Bài học

Ôn tập số đặc trưng của mẫu số liệu

Mục tiêu bài học

Bài ôn tập này giúp em vận dụng đồng thời số trung bình, trung vị, mốt, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai, độ lệch chuẩn và biểu đồ hộp để phân tích và so sánh các mẫu số liệu, đúng theo cấu trúc một đề kiểm tra tổng hợp.

Kiến thức nền cần nhớ

Toàn bộ công thức dùng trong bài ôn tập này đã học ở ba bài trước của chương (same-grade bridge): không có công thức mới nào được giới thiệu; mục tiêu là luyện phối hợp nhiều số đặc trưng trong cùng một bài toán, đúng như cách đề kiểm tra thường kết hợp.

Khởi động

Một đề kiểm tra hiếm khi chỉ hỏi một số đặc trưng riêng lẻ. Đề thường cho một bảng số liệu rồi hỏi liên tiếp: tính số trung bình, tìm tứ phân vị, xét xem có giá trị ngoại lệ hay không, và so sánh với một mẫu số liệu khác. Bài ôn tập này luyện đúng kiểu bài đó.

Vận dụng tổng hợp

Khi một đề bài cho hai mẫu số liệu và hỏi mẫu nào ổn định hơn hoặc mẫu nào có xu hướng cao hơn, quy trình luôn gồm hai bước: so sánh số trung bình (hoặc trung vị) để biết mẫu nào có xu hướng cao hơn, rồi so sánh độ lệch chuẩn (hoặc khoảng tứ phân vị) để biết mẫu nào đồng đều hơn. Hai bước này độc lập với nhau — một mẫu có thể vừa cao hơn vừa kém ổn định hơn mẫu còn lại.

Khi đề chỉ cho $Q_1$ và $Q_3$ mà không cho toàn bộ mẫu số liệu, em vẫn tính được khoảng tứ phân vị và kiểm tra ngoại lệ bằng đúng quy tắc $[Q_1-1,5\Delta_Q;\ Q_3+1,5\Delta_Q]$ đã học — không cần quay lại dữ liệu gốc. Đây là kỹ năng thường bị bỏ sót: nhiều học sinh nghĩ phải có đủ dữ liệu gốc mới xét được ngoại lệ, trong khi $Q_1$ , $Q_3$ đã đủ thông tin.

Một câu hỏi tổng hợp thường gặp là: nên dùng cặp (số trung bình, độ lệch chuẩn) hay cặp (trung vị, khoảng tứ phân vị) để mô tả một mẫu số liệu? Câu trả lời phụ thuộc vào việc mẫu có giá trị ngoại lệ hay không. Khi mẫu không có giá trị ngoại lệ, hai cặp số đặc trưng thường cho kết luận nhất quán với nhau, và số trung bình cùng độ lệch chuẩn được ưu tiên vì tận dụng toàn bộ dữ liệu. Khi mẫu có giá trị ngoại lệ — như mẫu thời gian tự học ở Chương 3, nơi giá trị 150 phút làm lệch hẳn bức tranh — trung vị và khoảng tứ phân vị mô tả trung thực hơn, vì không bị giá trị bất thường đó chi phối. Một đề kiểm tra tốt thường yêu cầu chính xác điều này: tính cả hai cặp, kiểm tra ngoại lệ, rồi chọn cặp phù hợp để đưa ra kết luận cuối cùng, chứ không chỉ dừng lại ở phép tính.

Một dạng câu hỏi tổng hợp khác yêu cầu tính ngược: cho biết số trung bình và một vài giá trị của mẫu, tìm giá trị còn thiếu. Cách làm không đổi — vẫn dùng đúng công thức $\bar{x}=\dfrac{\sum x_i}{n}$ , chỉ khác là ẩn số nằm bên trong tổng thay vì là kết quả cuối cùng cần tìm. Kỹ năng đọc đúng vai trò của mỗi con số trong đề — đâu là dữ kiện đã biết, đâu là ẩn số cần tìm, đâu là thông tin gây nhiễu như điểm trung bình cả lớp không liên quan đến câu hỏi xác suất — quan trọng không kém việc nhớ đúng công thức, và chính là điều bài ôn tập này muốn rèn luyện.

