suy ra $P \Leftrightarrow Q$ . Kiểm tra với $n=12$ : 12 chia hết cho 6 ( $P$ đúng), đồng thời 12 chia hết cho cả 2 và 3 ( $Q$ đúng) — khớp với kết luận tương đương. Vậy $P$ là điều kiện cần và đủ để có $Q$ , và ngược lại.
Từ (1) và (2) suy ra $P \Leftrightarrow Q$. Kiểm tra với $n=12$: 12 chia hết cho 6 ($P$ đúng), đồng thời 12 chia hết cho cả 2 và 3 ($Q$ đúng) — khớp với kết luận tương đương. Vậy $P$ là điều kiện cần và đủ để có $Q$, và ngược lại.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là mặc định mệnh đề đảo đúng chỉ vì mệnh đề thuận đúng — hai mệnh đề này độc lập, phải kiểm tra riêng, tốt nhất bằng cách tìm phản ví dụ cho mệnh đề đảo trước khi kết luận nó đúng. Một sai lầm khác là nhầm lẫn điều kiện cần với điều kiện đủ: ' $P$ là điều kiện đủ để có $Q$ ' nghĩa là có $P$ thì chắc chắn có $Q$ , còn ' $P$ là điều kiện cần để có $Q$ ' nghĩa là có $Q$ thì bắt buộc phải có $P$ trước đó — hai chiều suy luận hoàn toàn khác nhau, không thể dùng lẫn cho nhau khi trình bày lời giải.

Sai lầm phổ biến nhất là mặc định mệnh đề đảo đúng chỉ vì mệnh đề thuận đúng — hai mệnh đề này độc lập, phải kiểm tra riêng, tốt nhất bằng cách tìm phản ví dụ cho mệnh đề đảo trước khi kết luận nó đúng. Một sai lầm khác là nhầm lẫn điều kiện cần với điều kiện đủ: '$P$ là điều kiện đủ để có $Q$' nghĩa là có $P$ thì chắc chắn có $Q$, còn '$P$ là điều kiện cần để có $Q$' nghĩa là có $Q$ thì bắt buộc phải có $P$ trước đó — hai chiều suy luận hoàn toàn khác nhau, không thể dùng lẫn cho nhau khi trình bày lời giải.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng, $Q$ sai. Đảo $Q\Rightarrow P$ là mệnh đề độc lập, phải kiểm tra riêng — thường bằng phản ví dụ. Khi cả hai chiều đều đúng, ta có $P\Leftrightarrow Q$ : $P$ là điều kiện cần và đủ để có $Q$ .

Mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng, $Q$ sai. Đảo $Q\Rightarrow P$ là mệnh đề độc lập, phải kiểm tra riêng — thường bằng phản ví dụ. Khi cả hai chiều đều đúng, ta có $P\Leftrightarrow Q$: $P$ là điều kiện cần và đủ để có $Q$.

Chương tiếp theo chuyển sang một đối tượng mới: tập hợp — ngôn ngữ mà hầu hết các mệnh đề toán học từ nay về sau sẽ được phát biểu trên đó.