Bài học

Ôn tập xác suất cổ điển

Mục tiêu bài học

Bài ôn tập này giúp em vận dụng đồng thời quy trình xác định không gian mẫu, đếm biến cố bằng liệt kê hoặc bằng tổ hợp/chỉnh hợp, và tính xác suất cổ điển trong các bài toán tổng hợp đúng cấu trúc đề kiểm tra.

Kiến thức nền cần nhớ

Toàn bộ nội dung ôn tập ở đây đã học tại hai bài trước của chương (same-grade bridge): không gian mẫu, biến cố, xác suất cổ điển $P(A)=n(A)/n(\Omega)$ , và các công thức đếm $A_n^k$ , $C_n^k$ .

Khởi động

Một đề kiểm tra về xác suất thường không nói rõ dùng tổ hợp hay liệt kê trực tiếp — em phải tự nhận ra cách đếm phù hợp từ ngữ cảnh bài toán. Bài ôn tập này luyện đúng kỹ năng đó qua nhiều bài toán khác nhau.

Vận dụng tổng hợp

Khi đứng trước một bài toán xác suất tổng hợp, quy trình luôn bắt đầu bằng ba câu hỏi: phép thử đang xét là gì (không gian mẫu $\Omega$ )? biến cố cần tính xác suất là gì (biến cố $A$ )? việc chọn có phân biệt thứ tự/vai trò hay không (quyết định dùng liệt kê, tổ hợp, hay chỉnh hợp)? Trả lời đúng ba câu hỏi này trước khi viết bất kỳ phép tính nào giúp tránh phần lớn sai sót.

Khi đứng trước một bài toán xác suất tổng hợp, quy trình luôn bắt đầu bằng ba câu hỏi: phép thử đang xét là gì (không gian mẫu $\Omega$)? biến cố cần tính xác suất là gì (biến cố $A$)? việc chọn có phân biệt thứ tự/vai trò hay không (quyết định dùng liệt kê, tổ hợp, hay chỉnh hợp)? Trả lời đúng ba câu hỏi này trước khi viết bất kỳ phép tính nào giúp tránh phần lớn sai sót.

Với các bài toán chọn nhiều loại đối tượng cùng lúc — ví dụ nhiều màu bi, nhiều môn học sinh giỏi — biến cố thường được chia thành các trường hợp con loại trừ nhau (ví dụ cùng màu đỏ hoặc cùng màu xanh hoặc cùng màu vàng), tính số cách của từng trường hợp rồi cộng lại — khác với việc nhân số cách của hai bước độc lập trong cùng một trường hợp. Phân biệt đúng lúc nào cộng, lúc nào nhân là kỹ năng cốt lõi của cả chương.

Công thức biến cố đối $P(\overline{A})=1-P(A)$ học ở Chương 4 cũng là một công cụ kiểm tra hữu ích trong bài tổng hợp: sau khi tính xác suất của một biến cố bằng cách đếm trực tiếp hoặc chia trường hợp, em có thể tính xác suất của biến cố đối theo một cách độc lập rồi kiểm tra tổng hai xác suất có bằng 1 hay không. Nếu tổng khác 1, chắc chắn có một phép đếm bị sai ở đâu đó — đây là cách tự kiểm tra nhanh mà không cần chấm điểm ngoài.

Cần phân biệt rõ hai khái niệm dễ nhầm khi bài toán có nhiều trường hợp con: cùng đỏ và cùng xanh là hai biến cố xung khắc với nhau — không thể đồng thời xảy ra trong cùng một lần chọn — nhưng chúng không phải là biến cố đối của nhau. Biến cố đối của cùng đỏ là không lấy được hai bi cùng đỏ, một tập hợp lớn hơn nhiều, gồm cả trường hợp cùng xanh, cùng vàng, lẫn khác màu. Biến cố đối luôn đi theo đúng một cặp với một biến cố ban đầu và lấp đầy toàn bộ phần còn lại của không gian mẫu; xung khắc chỉ đòi hỏi các biến cố không chồng lấn nhau, và có thể có nhiều hơn hai biến cố cùng xung khắc với nhau như ba trường hợp màu ở ví dụ trên.

Ví dụ

Xác suất chọn được hai bạn cùng giới tính

1
Một nhóm có 5 học sinh: 3 nam và 2 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh. Tính xác suất để hai học sinh được chọn cùng giới tính.
2
Chọn 2 trong 5 học sinh, không phân biệt thứ tự: $n(\Omega)=C_5^2=10$ .
Chọn 2 trong 5 học sinh, không phân biệt thứ tự: $n(\Omega)=C_5^2=10$.
3
Biến cố cùng giới tính gồm hai trường hợp loại trừ nhau: cả hai đều nam, hoặc cả hai đều nữ.
4
Số cách chọn 2 nam trong 3 nam: $C_3^2=3$ . Số cách chọn 2 nữ trong 2 nữ: $C_2^2=1$ . Vì hai trường hợp loại trừ nhau, $n(A)=C_3^2+C_2^2=3+1=4$ .
Số cách chọn 2 nam trong 3 nam: $C_3^2=3$. Số cách chọn 2 nữ trong 2 nữ: $C_2^2=1$. Vì hai trường hợp loại trừ nhau, $n(A)=C_3^2+C_2^2=3+1=4$.
5
$P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}$ .
$P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}$.
6
Vậy xác suất để hai học sinh được chọn cùng giới tính là $\dfrac{2}{5}=0,4$ . Chú ý phép cộng $C_3^2+C_2^2$ ở đây khác với phép nhân đã dùng ở bài trước — vì đây là hai trường hợp loại trừ nhau của cùng một biến cố, không phải hai bước độc lập ghép lại.
Vậy xác suất để hai học sinh được chọn cùng giới tính là $\dfrac{2}{5}=0,4$. Chú ý phép cộng $C_3^2+C_2^2$ ở đây khác với phép nhân đã dùng ở bài trước — vì đây là hai trường hợp loại trừ nhau của cùng một biến cố, không phải hai bước độc lập ghép lại.

