Bài học

Hệ thức lượng trong tam giác — chọn cosin, sin hay công thức diện tích

Mục tiêu ôn tập

Ba bài học cũ về tam giác — định lý cosin, định lý sin, và diện tích tam giác — không cạnh tranh nhau, mà mỗi công thức chỉ mở khóa được khi đề cho đúng loại dữ kiện. Bài ôn tập này không nhắc lại từng công thức riêng lẻ nữa, mà luyện em nhìn dữ kiện đề bài (mấy cạnh, mấy góc, góc nằm ở đâu) để quyết định ngay công thức nào dùng được.

Bảng quyết định: dữ kiện nào thì công thức nào

Biết đủ ba cạnh, không biết góc nào — công cụ duy nhất mở ra là định lý cosin (suy ngược ra góc) hoặc công thức Heron (tính thẳng diện tích). Biết hai cạnh và góc xen giữa — cosin cho cạnh còn lại, và diện tích tính bằng $\frac{1}{2}ab\sin C$ chứ không cần Heron. Biết một cạnh và hai góc (hoặc đủ để suy ra góc thứ ba từ tổng ba góc bằng $180°$ ) — công cụ là định lý sin, đặc biệt hữu ích khi cần bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ . Ba dấu hiệu này ứng đúng với ba tình huống đo đạc thực tế: đo đủ ba cạnh của một khu đất, đo hai cạnh kèm góc giữa hai hướng ngắm, hoặc đo một cạnh gốc rồi ngắm góc từ hai đầu.

Biết đủ ba cạnh, không biết góc nào — công cụ duy nhất mở ra là định lý cosin (suy ngược ra góc) hoặc công thức Heron (tính thẳng diện tích). Biết hai cạnh và góc xen giữa — cosin cho cạnh còn lại, và diện tích tính bằng $\frac{1}{2}ab\sin C$ chứ không cần Heron. Biết một cạnh và hai góc (hoặc đủ để suy ra góc thứ ba từ tổng ba góc bằng $180°$) — công cụ là định lý sin, đặc biệt hữu ích khi cần bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$. Ba dấu hiệu này ứng đúng với ba tình huống đo đạc thực tế: đo đủ ba cạnh của một khu đất, đo hai cạnh kèm góc giữa hai hướng ngắm, hoặc đo một cạnh gốc rồi ngắm góc từ hai đầu.

Lời giải có hình

Một tam giác, ba công cụ: cosin, sin và diện tích

Bước 1

Vẽ tam giác ABC với ba cạnh đề cho: BC = a = 7, AC = b = 5, AB = c = 8.

Ví dụ

Một tam giác, ba công cụ — trình bày lời giải đầy đủ

1
Cho tam giác $ABC$ có $BC=a=7$ , $AC=b=5$ , $AB=c=8$ . a) Tính góc $A$ . b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ . c) Tính diện tích tam giác.
Cho tam giác $ABC$ có $BC=a=7$, $AC=b=5$, $AB=c=8$. a) Tính góc $A$. b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$. c) Tính diện tích tam giác.
2
Câu a chỉ có ba cạnh nên dùng cosin. Câu b cần một cặp cạnh–góc đối diện nên dùng sin, tận dụng luôn góc $A$ vừa tìm được. Câu c có thể dùng Heron (chỉ cần ba cạnh) nhưng vì đã biết $R$ từ câu b, công thức $S=\dfrac{abc}{4R}$ nhanh hơn — và ta kiểm tra chéo bằng Heron.
Câu a chỉ có ba cạnh nên dùng cosin. Câu b cần một cặp cạnh–góc đối diện nên dùng sin, tận dụng luôn góc $A$ vừa tìm được. Câu c có thể dùng Heron (chỉ cần ba cạnh) nhưng vì đã biết $R$ từ câu b, công thức $S=\dfrac{abc}{4R}$ nhanh hơn — và ta kiểm tra chéo bằng Heron.
3
Ta có $\cos A = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \dfrac{25+64-49}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \dfrac{40}{80}=0,5$ . Suy ra $A = 60°$ . (1)
Ta có $\cos A = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \dfrac{25+64-49}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \dfrac{40}{80}=0,5$. Suy ra $A = 60°$. (1)
4
Theo (1), áp dụng định lý sin: $\dfrac{a}{\sin A} = 2R \Rightarrow R = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{7}{2\sin 60°} = \dfrac{7}{\sqrt3} \approx 4,04$ . (2)
Theo (1), áp dụng định lý sin: $\dfrac{a}{\sin A} = 2R \Rightarrow R = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{7}{2\sin 60°} = \dfrac{7}{\sqrt3} \approx 4,04$. (2)
5
Theo (2), $S = \dfrac{abc}{4R} = \dfrac{7 \cdot 5 \cdot 8}{4 \cdot \frac{7}{\sqrt3}} = \dfrac{280\sqrt3}{28} = 10\sqrt3 \approx 17,32$ . Kiểm tra bằng Heron với nửa chu vi $p=\dfrac{7+5+8}{2}=10$ : $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{10 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2}=\sqrt{300}=10\sqrt3$ — trùng khớp.
Theo (2), $S = \dfrac{abc}{4R} = \dfrac{7 \cdot 5 \cdot 8}{4 \cdot \frac{7}{\sqrt3}} = \dfrac{280\sqrt3}{28} = 10\sqrt3 \approx 17,32$. Kiểm tra bằng Heron với nửa chu vi $p=\dfrac{7+5+8}{2}=10$: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{10 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2}=\sqrt{300}=10\sqrt3$ — trùng khớp.
6
Vậy $A=60°$ , $R \approx 4,04$ , và $S=10\sqrt3 \approx 17,32$ (đơn vị diện tích tương ứng với đơn vị cạnh), ba công thức khác nhau đều cho cùng một diện tích.
Vậy $A=60°$, $R \approx 4,04$, và $S=10\sqrt3 \approx 17,32$ (đơn vị diện tích tương ứng với đơn vị cạnh), ba công thức khác nhau đều cho cùng một diện tích.

