Bài học

Ba đường conic — nhận diện và chọn phương trình chính tắc

Mục tiêu ôn tập

Ba đường conic — elip, hypebol, parabol — trông giống nhau ở chỗ đều có phương trình chính tắc gọn gàng, nhưng dữ kiện đề cho để lắp vào công thức lại khác nhau hoàn toàn. Bài ôn tập này không dạy lại định nghĩa tiêu điểm hay tiêu cự, mà luyện em đọc đúng loại dữ kiện (độ dài trục, tiêu cự, hay một điểm) để chọn đúng công thức chính tắc.

Ba đường conic đều xuất phát từ cùng một ý tưởng — quỹ tích những điểm thỏa một điều kiện khoảng cách cố định với một hoặc hai điểm đặc biệt (tiêu điểm) và có thể thêm một đường thẳng đặc biệt (đường chuẩn) — nhưng điều kiện đó khác nhau giữa ba loại, và chính sự khác nhau đó tạo ra ba hình thức phương trình khác nhau. Ôn lại chương này không phải học ba công thức song song mà không liên quan, mà là hiểu rằng phương trình chỉ là hệ quả đại số của một định nghĩa hình học, và việc chọn công thức đúng đơn giản là dịch đúng phần dữ kiện hình học đề cho.

Ba công thức chính tắc và dữ kiện mở khóa chúng

Elip $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ cần hai trong ba đại lượng $a$ (nửa trục lớn), $c$ (nửa tiêu cự), $b$ (nửa trục nhỏ) — liên hệ bằng $b^2=a^2-c^2$ . Hypebol $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ cũng cần hai trong ba đại lượng tương tự, nhưng liên hệ đổi dấu thành $b^2=c^2-a^2$ — đây là khác biệt dễ nhầm nhất giữa hai conic. Parabol $y^2=2px$ chỉ cần một tham số $p$ , thường suy ra từ một điểm thuộc parabol hoặc từ chính hệ số của $y^2$ .

Elip $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ cần hai trong ba đại lượng $a$ (nửa trục lớn), $c$ (nửa tiêu cự), $b$ (nửa trục nhỏ) — liên hệ bằng $b^2=a^2-c^2$. Hypebol $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ cũng cần hai trong ba đại lượng tương tự, nhưng liên hệ đổi dấu thành $b^2=c^2-a^2$ — đây là khác biệt dễ nhầm nhất giữa hai conic. Parabol $y^2=2px$ chỉ cần một tham số $p$, thường suy ra từ một điểm thuộc parabol hoặc từ chính hệ số của $y^2$.

Ví dụ

Elip — từ độ dài trục lớn và tiêu cự đến phương trình chính tắc

1
Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn bằng $10$ và tiêu cự bằng $6$ .
Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn bằng $10$ và tiêu cự bằng $6$.
2
Đề cho độ dài trục lớn (tức $2a$ ) và tiêu cự (tức $2c$ ) — đúng hai đại lượng cần để suy ra $a, c$ rồi tính $b$ qua hệ thức $b^2=a^2-c^2$ của elip.
Đề cho độ dài trục lớn (tức $2a$) và tiêu cự (tức $2c$) — đúng hai đại lượng cần để suy ra $a, c$ rồi tính $b$ qua hệ thức $b^2=a^2-c^2$ của elip.
3
Độ dài trục lớn $2a=10 \Rightarrow a=5$ . Tiêu cự $2c=6 \Rightarrow c=3$ .
Độ dài trục lớn $2a=10 \Rightarrow a=5$. Tiêu cự $2c=6 \Rightarrow c=3$.
4
$b^2=a^2-c^2=25-9=16 \Rightarrow b=4$ .
$b^2=a^2-c^2=25-9=16 \Rightarrow b=4$.
5
Vậy phương trình chính tắc của elip là $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$ , với hai tiêu điểm $F_1(-3;0)$ , $F_2(3;0)$ .
Vậy phương trình chính tắc của elip là $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$, với hai tiêu điểm $F_1(-3;0)$, $F_2(3;0)$.

Ví dụ

Hypebol — cùng dữ kiện dạng, hệ thức đổi dấu

1
Viết phương trình chính tắc của hypebol có $a=3$ và tiêu cự bằng $10$ .
Viết phương trình chính tắc của hypebol có $a=3$ và tiêu cự bằng $10$.
2
Vẫn là hai đại lượng $a$ và $c$ như elip, nhưng vì đối tượng là hypebol, hệ thức liên hệ đổi dấu thành $b^2=c^2-a^2$ — nhầm sang công thức của elip là lỗi hay gặp nhất khi ôn hai conic này cùng lúc.
Vẫn là hai đại lượng $a$ và $c$ như elip, nhưng vì đối tượng là hypebol, hệ thức liên hệ đổi dấu thành $b^2=c^2-a^2$ — nhầm sang công thức của elip là lỗi hay gặp nhất khi ôn hai conic này cùng lúc.
3
Tiêu cự $2c=10 \Rightarrow c=5$ .
Tiêu cự $2c=10 \Rightarrow c=5$.
4
$b^2=c^2-a^2=25-9=16 \Rightarrow b=4$ .
$b^2=c^2-a^2=25-9=16 \Rightarrow b=4$.
5
Vậy phương trình chính tắc là $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$ , với tâm sai $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{5}{3}$ và hai đường tiệm cận $y=\pm\dfrac{b}{a}x=\pm\dfrac{4}{3}x$ .
Vậy phương trình chính tắc là $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$, với tâm sai $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{5}{3}$ và hai đường tiệm cận $y=\pm\dfrac{b}{a}x=\pm\dfrac{4}{3}x$.

