Bài học

Tổng và hiệu hai vectơ: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em dựng và tính đúng tổng của hai vectơ bằng quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành, vận dụng các tính chất của phép cộng vectơ, và tính được hiệu của hai vectơ trong các bài toán hình học quen thuộc.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước cho em cách nhận diện khi nào hai vectơ bằng nhau, đối nhau, cùng phương (same-grade bridge). Bài này hỏi tiếp: nếu "đi" theo vectơ này rồi "đi" tiếp theo vectơ kia, kết quả tổng hợp là vectơ nào? Em cũng cần nhớ tính chất cạnh đối song song và bằng nhau của hình bình hành đã ôn ở bài trước.

Khởi động

Một người đi bộ từ nhà đến trường theo vectơ dịch chuyển $\overrightarrow{u}$ , rồi từ trường đến sân vận động theo vectơ $\overrightarrow{v}$ . Nếu chỉ quan tâm điểm xuất phát và điểm đến cuối cùng, hai chặng đi đó có thể thay bằng một vectơ duy nhất không? Vectơ nào đóng vai trò "đi thẳng từ nhà đến sân vận động"?

Một người đi bộ từ nhà đến trường theo vectơ dịch chuyển $\overrightarrow{u}$, rồi từ trường đến sân vận động theo vectơ $\overrightarrow{v}$. Nếu chỉ quan tâm điểm xuất phát và điểm đến cuối cùng, hai chặng đi đó có thể thay bằng một vectơ duy nhất không? Vectơ nào đóng vai trò "đi thẳng từ nhà đến sân vận động"?

Kiến thức trọng tâm

Tổng của hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là một vectơ, kí hiệu $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ , được dựng theo quy tắc ba điểm: với ba điểm $A, B, C$ bất kì, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ . Nói cách khác, muốn cộng hai vectơ, em chọn điểm cuối của vectơ thứ nhất trùng với điểm đầu của vectơ thứ hai; vectơ tổng là vectơ nối điểm đầu của vectơ thứ nhất với điểm cuối của vectơ thứ hai. Quy tắc này áp dụng được cho $A, B, C$ ở bất kì vị trí nào, kể cả khi ba điểm thẳng hàng.

Tổng của hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là một vectơ, kí hiệu $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$, được dựng theo quy tắc ba điểm: với ba điểm $A, B, C$ bất kì, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$. Nói cách khác, muốn cộng hai vectơ, em chọn điểm cuối của vectơ thứ nhất trùng với điểm đầu của vectơ thứ hai; vectơ tổng là vectơ nối điểm đầu của vectơ thứ nhất với điểm cuối của vectơ thứ hai. Quy tắc này áp dụng được cho $A, B, C$ ở bất kì vị trí nào, kể cả khi ba điểm thẳng hàng.

Lời giải có hình

Quy tắc ba điểm dựng tổng hai vectơ

Bước 1

Cho $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ — điểm cuối của vectơ thứ nhất trùng điểm đầu của vectơ thứ hai.Cho $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ — điểm cuối của vectơ thứ nhất trùng điểm đầu của vectơ thứ hai.

Khi hai vectơ có chung điểm đầu, ta dùng quy tắc hình bình hành: nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ , với $AC$ là đường chéo xuất phát từ đỉnh chung $A$ . Quy tắc này thực chất là quy tắc ba điểm nhìn theo cách khác: vì $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ (cạnh đối song song, bằng nhau của hình bình hành), nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ — vẫn là quy tắc ba điểm, chỉ khác ở chỗ điểm trung gian $D$ được "dịch" tới $B$ trước khi cộng.

Khi hai vectơ có chung điểm đầu, ta dùng quy tắc hình bình hành: nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$, với $AC$ là đường chéo xuất phát từ đỉnh chung $A$. Quy tắc này thực chất là quy tắc ba điểm nhìn theo cách khác: vì $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ (cạnh đối song song, bằng nhau của hình bình hành), nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ — vẫn là quy tắc ba điểm, chỉ khác ở chỗ điểm trung gian $D$ được "dịch" tới $B$ trước khi cộng.

Lời giải có hình

Quy tắc hình bình hành: đường chéo bằng tổng hai cạnh chung đỉnh

Bước 1

Cho hình bình hành $ABCD$ , xét hai vectơ chung đỉnh $A$ : $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ .Cho hình bình hành $ABCD$, xét hai vectơ chung đỉnh $A$: $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$.

