Bài học

Ôn tập tổng hợp mệnh đề và tập hợp

Mục tiêu bài học

Sau bài ôn tập này, em vận dụng phối hợp cả bốn nội dung của khoá học — mệnh đề, mệnh đề kéo theo/đảo, tập hợp và các phép toán trên tập hợp — để giải các bài toán tổng hợp đúng dạng đề kiểm tra giữa kì.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài ôn tập này không giới thiệu công cụ mới, mà đặt các bài trước cạnh nhau: mệnh đề và mệnh đề phủ định (Chương 1), mệnh đề kéo theo — đảo (Chương 2), tập hợp và cách xác định (Chương 3), các phép toán trên tập hợp (Chương 4). Đề kiểm tra giữa kì thường phối hợp cả bốn nội dung này trong một câu duy nhất, nên đây là kỹ năng thật sự cần luyện.

Khởi động

Một câu hỏi trong đề kiểm tra không bao giờ ghi rõ 'đây là câu về mệnh đề' hay 'đây là câu về tập hợp' — em phải tự nhận ra bài toán đang dùng công cụ nào trong số các công cụ đã học. Thử xem: câu 'Cho A là tập các số tự nhiên chia hết cho 6, không vượt quá 20. Có phải mọi phần tử của A đều chia hết cho 3 không?' đang hỏi về tập hợp, về mệnh đề kéo theo, hay cả hai?

Kiến thức trọng tâm

Nhắc lại: một mệnh đề chỉ đúng hoặc sai, không cả hai; phủ định $\overline{P}$ luôn trái tính đúng sai với $P$ ; phủ định mệnh đề chứa $\forall$ / $\exists$ phải đổi cả lượng từ lẫn dấu quan hệ.

Nhắc lại: một mệnh đề chỉ đúng hoặc sai, không cả hai; phủ định $\overline{P}$ luôn trái tính đúng sai với $P$; phủ định mệnh đề chứa $\forall$/$\exists$ phải đổi cả lượng từ lẫn dấu quan hệ.

Nhắc lại: $P\Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng, $Q$ sai; mệnh đề đảo $Q\Rightarrow P$ độc lập, phải kiểm tra riêng, thường bằng phản ví dụ; khi cả hai chiều đúng, ta có $P\Leftrightarrow Q$ .

Nhắc lại: tập hợp xác định bằng liệt kê hoặc tính chất đặc trưng; $A\subset B$ khi mọi phần tử của $A$ thuộc $B$ ; tập $n$ phần tử có $2^n$ tập con.

Nhắc lại: tập hợp xác định bằng liệt kê hoặc tính chất đặc trưng; $A\subset B$ khi mọi phần tử của $A$ thuộc $B$; tập $n$ phần tử có $2^n$ tập con.

Nhắc lại: $A\cap B$ là phần chung, $A\cup B$ là gộp lại, $A\setminus B$ là thuộc $A$ mà không thuộc $B$ , phần bù $C_{\mathbb{R}}A=\mathbb{R}\setminus A$ . Điều thú vị: quan hệ tập con $A\subset B$ và mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q$ thực chất diễn tả cùng một ý tưởng theo hai ngôn ngữ khác nhau — nếu ta đặt $A=\{x \mid P(x)\}$ và $B=\{x \mid Q(x)\}$ , thì $P(x)\Rightarrow Q(x)$ đúng với mọi $x$ khi và chỉ khi $A\subset B$ . Ba worked example dưới đây khai thác đúng mối liên hệ này.

Nhắc lại: $A\cap B$ là phần chung, $A\cup B$ là gộp lại, $A\setminus B$ là thuộc $A$ mà không thuộc $B$, phần bù $C_{\mathbb{R}}A=\mathbb{R}\setminus A$. Điều thú vị: quan hệ tập con $A\subset B$ và mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q$ thực chất diễn tả cùng một ý tưởng theo hai ngôn ngữ khác nhau — nếu ta đặt $A=\{x \mid P(x)\}$ và $B=\{x \mid Q(x)\}$, thì $P(x)\Rightarrow Q(x)$ đúng với mọi $x$ khi và chỉ khi $A\subset B$. Ba worked example dưới đây khai thác đúng mối liên hệ này.