Ba dạng conic vẽ chung để so sánh hình dạng — elip khép kín, hypebol hai nhánh tiến gần hai đường tiệm cận nét đứt, parabol chỉ mở về một phía.

Ví dụ

Parabol — từ hệ số của y² đến tiêu điểm và đường chuẩn

1
Cho parabol $(P): y^2=8x$ . Tìm tham số $p$ , tọa độ tiêu điểm $F$ và phương trình đường chuẩn.
Cho parabol $(P): y^2=8x$. Tìm tham số $p$, tọa độ tiêu điểm $F$ và phương trình đường chuẩn.
2
Đề cho sẵn đúng dạng chính tắc $y^2=2px$ — công cụ chỉ là đồng nhất hệ số để tìm $p$ , không cần thêm dữ kiện nào khác như elip hay hypebol.
Đề cho sẵn đúng dạng chính tắc $y^2=2px$ — công cụ chỉ là đồng nhất hệ số để tìm $p$, không cần thêm dữ kiện nào khác như elip hay hypebol.
3
So với $y^2=2px$ : $2p=8 \Rightarrow p=4$ .
So với $y^2=2px$: $2p=8 \Rightarrow p=4$.
4
Tiêu điểm $F\left(\dfrac{p}{2};0\right)=F(2;0)$ . Đường chuẩn $x=-\dfrac{p}{2}=-2$ .
Tiêu điểm $F\left(\dfrac{p}{2};0\right)=F(2;0)$. Đường chuẩn $x=-\dfrac{p}{2}=-2$.
5
Vậy $(P)$ có $p=4$ , tiêu điểm $F(2;0)$ , đường chuẩn $x=-2$ — mọi điểm trên $(P)$ cách đều $F$ và đường thẳng $x=-2$ , đúng theo định nghĩa parabol bằng tiêu điểm và đường chuẩn.
Vậy $(P)$ có $p=4$, tiêu điểm $F(2;0)$, đường chuẩn $x=-2$ — mọi điểm trên $(P)$ cách đều $F$ và đường thẳng $x=-2$, đúng theo định nghĩa parabol bằng tiêu điểm và đường chuẩn.

Nhận dạng ngược — từ phương trình suy ra loại conic

Chiều ngược lại của bài toán — cho sẵn một phương trình và hỏi đó là conic nào — không cần tính toán, chỉ cần đọc đúng ba dấu hiệu hình thức: hai số hạng bình phương cùng dấu cộng là elip (hoặc đường tròn nếu hai mẫu bằng nhau), hai số hạng bình phương khác dấu là hypebol, và chỉ một biến có bậc hai còn biến kia bậc nhất là parabol. Việc nhận đúng loại conic trước khi đọc tiếp các đại lượng $a, b, c, p$ tránh được việc học sinh áp nhầm công thức của conic này cho conic khác.

Ví dụ

Nhận dạng ba phương trình và nêu một tính chất của mỗi conic

1
Nhận dạng và nêu một tính chất của mỗi phương trình sau: (I) $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$ ; (II) $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{9}=1$ ; (III) $y^2=12x$ .
Nhận dạng và nêu một tính chất của mỗi phương trình sau: (I) $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$; (II) $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{9}=1$; (III) $y^2=12x$.
2
Ba phương trình có hình thức gần giống nhau, nên bước đầu tiên bắt buộc là phân loại bằng dấu và bậc trước khi tính bất kỳ đại lượng nào — đọc nhầm dấu sẽ áp sai toàn bộ hệ thức phía sau.
3
(I) có hai số hạng bình phương cùng dấu cộng, hai mẫu số khác nhau ( $16 \ne 9$ ) — đây là một elip với $a^2=16, b^2=9$ , suy ra $a=4, b=3$ , $c^2=a^2-b^2=7$ .
(I) có hai số hạng bình phương cùng dấu cộng, hai mẫu số khác nhau ($16 \ne 9$) — đây là một elip với $a^2=16, b^2=9$, suy ra $a=4, b=3$, $c^2=a^2-b^2=7$.
4
(II) có dấu trừ giữa hai số hạng bình phương — đây là một hypebol với $a^2=4, b^2=9$ , suy ra $a=2$ , và theo hệ thức hypebol $c^2=a^2+b^2=13$ , hai tiệm cận $y=\pm\dfrac{3}{2}x$ .
(II) có dấu trừ giữa hai số hạng bình phương — đây là một hypebol với $a^2=4, b^2=9$, suy ra $a=2$, và theo hệ thức hypebol $c^2=a^2+b^2=13$, hai tiệm cận $y=\pm\dfrac{3}{2}x$.
5
(III) chỉ có $y^2$ ở một vế và $x$ bậc nhất ở vế kia — đây là một parabol với $2p=12 \Rightarrow p=6$ , tiêu điểm $F(3;0)$ .
(III) chỉ có $y^2$ ở một vế và $x$ bậc nhất ở vế kia — đây là một parabol với $2p=12 \Rightarrow p=6$, tiêu điểm $F(3;0)$.
6
Vậy (I) là elip, (II) là hypebol, (III) là parabol — ba dấu hiệu hình thức (dấu cộng hai mẫu khác nhau, dấu trừ, hay chỉ một biến bậc hai) đủ để phân loại trước khi tính bất kỳ đại lượng cụ thể nào.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là dùng nhầm hệ thức $b^2=a^2-c^2$ của elip cho hypebol (hoặc ngược lại $b^2=c^2-a^2$ cho elip) — hai hệ thức trông giống nhau nhưng đổi dấu, và chỉ cần nhớ rằng elip là đường cong khép kín (nên $a>c$ , $a^2-c^2>0$ ) còn hypebol có hai nhánh mở rộng ra vô tận (nên $c>a$ , $c^2-a^2>0$ ) là đủ để không nhầm hệ thức nào dùng cho conic nào.