Một dạng câu hỏi tổng hợp khác yêu cầu tính ngược: cho biết số trung bình và một vài giá trị của mẫu, tìm giá trị còn thiếu. Cách làm không đổi — vẫn dùng đúng công thức $\bar{x}=\dfrac{\sum x_i}{n}$, chỉ khác là ẩn số nằm bên trong tổng thay vì là kết quả cuối cùng cần tìm. Kỹ năng đọc đúng vai trò của mỗi con số trong đề — đâu là dữ kiện đã biết, đâu là ẩn số cần tìm, đâu là thông tin gây nhiễu như điểm trung bình cả lớp không liên quan đến câu hỏi xác suất — quan trọng không kém việc nhớ đúng công thức, và chính là điều bài ôn tập này muốn rèn luyện.

Nhóm Y có trung bình cao hơn nhưng độ lệch chuẩn cũng lớn hơn nhiều, tức kém đồng đều hơn nhóm X.

Ví dụ

So sánh độ ổn định của hai nhóm dữ liệu

1
Nhóm X ghi nhận 5 kết quả: 6; 7; 8; 8; 9. Nhóm Y ghi nhận 5 kết quả: 4; 6; 8; 10; 12. So sánh xu hướng trung tâm và độ ổn định của hai nhóm.
2
Ta có $\bar{x}_X=\dfrac{6+7+8+8+9}{5}=\dfrac{38}{5}=7,6$ ; $\bar{x}_Y=\dfrac{4+6+8+10+12}{5}=\dfrac{40}{5}=8$ .
Ta có $\bar{x}_X=\dfrac{6+7+8+8+9}{5}=\dfrac{38}{5}=7,6$; $\bar{x}_Y=\dfrac{4+6+8+10+12}{5}=\dfrac{40}{5}=8$.
3
Độ lệch so với 7,6: $-1,6;-0,6;0,4;0,4;1,4$ ; bình phương: $2,56;0,36;0,16;0,16;1,96$ , tổng $5,2$ . Vậy $s_X^2=5,2/5=1,04$ , $s_X=\sqrt{1,04}\approx1,02$ .
Độ lệch so với 7,6: $-1,6;-0,6;0,4;0,4;1,4$; bình phương: $2,56;0,36;0,16;0,16;1,96$, tổng $5,2$. Vậy $s_X^2=5,2/5=1,04$, $s_X=\sqrt{1,04}\approx1,02$.
4
Độ lệch so với 8: $-4;-2;0;2;4$ ; bình phương: $16;4;0;4;16$ , tổng $40$ . Vậy $s_Y^2=40/5=8$ , $s_Y=\sqrt{8}\approx2,83$ .
Độ lệch so với 8: $-4;-2;0;2;4$; bình phương: $16;4;0;4;16$, tổng $40$. Vậy $s_Y^2=40/5=8$, $s_Y=\sqrt{8}\approx2,83$.
5
Vậy nhóm Y có số trung bình cao hơn (8 so với 7,6), nhưng độ lệch chuẩn của nhóm Y ( $\approx2,83$ ) lớn hơn nhiều so với nhóm X ( $\approx1,02$ ). Nhóm Y có xu hướng cao hơn nhưng dao động mạnh hơn, còn nhóm X thấp hơn một chút nhưng đồng đều hơn hẳn — hai nhận xét độc lập, không nhóm nào tốt hơn về cả hai mặt.
Vậy nhóm Y có số trung bình cao hơn (8 so với 7,6), nhưng độ lệch chuẩn của nhóm Y ($\approx2,83$) lớn hơn nhiều so với nhóm X ($\approx1,02$). Nhóm Y có xu hướng cao hơn nhưng dao động mạnh hơn, còn nhóm X thấp hơn một chút nhưng đồng đều hơn hẳn — hai nhận xét độc lập, không nhóm nào tốt hơn về cả hai mặt.