Cũng đáng chú ý: cách viết tập hợp bằng tính chất đặc trưng $\{x \mid P(x)\}$ ở Chương 3 chính là dùng mệnh đề chứa biến $P(x)$ đã học ở Chương 1 làm điều kiện xác định tập hợp — khi thay $x$ bằng một giá trị cụ thể, $P(x)$ trở thành mệnh đề, và giá trị đó thuộc tập hợp khi và chỉ khi mệnh đề đó đúng. Đây là lý do bốn nội dung của khoá học không tách rời: mệnh đề chứa biến là cái 'lọc' xác định tập hợp, còn tập con và các phép toán trên tập hợp là cách mô tả kết quả của việc lọc đó.

Ví dụ

Liên hệ mệnh đề kéo theo với quan hệ tập con

1
Cho $A = \{x \in \mathbb{N} \mid 0 \leq x \leq 20, x \text{ chia hết cho } 6\}$ và $B = \{x \in \mathbb{N} \mid 0 \leq x \leq 20, x \text{ chia hết cho } 3\}$ . a) Liệt kê $A$ , $B$ . b) Tính $A\cap B$ và xét quan hệ $A\subset B$ . c) Giải thích quan hệ này bằng ngôn ngữ mệnh đề kéo theo đã học ở Chương 2.
Cho $A = \{x \in \mathbb{N} \mid 0 \leq x \leq 20, x \text{ chia hết cho } 6\}$ và $B = \{x \in \mathbb{N} \mid 0 \leq x \leq 20, x \text{ chia hết cho } 3\}$. a) Liệt kê $A$, $B$. b) Tính $A\cap B$ và xét quan hệ $A\subset B$. c) Giải thích quan hệ này bằng ngôn ngữ mệnh đề kéo theo đã học ở Chương 2.
2
Bội của 6 từ 0 đến 20: $A=\{0;6;12;18\}$ . Bội của 3 từ 0 đến 20: $B=\{0;3;6;9;12;15;18\}$ .
Bội của 6 từ 0 đến 20: $A=\{0;6;12;18\}$. Bội của 3 từ 0 đến 20: $B=\{0;3;6;9;12;15;18\}$.
3
Ta có mọi phần tử của $A$ (0, 6, 12, 18) đều xuất hiện trong danh sách của $B$ , nên $A\cap B=A=\{0;6;12;18\}$ và $A\subset B$ .
Ta có mọi phần tử của $A$ (0, 6, 12, 18) đều xuất hiện trong danh sách của $B$, nên $A\cap B=A=\{0;6;12;18\}$ và $A\subset B$.
4
Đây chính là bức tranh tập hợp của mệnh đề đã xét ở Chương 2: 'Nếu $n$ chia hết cho 6 thì $n$ chia hết cho 3' — mệnh đề này đúng với mọi $n$ , và $A\subset B$ là cách nói khác của đúng sự kiện đó: mọi $n$ thỏa điều kiện của $A$ (chia hết cho 6) đều thỏa điều kiện của $B$ (chia hết cho 3).
Đây chính là bức tranh tập hợp của mệnh đề đã xét ở Chương 2: 'Nếu $n$ chia hết cho 6 thì $n$ chia hết cho 3' — mệnh đề này đúng với mọi $n$, và $A\subset B$ là cách nói khác của đúng sự kiện đó: mọi $n$ thỏa điều kiện của $A$ (chia hết cho 6) đều thỏa điều kiện của $B$ (chia hết cho 3).
5
Vậy $A\subset B$ , và $A\neq B$ vì tồn tại phần tử $9\in B$ (vì $9=3\times3$ ) nhưng $9\notin A$ (9 không chia hết cho 6) — một phản ví dụ cụ thể cho thấy $B\not\subset A$ , khớp đúng với mệnh đề kéo theo đúng nhưng đảo sai đã xét ở Chương 2.
Vậy $A\subset B$, và $A\neq B$ vì tồn tại phần tử $9\in B$ (vì $9=3\times3$) nhưng $9\notin A$ (9 không chia hết cho 6) — một phản ví dụ cụ thể cho thấy $B\not\subset A$, khớp đúng với mệnh đề kéo theo đúng nhưng đảo sai đã xét ở Chương 2.