Ví dụ

Bài toán tổng hợp: ba nhóm màu và xác suất cùng màu

1
Một hộp có 4 bi đỏ, 5 bi xanh và 3 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 2 bi. Tính xác suất để hai bi lấy được cùng màu.
2
Tổng số bi là $4+5+3=12$ . Chọn 2 bi trong 12 bi: $n(\Omega)=C_{12}^2=66$ .
Tổng số bi là $4+5+3=12$. Chọn 2 bi trong 12 bi: $n(\Omega)=C_{12}^2=66$.
3
Cùng đỏ: $C_4^2=6$ . Cùng xanh: $C_5^2=10$ . Cùng vàng: $C_3^2=3$ .
Cùng đỏ: $C_4^2=6$. Cùng xanh: $C_5^2=10$. Cùng vàng: $C_3^2=3$.
4
Ba trường hợp trên loại trừ nhau (không thể vừa cùng đỏ vừa cùng xanh), nên $n(A)=6+10+3=19$ .
Ba trường hợp trên loại trừ nhau (không thể vừa cùng đỏ vừa cùng xanh), nên $n(A)=6+10+3=19$.
5
$P(A)=\dfrac{19}{66}\approx0,288$ .
$P(A)=\dfrac{19}{66}\approx0,288$.
6
Vậy xác suất lấy được hai bi cùng màu xấp xỉ 28,8%. Bài toán này tổng hợp cả kỹ năng chia trường hợp lẫn quy trình ba bước tính xác suất cổ điển đã học ở hai bài trước.

Ví dụ

Dùng biến cố đối để kiểm tra lại kết quả

1
Với hộp 12 bi (4 đỏ, 5 xanh, 3 vàng) ở ví dụ trên, tính xác suất để hai bi lấy được khác màu, rồi đối chiếu với xác suất cùng màu đã tính.
2
Biến cố hai bi khác màu chính là biến cố đối của biến cố hai bi cùng màu đã tính ở ví dụ trước.
3
$P(\text{khác màu})=1-P(\text{cùng màu})=1-\dfrac{19}{66}=\dfrac{47}{66}\approx0,712$ .
$P(\text{khác màu})=1-P(\text{cùng màu})=1-\dfrac{19}{66}=\dfrac{47}{66}\approx0,712$.
4
Đếm trực tiếp: số cách lấy 2 bi khác màu $=C_4^1C_5^1+C_4^1C_3^1+C_5^1C_3^1=20+12+15=47$ , khớp đúng với $n(\overline{A})=47$ vừa tính bằng biến cố đối.
Đếm trực tiếp: số cách lấy 2 bi khác màu $=C_4^1C_5^1+C_4^1C_3^1+C_5^1C_3^1=20+12+15=47$, khớp đúng với $n(\overline{A})=47$ vừa tính bằng biến cố đối.
5
Hai cách tính cho cùng kết quả $47/66$ , xác nhận công thức biến cố đối $P(\overline{A})=1-P(A)$ đúng cả khi biến cố gồm nhiều trường hợp con — và cho thấy dùng biến cố đối thường nhanh hơn hẳn so với đếm trực tiếp từng cặp màu khác nhau.
Hai cách tính cho cùng kết quả $47/66$, xác nhận công thức biến cố đối $P(\overline{A})=1-P(A)$ đúng cả khi biến cố gồm nhiều trường hợp con — và cho thấy dùng biến cố đối thường nhanh hơn hẳn so với đếm trực tiếp từng cặp màu khác nhau.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất trong bài tổng hợp nhiều màu/nhiều nhóm là nhân các trường hợp loại trừ nhau thay vì cộng — chẳng hạn nhân $C_4^2\times C_5^2\times C_3^2$ thay vì cộng lại. Quy tắc là: các bước của cùng một cách chọn (ví dụ chọn 2 nam và 1 nữ trong cùng một lần chọn) thì nhân; các trường hợp khác nhau của cùng một biến cố (chọn 2 đỏ hoặc 2 xanh hoặc 2 vàng) thì cộng. Nhầm lẫn cộng/nhân là lỗi nặng nhất trong toàn bộ chương xác suất.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Quy trình giải một bài xác suất tổng hợp: xác định phép thử và biến cố, chọn cách đếm phù hợp (liệt kê, tổ hợp, hay chỉnh hợp), nhân các bước độc lập của cùng một cách chọn, cộng các trường hợp loại trừ nhau của cùng một biến cố, rồi tính $P(A)=n(A)/n(\Omega)$ .

Đến đây, khóa học Thống kê và Xác suất lớp 10 đã hoàn tất: từ số trung bình, trung vị, mốt, đến độ phân tán, biểu đồ hộp, và xác suất cổ điển kết hợp với các công thức đếm. Những công cụ này sẽ còn được dùng lại trong các khóa Toán 10 khác và trong đề kiểm tra tổng hợp cuối kỳ.