Ba công thức diện tích xuất phát từ dữ kiện khác nhau nhưng luôn cho cùng một kết quả — chọn công thức nào chỉ là vấn đề dữ kiện có sẵn, không phải độ chính xác.

Trường hợp hai cạnh và góc xen giữa

Dấu hiệu "hai cạnh, một góc xen giữa" xuất hiện rất nhiều trong đề thi dưới lốt bài toán đo đất: hai đoạn đã đo được từ một đỉnh, cùng góc giữa hai hướng đo. Khi đó cosin cho ngay cạnh còn lại mà không cần biết góc nào khác, và diện tích tính trực tiếp bằng nửa tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa — không cần tính Heron vì đã có sẵn góc.

Ví dụ

Hai cạnh và góc xen giữa — tính cạnh và diện tích cùng lúc

1
Một mảnh đất hình tam giác có hai cạnh $AB=5$ (đơn vị trăm mét), $AC=7$ , góc $\angle BAC = 120°$ . Tính cạnh $BC$ và diện tích mảnh đất.
Một mảnh đất hình tam giác có hai cạnh $AB=5$ (đơn vị trăm mét), $AC=7$, góc $\angle BAC = 120°$. Tính cạnh $BC$ và diện tích mảnh đất.
2
Đề cho đúng hai cạnh kề một đỉnh và góc xen giữa hai cạnh đó — dấu hiệu chuẩn của định lý cosin cho cạnh còn lại, và công thức $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ cho diện tích vì góc xen giữa đã có sẵn, không cần đi vòng qua Heron.
Đề cho đúng hai cạnh kề một đỉnh và góc xen giữa hai cạnh đó — dấu hiệu chuẩn của định lý cosin cho cạnh còn lại, và công thức $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ cho diện tích vì góc xen giữa đã có sẵn, không cần đi vòng qua Heron.
3
Ta có $BC^2 = AB^2+AC^2-2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A = 25+49-2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 120° = 74-70 \cdot(-0,5) = 74+35=109$ . Suy ra $BC = \sqrt{109} \approx 10,44$ (trăm mét). (1)
Ta có $BC^2 = AB^2+AC^2-2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A = 25+49-2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 120° = 74-70 \cdot(-0,5) = 74+35=109$. Suy ra $BC = \sqrt{109} \approx 10,44$ (trăm mét). (1)
4
Ta có $S = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sin 120° = 17,5 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 8,75\sqrt3 \approx 15,16$ (đơn vị diện tích tương ứng).
Ta có $S = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sin 120° = 17,5 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 8,75\sqrt3 \approx 15,16$ (đơn vị diện tích tương ứng).
5
Vậy $BC \approx 10,44$ (trăm mét) và diện tích mảnh đất xấp xỉ $15,16$ đơn vị diện tích. Chú ý: bài này không cần đi qua Heron vì góc xen giữa đã cho sẵn — quy về Heron ở đây chỉ làm chậm bài toán, không sai nhưng thừa bước.
Vậy $BC \approx 10,44$ (trăm mét) và diện tích mảnh đất xấp xỉ $15,16$ đơn vị diện tích. Chú ý: bài này không cần đi qua Heron vì góc xen giữa đã cho sẵn — quy về Heron ở đây chỉ làm chậm bài toán, không sai nhưng thừa bước.
6
Theo (1), nửa chu vi $p \approx (5+7+10,44)/2 \approx 11,22$ ; tính Heron: $S \approx \sqrt{11,22 \cdot 6,22 \cdot 4,22 \cdot 0,78} \approx 15,16$ — trùng khớp với cách tính trực tiếp, xác nhận không có sai sót khi làm tròn.
Theo (1), nửa chu vi $p \approx (5+7+10,44)/2 \approx 11,22$; tính Heron: $S \approx \sqrt{11,22 \cdot 6,22 \cdot 4,22 \cdot 0,78} \approx 15,16$ — trùng khớp với cách tính trực tiếp, xác nhận không có sai sót khi làm tròn.