Ví dụ

Phủ định một điều kiện và biểu diễn tập nghiệm trên trục số

1
Cho mệnh đề chứa biến $P(x)$ : ' $x \in [-3;5]$ ', với $x$ là số thực. a) Viết mệnh đề phủ định $\overline{P(x)}$ . b) Xác định tập hợp $T$ gồm các số thực $x$ thỏa $\overline{P(x)}$ và biểu diễn $T$ trên trục số.
Cho mệnh đề chứa biến $P(x)$: '$x \in [-3;5]$', với $x$ là số thực. a) Viết mệnh đề phủ định $\overline{P(x)}$. b) Xác định tập hợp $T$ gồm các số thực $x$ thỏa $\overline{P(x)}$ và biểu diễn $T$ trên trục số.
2
Phủ định của ' $x$ thuộc đoạn $[-3;5]$ ' là ' $x$ không thuộc đoạn $[-3;5]$ ', tức $\overline{P(x)}$ : ' $x < -3$ hoặc $x > 5$ '.
Phủ định của '$x$ thuộc đoạn $[-3;5]$' là '$x$ không thuộc đoạn $[-3;5]$', tức $\overline{P(x)}$: '$x < -3$ hoặc $x > 5$'.
3
Tập $T$ chính là phần bù của $[-3;5]$ trong $\mathbb{R}$ : $T = C_{\mathbb{R}}[-3;5] = (-\infty;-3) \cup (5;+\infty)$ .
Tập $T$ chính là phần bù của $[-3;5]$ trong $\mathbb{R}$: $T = C_{\mathbb{R}}[-3;5] = (-\infty;-3) \cup (5;+\infty)$.
4
Thử $x=-3$ : $x\in[-3;5]$ nên $P(x)$ đúng, $\overline{P(x)}$ phải sai — đúng vậy vì $-3\notin T$ ( $T$ mở tại $-3$ ). Thử $x=10$ : $10\notin[-3;5]$ nên $P(x)$ sai, $\overline{P(x)}$ phải đúng — đúng vậy vì $10\in T$ .
Thử $x=-3$: $x\in[-3;5]$ nên $P(x)$ đúng, $\overline{P(x)}$ phải sai — đúng vậy vì $-3\notin T$ ($T$ mở tại $-3$). Thử $x=10$: $10\notin[-3;5]$ nên $P(x)$ sai, $\overline{P(x)}$ phải đúng — đúng vậy vì $10\in T$.
5
Vậy $T=(-\infty;-3)\cup(5;+\infty)$ , biểu diễn trên trục số bằng hai tia mở tại $-3$ và tại 5 (không lấy hai điểm này vì chúng thuộc $P(x)$ , không thuộc phủ định).
Vậy $T=(-\infty;-3)\cup(5;+\infty)$, biểu diễn trên trục số bằng hai tia mở tại $-3$ và tại 5 (không lấy hai điểm này vì chúng thuộc $P(x)$, không thuộc phủ định).

T=(-\infty;-3)\cup(5;+\infty)

: mở tại cả

-3

và 5 vì hai điểm này thuộc

[-3;5]

nên không thuộc phủ định.$T=(-\infty;-3)\cup(5;+\infty)$: mở tại cả $-3$ và 5 vì hai điểm này thuộc $[-3;5]$ nên không thuộc phủ định.

Ví dụ

Xét mệnh đề chứa lượng từ trên một tập hợp hữu hạn

1
Cho tập hợp $S=\{2;4;6;8\}$ . Xét mệnh đề $M$ : ' $\forall x \in S, x$ là số chẵn'. Mệnh đề này đúng hay sai? Viết mệnh đề phủ định của $M$ .
Cho tập hợp $S=\{2;4;6;8\}$. Xét mệnh đề $M$: '$\forall x \in S, x$ là số chẵn'. Mệnh đề này đúng hay sai? Viết mệnh đề phủ định của $M$.
2
Ta kiểm tra từng phần tử của $S$ : 2, 4, 6, 8 đều là số chẵn. Vậy mệnh đề $M$ đúng.
Ta kiểm tra từng phần tử của $S$: 2, 4, 6, 8 đều là số chẵn. Vậy mệnh đề $M$ đúng.
3
Phủ định của $M$ là $\overline{M}$ : ' $\exists x \in S, x$ không là số chẵn' (đổi $\forall$ thành $\exists$ , phủ định 'là số chẵn' thành 'không là số chẵn').
Phủ định của $M$ là $\overline{M}$: '$\exists x \in S, x$ không là số chẵn' (đổi $\forall$ thành $\exists$, phủ định 'là số chẵn' thành 'không là số chẵn').
4
Vì $M$ đúng nên $\overline{M}$ phải sai — đúng vậy, không có phần tử nào của $S$ là số lẻ, nên không tồn tại $x\in S$ để 'x không là số chẵn' đúng. Ví dụ này cho thấy phủ định mệnh đề chứa $\forall$ / $\exists$ (Chương 1) áp dụng y hệt khi lượng từ chạy trên một tập hợp cụ thể (Chương 3), không chỉ trên cả tập số $\mathbb{R}$ .
Vì $M$ đúng nên $\overline{M}$ phải sai — đúng vậy, không có phần tử nào của $S$ là số lẻ, nên không tồn tại $x\in S$ để 'x không là số chẵn' đúng. Ví dụ này cho thấy phủ định mệnh đề chứa $\forall$/$\exists$ (Chương 1) áp dụng y hệt khi lượng từ chạy trên một tập hợp cụ thể (Chương 3), không chỉ trên cả tập số $\mathbb{R}$.

