Bài học

Ứng dụng tích vô hướng: điều kiện vuông góc

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em dùng tích vô hướng để chứng minh một tam giác vuông tại một đỉnh cho trước, và chứng minh đường trung tuyến ứng với cạnh đáy của một tam giác cân vuông góc với cạnh đáy đó — cả hai đều bằng phép biến đổi vectơ thuần tuý, không cần đo góc trực tiếp trên hình.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước cho em công thức $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(\vec{a},\vec{b})$ và nhận xét: tích vô hướng bằng 0 khi và chỉ khi góc giữa hai vectơ bằng $90°$ (với cả hai vectơ khác $\vec{0}$ ) — same-grade bridge. Bài này khai thác đúng nhận xét đó để chứng minh vuông góc mà không cần dựng thước đo góc.

Bài trước cho em công thức $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(\vec{a},\vec{b})$ và nhận xét: tích vô hướng bằng 0 khi và chỉ khi góc giữa hai vectơ bằng $90°$ (với cả hai vectơ khác $\vec{0}$) — same-grade bridge. Bài này khai thác đúng nhận xét đó để chứng minh vuông góc mà không cần dựng thước đo góc.

Khởi động

Một người thợ mộc muốn kiểm tra một góc bàn có thực sự vuông hay không, nhưng chỉ có một sợi dây đo độ dài, không có thước đo góc. Liệu có cách nào dùng độ dài ba cạnh để khẳng định chắc chắn góc đó vuông, mà không cần "nhìn bằng mắt"?

Kiến thức trọng tâm

Điều kiện vuông góc bằng vectơ: hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$ . Đây là hệ quả trực tiếp của công thức tích vô hướng: vì $|\vec{a}|, |\vec{b}| \ne 0$ , tích $|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ chỉ bằng 0 khi $\cos\theta = 0$ , tức $\theta = 90°$ .

Điều kiện vuông góc bằng vectơ: hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$. Đây là hệ quả trực tiếp của công thức tích vô hướng: vì $|\vec{a}|, |\vec{b}| \ne 0$, tích $|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ chỉ bằng 0 khi $\cos\theta = 0$, tức $\theta = 90°$.

Muốn chứng minh tam giác $ABC$ vuông tại $A$ mà không dùng toạ độ, ta khai triển bình phương vô hướng của cạnh đối diện: viết $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$ (quy tắc trừ), rồi tính $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BC} = (\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\cdot(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})$ . Khai triển theo tính chất phân phối: $BC^2 = AC^2 - 2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB} + AB^2$ . Nếu đề cho sẵn ba độ dài $AB, AC, BC$ thoả $BC^2 = AB^2 + AC^2$ , thay vào hệ thức trên sẽ suy ra ngay $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB} = 0$ — tức góc tại $A$ vuông, không cần bất kì hệ trục toạ độ nào.

Muốn chứng minh tam giác $ABC$ vuông tại $A$ mà không dùng toạ độ, ta khai triển bình phương vô hướng của cạnh đối diện: viết $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$ (quy tắc trừ), rồi tính $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BC} = (\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\cdot(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})$. Khai triển theo tính chất phân phối: $BC^2 = AC^2 - 2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB} + AB^2$. Nếu đề cho sẵn ba độ dài $AB, AC, BC$ thoả $BC^2 = AB^2 + AC^2$, thay vào hệ thức trên sẽ suy ra ngay $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB} = 0$ — tức góc tại $A$ vuông, không cần bất kì hệ trục toạ độ nào.

Lời giải có hình

Chứng minh tam giác vuông tại A từ ba độ dài 3, 4, 5

Bước 1

Cho tam giác $ABC$ với $AB=3$ , $AC=4$ , $BC=5$ .Cho tam giác $ABC$ với $AB=3$, $AC=4$, $BC=5$.