Sai lầm phổ biến nhất là dùng nhầm hệ thức $b^2=a^2-c^2$ của elip cho hypebol (hoặc ngược lại $b^2=c^2-a^2$ cho elip) — hai hệ thức trông giống nhau nhưng đổi dấu, và chỉ cần nhớ rằng elip là đường cong khép kín (nên $a>c$, $a^2-c^2>0$) còn hypebol có hai nhánh mở rộng ra vô tận (nên $c>a$, $c^2-a^2>0$) là đủ để không nhầm hệ thức nào dùng cho conic nào.

Một điểm dễ gây nhầm lẫn khác là tâm sai $e=\dfrac{c}{a}$ : với elip, $e$ luôn nhỏ hơn $1$ (vì $a>c$ ), và $e$ càng gần $0$ thì elip càng gần hình tròn, càng gần $1$ thì elip càng dẹt. Với hypebol, $e$ luôn lớn hơn $1$ (vì $c>a$ ), và $e$ càng lớn thì hai nhánh hypebol càng mở rộng nhanh. Ghi nhớ khoảng giá trị này ( $e<1$ cho elip, $e>1$ cho hypebol) là một cách kiểm tra nhanh: nếu tính ra $e>1$ mà đang giải bài elip, chắc chắn có bước tính sai ở đâu đó, vì bản chất hình học của elip không cho phép điều đó xảy ra.

Một điểm dễ gây nhầm lẫn khác là tâm sai $e=\dfrac{c}{a}$: với elip, $e$ luôn nhỏ hơn $1$ (vì $a>c$), và $e$ càng gần $0$ thì elip càng gần hình tròn, càng gần $1$ thì elip càng dẹt. Với hypebol, $e$ luôn lớn hơn $1$ (vì $c>a$), và $e$ càng lớn thì hai nhánh hypebol càng mở rộng nhanh. Ghi nhớ khoảng giá trị này ($e<1$ cho elip, $e>1$ cho hypebol) là một cách kiểm tra nhanh: nếu tính ra $e>1$ mà đang giải bài elip, chắc chắn có bước tính sai ở đâu đó, vì bản chất hình học của elip không cho phép điều đó xảy ra.

Trong một đề tổng hợp, ba đường conic thường không xuất hiện riêng lẻ mà được lồng vào một bài toán ứng dụng: quỹ đạo một vệ tinh mô phỏng bằng elip, gương phản xạ dạng parabol, hay đường truyền tín hiệu mô phỏng bằng hypebol. Dù bối cảnh khác nhau, việc đầu tiên vẫn luôn là dịch tình huống thực tế đó về đúng ba dấu hiệu hình thức đã ôn — dấu cộng hay dấu trừ giữa hai số hạng bình phương, hay chỉ một biến bậc hai — trước khi tính bất kỳ đại lượng cụ thể nào của conic.

Tổng kết chương phương pháp tọa độ: dù là đường thẳng, đường tròn hay ba đường conic, công cụ luôn bắt đầu từ việc đọc đúng loại dữ kiện đề cho — pháp tuyến hay chỉ phương cho đường thẳng; tâm và bán kính hay dạng khai triển cho đường tròn; độ dài trục, tiêu cự, hay một điểm cho ba đường conic. Một khi xác định đúng dữ kiện, phần còn lại chỉ là thay số đúng công thức, không có bước nào cần sáng tạo thêm.

Hai chương ôn tập tiếp theo rời khỏi hình học, chuyển sang mạch tổ hợp – xác suất – thống kê, rồi khép lại toàn bộ chương trình bằng hai đề tổng hợp yêu cầu tự nhận diện công cụ xuyên suốt cả bốn mạch kiến thức đã ôn — đại số, hình học phẳng, phương pháp tọa độ, và tổ hợp – xác suất – thống kê — trong cùng một đề như một kỳ thi thật.