Ví dụ

Bài toán tổng hợp: từ số trung bình đến biểu đồ hộp

1
Điểm kiểm tra của 8 học sinh: 4; 6; 7; 7; 8; 8; 9; 10. Tính số trung bình, tìm trung vị và mốt, tìm $Q_1,Q_3$ , tính phương sai, độ lệch chuẩn, và kiểm tra xem có giá trị nào là ngoại lệ hay không.
Điểm kiểm tra của 8 học sinh: 4; 6; 7; 7; 8; 8; 9; 10. Tính số trung bình, tìm trung vị và mốt, tìm $Q_1,Q_3$, tính phương sai, độ lệch chuẩn, và kiểm tra xem có giá trị nào là ngoại lệ hay không.
2
$n=8$ , tổng $=4+6+7+7+8+8+9+10=59$ , nên $\bar{x}=59/8=7,375$ .
$n=8$, tổng $=4+6+7+7+8+8+9+10=59$, nên $\bar{x}=59/8=7,375$.
3
Mẫu đã sắp xếp, $n=8$ chẵn nên $M_e=\dfrac{7+8}{2}=7,5$ (giá trị thứ 4 và thứ 5). Giá trị 7 và 8 đều xuất hiện 2 lần — nhiều hơn các giá trị khác — nên mẫu có hai mốt: $M_o=7$ và $M_o=8$ .
Mẫu đã sắp xếp, $n=8$ chẵn nên $M_e=\dfrac{7+8}{2}=7,5$ (giá trị thứ 4 và thứ 5). Giá trị 7 và 8 đều xuất hiện 2 lần — nhiều hơn các giá trị khác — nên mẫu có hai mốt: $M_o=7$ và $M_o=8$.
4
Nửa dưới: 4;6;7;7, $Q_1=\dfrac{6+7}{2}=6,5$ . Nửa trên: 8;8;9;10, $Q_3=\dfrac{8+9}{2}=8,5$ . Độ lệch so với $\bar{x}=7,375$ và bình phương của chúng cộng lại cho phương sai $s^2\approx2,98$ , suy ra độ lệch chuẩn $s\approx1,73$ .
Nửa dưới: 4;6;7;7, $Q_1=\dfrac{6+7}{2}=6,5$. Nửa trên: 8;8;9;10, $Q_3=\dfrac{8+9}{2}=8,5$. Độ lệch so với $\bar{x}=7,375$ và bình phương của chúng cộng lại cho phương sai $s^2\approx2,98$, suy ra độ lệch chuẩn $s\approx1,73$.
5
Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q=8,5-6,5=2$ . Ngưỡng: $[6,5-1,5\times2;\ 8,5+1,5\times2]=[3,5;\ 11,5]$ . Mọi giá trị của mẫu (từ 4 đến 10) đều nằm trong đoạn này, nên mẫu không có giá trị ngoại lệ.
Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q=8,5-6,5=2$. Ngưỡng: $[6,5-1,5\times2;\ 8,5+1,5\times2]=[3,5;\ 11,5]$. Mọi giá trị của mẫu (từ 4 đến 10) đều nằm trong đoạn này, nên mẫu không có giá trị ngoại lệ.
6
Vậy mẫu số liệu có $\bar{x}=7,375$ , trung vị 7,5, hai mốt 7 và 8, $Q_1=6,5$ , $Q_3=8,5$ , độ lệch chuẩn xấp xỉ 1,73, và không có giá trị ngoại lệ — một mẫu điểm khá đồng đều, tập trung quanh mức khá giỏi.
Vậy mẫu số liệu có $\bar{x}=7,375$, trung vị 7,5, hai mốt 7 và 8, $Q_1=6,5$, $Q_3=8,5$, độ lệch chuẩn xấp xỉ 1,73, và không có giá trị ngoại lệ — một mẫu điểm khá đồng đều, tập trung quanh mức khá giỏi.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất trong bài tổng hợp là áp dụng nhầm công thức của số đặc trưng này cho số đặc trưng khác — chẳng hạn lấy $Q_3-Q_1$ rồi gọi nhầm là phương sai. Một sai lầm khác là quên rằng một mẫu có thể có nhiều mốt, không nhất thiết chỉ có một; bỏ sót mốt thứ hai là lỗi thường gặp khi hai giá trị có cùng tần số lớn nhất.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Bài ôn tập không có công thức mới — chỉ luyện lại đúng quy trình: xác định số đặc trưng đề yêu cầu, áp dụng đúng công thức, và đọc kết quả trong ngữ cảnh của đề (so sánh, kết luận, kiểm tra ngoại lệ).

Bài tiếp theo ôn tập theo cách tương tự, nhưng chuyển sang chủ đề xác suất cổ điển — chốt lại toàn bộ khóa học Thống kê và Xác suất của lớp 10.