Cách làm trên không hề dùng đến toạ độ Oxy hay công thức toạ độ của tích vô hướng (nội dung đó thuộc một chương khác) — chỉ dùng đúng công cụ đã học: quy tắc trừ và tính chất phân phối của tích vô hướng. Đây là điểm mạnh của phương pháp vectơ: áp dụng được ngay cả khi đề bài không gắn hệ trục toạ độ nào.

Ví dụ

Chứng minh đường trung tuyến của tam giác cân vuông góc với cạnh đáy

1
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ ( $AB = AC$ ). Gọi $M$ là trung điểm $BC$ . Chứng minh $AM \perp BC$ .
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ ($AB = AC$). Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh $AM \perp BC$.
2
Vì $M$ là trung điểm $BC$ , với gốc $A$ : $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ (công thức trung điểm).
Vì $M$ là trung điểm $BC$, với gốc $A$: $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ (công thức trung điểm).
3
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$ (quy tắc trừ).
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$ (quy tắc trừ).
4
$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}) = \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}\right) = \dfrac{1}{2}\left(AC^2 - AB^2\right)$ , sau khi rút gọn hai số hạng chéo triệt tiêu nhau nhờ tính giao hoán (giống hằng đẳng thức đã gặp ở bài trước).
$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}) = \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}\right) = \dfrac{1}{2}\left(AC^2 - AB^2\right)$, sau khi rút gọn hai số hạng chéo triệt tiêu nhau nhờ tính giao hoán (giống hằng đẳng thức đã gặp ở bài trước).
5
Vì tam giác cân tại $A$ nên $AB = AC$ , tức $AC^2 - AB^2 = 0$ . Suy ra $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC} = 0$ . Vậy $AM \perp BC$ .
Vì tam giác cân tại $A$ nên $AB = AC$, tức $AC^2 - AB^2 = 0$. Suy ra $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC} = 0$. Vậy $AM \perp BC$.

Lời giải có hình

AM vuông góc BC trong tam giác cân tại A

Bước 1

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ : $AB = AC$ .Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$: $AB = AC$.

Kết quả $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ vừa dùng thực chất là một hệ thức tổng quát đúng cho MỌI tam giác, không riêng gì tam giác vuông — chỉ là ở tam giác vuông, số hạng chứa tích vô hướng triệt tiêu nên hệ thức thu gọn về đúng định lí Pythagoras quen thuộc. Nhìn theo hướng này, định lí Pythagoras chỉ là một trường hợp riêng của một hệ thức vectơ rộng hơn — phương pháp vừa học giải thích được vì sao, chứ không dừng lại ở việc xác nhận một tam giác cụ thể có vuông hay không.

Ví dụ

Ứng dụng vào hình bình hành ABCD: khi nào hai đường chéo vuông góc

1
Cho hình bình hành $ABCD$ . Chứng minh rằng hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $AB = AD$ (tức $ABCD$ là hình thoi).
Cho hình bình hành $ABCD$. Chứng minh rằng hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $AB = AD$ (tức $ABCD$ là hình thoi).
2
Theo quy tắc hình bình hành, $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ . Mặt khác, $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}$ (quy tắc trừ, vì $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$ theo gốc chung $A$ ).
Theo quy tắc hình bình hành, $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$. Mặt khác, $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}$ (quy tắc trừ, vì $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$ theo gốc chung $A$).
3
$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD} = (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\cdot(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB} = AD^2 - AB^2$ , sau khi hai số hạng chéo triệt tiêu nhờ tính giao hoán — đúng dạng hằng đẳng thức đã quen ở bài trước.
$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD} = (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\cdot(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB} = AD^2 - AB^2$, sau khi hai số hạng chéo triệt tiêu nhờ tính giao hoán — đúng dạng hằng đẳng thức đã quen ở bài trước.
4
$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD} = 0 \iff AD^2 - AB^2 = 0 \iff AD = AB$ (vì độ dài không âm).
$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD} = 0 \iff AD^2 - AB^2 = 0 \iff AD = AB$ (vì độ dài không âm).
5
Vậy $AC \perp BD \iff AB = AD$ . Vì hình bình hành đã có sẵn $AB=DC$ và $AD=BC$ , điều kiện $AB=AD$ làm cho cả bốn cạnh bằng nhau — đúng là định nghĩa hình thoi. Hai đường chéo của một hình bình hành vuông góc khi và chỉ khi nó là hình thoi.
Vậy $AC \perp BD \iff AB = AD$. Vì hình bình hành đã có sẵn $AB=DC$ và $AD=BC$, điều kiện $AB=AD$ làm cho cả bốn cạnh bằng nhau — đúng là định nghĩa hình thoi. Hai đường chéo của một hình bình hành vuông góc khi và chỉ khi nó là hình thoi.