Phép cộng vectơ có đầy đủ các tính chất quen thuộc của phép cộng số: giao hoán ( $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}$ ), kết hợp ( $(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w})$ ), và cộng với vectơ-không thì giữ nguyên ( $\overrightarrow{u} + \vec{0} = \overrightarrow{u}$ ). Tính giao hoán chính là lí do quy tắc hình bình hành "đối xứng": cộng $\overrightarrow{AB}$ trước hay $\overrightarrow{AD}$ trước đều ra cùng một đường chéo $AC$ .

Phép cộng vectơ có đầy đủ các tính chất quen thuộc của phép cộng số: giao hoán ($\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}$), kết hợp ($(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w})$), và cộng với vectơ-không thì giữ nguyên ($\overrightarrow{u} + \vec{0} = \overrightarrow{u}$). Tính giao hoán chính là lí do quy tắc hình bình hành "đối xứng": cộng $\overrightarrow{AB}$ trước hay $\overrightarrow{AD}$ trước đều ra cùng một đường chéo $AC$.

Hiệu của hai vectơ $\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$ được định nghĩa là $\overrightarrow{u} + (-\overrightarrow{v})$ , tức cộng $\overrightarrow{u}$ với vectơ đối của $\overrightarrow{v}$ . Từ đó suy ra một quy tắc trừ rất hay dùng: với điểm gốc $O$ bất kì, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ — hiệu của "vectơ đến điểm cuối" trừ "vectơ đến điểm đầu", cùng gốc $O$ . Đây là công cụ em sẽ dùng thường xuyên để biến đổi các đẳng thức vectơ phức tạp.

Hiệu của hai vectơ $\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$ được định nghĩa là $\overrightarrow{u} + (-\overrightarrow{v})$, tức cộng $\overrightarrow{u}$ với vectơ đối của $\overrightarrow{v}$. Từ đó suy ra một quy tắc trừ rất hay dùng: với điểm gốc $O$ bất kì, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ — hiệu của "vectơ đến điểm cuối" trừ "vectơ đến điểm đầu", cùng gốc $O$. Đây là công cụ em sẽ dùng thường xuyên để biến đổi các đẳng thức vectơ phức tạp.

Vì sao hai quy tắc lại quan trọng đến vậy? Vì hầu hết bài toán chứng minh đẳng thức vectơ không cho sẵn dạng "cộng được ngay" — đề bài thường cho các vectơ rời rạc như $\overrightarrow{AM}$ , $\overrightarrow{BN}$ với $M, N$ là các điểm đặc biệt (trung điểm, trọng tâm, giao điểm). Việc đầu tiên khi gặp một đẳng thức vectơ lạ là chèn thêm điểm trung gian rồi áp dụng quy tắc ba điểm để tách vectơ phức tạp thành tổng của các vectơ đơn giản hơn, quen thuộc hơn. Đây chính là kĩ năng nền của toàn bộ chương vectơ, sẽ được dùng lại liên tục ở các bài sau.

Vì sao hai quy tắc lại quan trọng đến vậy? Vì hầu hết bài toán chứng minh đẳng thức vectơ không cho sẵn dạng "cộng được ngay" — đề bài thường cho các vectơ rời rạc như $\overrightarrow{AM}$, $\overrightarrow{BN}$ với $M, N$ là các điểm đặc biệt (trung điểm, trọng tâm, giao điểm). Việc đầu tiên khi gặp một đẳng thức vectơ lạ là chèn thêm điểm trung gian rồi áp dụng quy tắc ba điểm để tách vectơ phức tạp thành tổng của các vectơ đơn giản hơn, quen thuộc hơn. Đây chính là kĩ năng nền của toàn bộ chương vectơ, sẽ được dùng lại liên tục ở các bài sau.

Ví dụ

Áp dụng quy tắc ba điểm với các điểm cho trước

1
Cho ba điểm $A, B, C$ bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ và tính $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}$ .
Cho ba điểm $A, B, C$ bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ và tính $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}$.
2
Ta có theo quy tắc ba điểm, với điểm trung gian $B$ : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ . (1)
Ta có theo quy tắc ba điểm, với điểm trung gian $B$: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$. (1)
3
Từ (1), suy ra $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA}$ .
Từ (1), suy ra $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA}$.
4
Áp dụng quy tắc ba điểm một lần nữa với điểm trung gian $C$ : $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}$ .
Áp dụng quy tắc ba điểm một lần nữa với điểm trung gian $C$: $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}$.
5
Vậy $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ , và tổng vectơ khép kín quanh tam giác $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \vec{0}$ — kết quả này đúng với MỌI tam giác, không phụ thuộc hình dạng hay kích thước.
Vậy $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$, và tổng vectơ khép kín quanh tam giác $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \vec{0}$ — kết quả này đúng với MỌI tam giác, không phụ thuộc hình dạng hay kích thước.