Ứng dụng đo đạc — chọn công cụ từ tình huống thực tế

Bài toán đo đạc không viết sẵn "hãy dùng định lý sin" — đề chỉ mô tả một tình huống, và việc đầu tiên là dịch tình huống đó sang đúng dữ kiện tam giác: baseline đã đo được là một cạnh, hai góc ngắm từ hai đầu baseline là hai góc kề cạnh đó. Đây đúng là dấu hiệu của định lý sin.

Ví dụ

Đo khoảng cách qua sông bằng định lý sin

1
Để đo khoảng cách từ một cây $C$ bên kia sông, người ta đứng tại hai điểm $A, B$ cùng bờ, $AB=40$ m, ngắm tới $C$ với góc $\angle CAB = 50°$ , $\angle CBA = 45°$ . Tính khoảng cách $AC$ .
Để đo khoảng cách từ một cây $C$ bên kia sông, người ta đứng tại hai điểm $A, B$ cùng bờ, $AB=40$ m, ngắm tới $C$ với góc $\angle CAB = 50°$, $\angle CBA = 45°$. Tính khoảng cách $AC$.
2
Đã đo được một cạnh (baseline $AB$ ) và hai góc kề cạnh đó — đúng dấu hiệu của định lý sin, không cần và cũng không thể dùng cosin vì chưa biết cạnh nào khác.
Đã đo được một cạnh (baseline $AB$) và hai góc kề cạnh đó — đúng dấu hiệu của định lý sin, không cần và cũng không thể dùng cosin vì chưa biết cạnh nào khác.
3
Ta có $\angle ACB = 180° - 50° - 45° = 85°$ .
Ta có $\angle ACB = 180° - 50° - 45° = 85°$.
4
Theo định lý sin: $\dfrac{AC}{\sin B} = \dfrac{AB}{\sin C} \Rightarrow AC = \dfrac{AB \cdot \sin B}{\sin C} = \dfrac{40 \cdot \sin 45°}{\sin 85°} \approx 28,4.
5
Vậy khoảng cách từ $A$ đến cây $C$ bên kia sông xấp xỉ $28,4$ m — người đo không cần đặt chân xuống sông mà vẫn tính được khoảng cách nhờ định lý sin.
Vậy khoảng cách từ $A$ đến cây $C$ bên kia sông xấp xỉ $28,4$ m — người đo không cần đặt chân xuống sông mà vẫn tính được khoảng cách nhờ định lý sin.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là dùng cosin khi đề chỉ cho một cạnh và hai góc (thiếu cạnh thứ hai để cosin có chỗ dùng), hoặc dùng sin khi đề cho đủ ba cạnh mà chưa biết góc nào — sin cần ít nhất một cặp cạnh–góc đối diện đã biết để lập tỉ số, còn ở đây chưa có góc nào để bắt đầu. Luôn hỏi trước: đề cho mấy cạnh, mấy góc, góc đó có đối diện với cạnh đã biết không.

Tổng kết: cosin, sin và ba công thức diện tích không phải bốn công cụ rời rạc mà là một bộ công cụ được chọn theo đúng dữ kiện đề cho — ba cạnh, hai cạnh và góc xen giữa, hay một cạnh và hai góc. Việc luyện phản xạ đọc dữ kiện trước khi chọn công thức quan trọng hơn việc nhớ thuộc lòng cả bốn công thức.

Bài tiếp theo ôn lại vectơ và tích vô hướng — một bộ công cụ khác hẳn nhưng cũng giải quyết được nhiều bài hình học phẳng, đặc biệt là các bài chứng minh vuông góc hoặc tính chất trung điểm, trọng tâm mà cosin và sin không trực tiếp xử lý được.

Một điều đáng nhớ khi ôn thi: đề kiểm tra thường không nói thẳng "đây là bài cosin" hay "đây là bài sin" — đề chỉ mô tả một tam giác bằng một số dữ kiện cụ thể, và việc phân loại dữ kiện đó thành ba cạnh, hai cạnh–một góc xen giữa, hay một cạnh–hai góc chính là bước đầu tiên của lời giải, làm trước cả khi đặt bút tính. Học sinh mất điểm nhiều nhất không phải vì quên công thức, mà vì áp dụng nhầm công thức cho loại dữ kiện không phù hợp — cố dùng sin khi chưa có góc nào, hoặc cố dùng cosin khi chỉ có một cạnh. Ba dấu hiệu nhận diện trong bảng quyết định ở đầu bài chính là công cụ chống lại sai lầm đó.