Ví dụ

Từ mệnh đề tương đương đến hai tập hợp bằng nhau

1
Với $n$ là số tự nhiên, $0 \leq n \leq 20$ , xét lại $P$ : ' $n$ chia hết cho 6' và $Q$ : ' $n$ chia hết cho cả 2 và 3' — đã biết $P\Leftrightarrow Q$ ở Chương 2. Gọi $A=\{n\mid P(n)\}$ , $B=\{n\mid Q(n)\}$ trong đoạn từ 0 đến 20. Chứng tỏ $A=B$ bằng cách liệt kê cả hai tập.
Với $n$ là số tự nhiên, $0 \leq n \leq 20$, xét lại $P$: '$n$ chia hết cho 6' và $Q$: '$n$ chia hết cho cả 2 và 3' — đã biết $P\Leftrightarrow Q$ ở Chương 2. Gọi $A=\{n\mid P(n)\}$, $B=\{n\mid Q(n)\}$ trong đoạn từ 0 đến 20. Chứng tỏ $A=B$ bằng cách liệt kê cả hai tập.
2
$A$ gồm các bội của 6 từ 0 đến 20: $A=\{0;6;12;18\}$ .
$A$ gồm các bội của 6 từ 0 đến 20: $A=\{0;6;12;18\}$.
3
$B$ gồm các số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 từ 0 đến 20; đây chính là các bội của 6 (vì 2 và 3 nguyên tố cùng nhau), nên $B=\{0;6;12;18\}$ .
$B$ gồm các số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 từ 0 đến 20; đây chính là các bội của 6 (vì 2 và 3 nguyên tố cùng nhau), nên $B=\{0;6;12;18\}$.
4
Vậy $A=B$ — hai tập hợp liệt kê ra đúng cùng bốn phần tử, khớp hoàn toàn với mệnh đề tương đương $P\Leftrightarrow Q$ đã chứng minh ở Chương 2: khi hai mệnh đề tương đương, hai tập nghiệm tương ứng của chúng luôn bằng nhau.
Vậy $A=B$ — hai tập hợp liệt kê ra đúng cùng bốn phần tử, khớp hoàn toàn với mệnh đề tương đương $P\Leftrightarrow Q$ đã chứng minh ở Chương 2: khi hai mệnh đề tương đương, hai tập nghiệm tương ứng của chúng luôn bằng nhau.

Sai lầm thường gặp

Trong bài tổng hợp, sai lầm phổ biến nhất là áp dụng công cụ sai chỗ: dùng phép toán tập hợp cho một câu hỏi thực chất về mệnh đề kéo theo, hoặc ngược lại, thay vì nhận ra hai ngôn ngữ này có thể chuyển đổi qua lại. Sai lầm khác là quên kiểm tra lại bằng một phần tử/giá trị cụ thể sau khi tính toán — bước Kiểm tra không phải thủ tục hình thức, nó bắt được phần lớn lỗi tính nhầm dấu ngoặc hay quên đổi lượng từ đã nêu ở các bài trước.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Bốn công cụ của khoá học liên kết chặt chẽ: mệnh đề và phủ định cho ngôn ngữ đúng/sai; kéo theo/đảo cho cấu trúc lập luận; tập hợp và các phép toán cho cách mô tả và tính toán trên tập nghiệm. $P\Rightarrow Q$ đúng với mọi $x$ tương ứng đúng $A\subset B$ giữa hai tập nghiệm.

Ngôn ngữ mệnh đề và tập hợp vừa xây dựng sẽ xuất hiện lại ngay ở khoá tiếp theo — bất phương trình bậc nhất hai ẩn — nơi tập nghiệm của một hệ điều kiện được mô tả chính bằng giao của các miền nghiệm, đúng theo cách em vừa luyện ở bài này.