Ví dụ

Tính tổng hai vectơ chung đỉnh bằng quy tắc hình bình hành

1
Cho hình bình hành $ABCD$ có $O$ là giao điểm hai đường chéo. Chứng minh $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ , từ đó tính $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AO}$ theo $\overrightarrow{AO}$ .
Cho hình bình hành $ABCD$ có $O$ là giao điểm hai đường chéo. Chứng minh $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$, từ đó tính $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AO}$ theo $\overrightarrow{AO}$.
2
Theo quy tắc hình bình hành, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ , với $AC$ là đường chéo xuất phát từ $A$ .
Theo quy tắc hình bình hành, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$, với $AC$ là đường chéo xuất phát từ $A$.
3
Ta có $O$ là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành nên $O$ là trung điểm $AC$ , tức $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AO}$ .
Ta có $O$ là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành nên $O$ là trung điểm $AC$, tức $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AO}$.
4
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AO} = 2\overrightarrow{AO} - \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AO}$ .
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AO} = 2\overrightarrow{AO} - \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AO}$.
5
Vậy $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AO}$ — kết quả không phụ thuộc hình bình hành cụ thể nào, chỉ cần $O$ đúng là giao điểm hai đường chéo.
Vậy $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AO}$ — kết quả không phụ thuộc hình bình hành cụ thể nào, chỉ cần $O$ đúng là giao điểm hai đường chéo.

Ví dụ

Dùng quy tắc trừ để tính vectơ nối hai điểm cho trước

1
Cho tam giác $ABC$ . Gọi $O$ là một điểm bất kì không thuộc tam giác. Biểu diễn $\overrightarrow{AB}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ .
Cho tam giác $ABC$. Gọi $O$ là một điểm bất kì không thuộc tam giác. Biểu diễn $\overrightarrow{AB}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$.
2
Ta có $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ (quy tắc trừ với gốc chung $O$ ).
Ta có $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ (quy tắc trừ với gốc chung $O$).
3
Thật vậy, $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}$ (quy tắc ba điểm với điểm trung gian $A$ ), suy ra $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ — khớp với kết quả trên.
Thật vậy, $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}$ (quy tắc ba điểm với điểm trung gian $A$), suy ra $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ — khớp với kết quả trên.
4
Vậy với gốc $O$ bất kì, vectơ nối từ điểm đầu đến điểm cuối luôn bằng hiệu "vectơ đến điểm cuối" trừ "vectơ đến điểm đầu": $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ . Đây là công thức em sẽ dùng lại nhiều lần khi phân tích vectơ theo cơ sở ở bài sau.
Vậy với gốc $O$ bất kì, vectơ nối từ điểm đầu đến điểm cuối luôn bằng hiệu "vectơ đến điểm cuối" trừ "vectơ đến điểm đầu": $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$. Đây là công thức em sẽ dùng lại nhiều lần khi phân tích vectơ theo cơ sở ở bài sau.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất: áp dụng quy tắc ba điểm khi điểm cuối của vectơ thứ nhất KHÔNG trùng điểm đầu của vectơ thứ hai — ví dụ viết $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$ là sai nếu $B \ne C$ . Một sai lầm khác: nhầm quy tắc hình bình hành áp dụng được cho hai vectơ bất kì — quy tắc này chỉ dùng khi hai vectơ CHUNG điểm đầu (khi đó dựng thêm đỉnh thứ tư để có hình bình hành).

Sai lầm phổ biến nhất: áp dụng quy tắc ba điểm khi điểm cuối của vectơ thứ nhất KHÔNG trùng điểm đầu của vectơ thứ hai — ví dụ viết $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$ là sai nếu $B \ne C$. Một sai lầm khác: nhầm quy tắc hình bình hành áp dụng được cho hai vectơ bất kì — quy tắc này chỉ dùng khi hai vectơ CHUNG điểm đầu (khi đó dựng thêm đỉnh thứ tư để có hình bình hành).

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ . Quy tắc hình bình hành (hai vectơ chung điểm đầu): $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ với $ABCD$ là hình bình hành. Quy tắc trừ: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ với $O$ bất kì. Phép cộng vectơ giao hoán và kết hợp như phép cộng số.

Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$. Quy tắc hình bình hành (hai vectơ chung điểm đầu): $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ với $ABCD$ là hình bình hành. Quy tắc trừ: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ với $O$ bất kì. Phép cộng vectơ giao hoán và kết hợp như phép cộng số.

Bài tiếp theo mở rộng phép cộng: thay vì cộng một vectơ với chính nó nhiều lần, ta định nghĩa tích của một số với một vectơ — công cụ trực tiếp dẫn tới điều kiện vectơ của trung điểm và trọng tâm tam giác.