Ví dụ

Liên hệ với đường trung trực: khi nào một điểm cách đều hai đầu mút

1
Cho đoạn thẳng $AB$ , $I$ là trung điểm $AB$ , $M$ là một điểm bất kì. Chứng minh $MA = MB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{IM} \perp \overrightarrow{AB}$ (tức $M$ nằm trên đường trung trực của $AB$ ).
Cho đoạn thẳng $AB$, $I$ là trung điểm $AB$, $M$ là một điểm bất kì. Chứng minh $MA = MB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{IM} \perp \overrightarrow{AB}$ (tức $M$ nằm trên đường trung trực của $AB$).
2
Vì $I$ là trung điểm $AB$ , viết $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IM}$ và $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IM} = -\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IM}$ (vì $\overrightarrow{IB}=-\overrightarrow{IA}$ , tính chất trung điểm).
Vì $I$ là trung điểm $AB$, viết $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IM}$ và $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IM} = -\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IM}$ (vì $\overrightarrow{IB}=-\overrightarrow{IA}$, tính chất trung điểm).
3
$MA^2 - MB^2 = \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IM})\cdot(\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IM}) - (-\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IM})\cdot(-\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IM}) = -4\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IM}$ , sau khi khai triển và rút gọn các số hạng giống nhau.
$MA^2 - MB^2 = \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IM})\cdot(\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IM}) - (-\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IM})\cdot(-\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IM}) = -4\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IM}$, sau khi khai triển và rút gọn các số hạng giống nhau.
4
Vậy $MA = MB \iff MA^2-MB^2=0 \iff \overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IM}=0 \iff \overrightarrow{IM}\perp\overrightarrow{IA}$ ; mà $\overrightarrow{IA}$ cùng giá với $\overrightarrow{AB}$ , nên điều này tương đương $\overrightarrow{IM}\perp\overrightarrow{AB}$ — đúng là điều kiện để $M$ nằm trên đường trung trực của $AB$ .
Vậy $MA = MB \iff MA^2-MB^2=0 \iff \overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IM}=0 \iff \overrightarrow{IM}\perp\overrightarrow{IA}$; mà $\overrightarrow{IA}$ cùng giá với $\overrightarrow{AB}$, nên điều này tương đương $\overrightarrow{IM}\perp\overrightarrow{AB}$ — đúng là điều kiện để $M$ nằm trên đường trung trực của $AB$.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất: khai triển $(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\cdot(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})$ nhưng quên dấu trừ ở số hạng giữa, viết nhầm thành $AC^2 + 2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB} + AB^2$ — sai dấu này làm sai luôn kết luận vuông góc. Một sai lầm khác: kết luận vuông góc chỉ từ hình vẽ "trông có vẻ vuông" mà không thực sự tính tích vô hướng bằng 0 — với đề thi, phải trình bày đủ bước khai triển và thay số.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Điều kiện vuông góc bằng vectơ: $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ (với $\vec{a},\vec{b}$ khác $\vec{0}$ ). Muốn chứng minh vuông góc không toạ độ: viết vectơ cần kiểm tra qua các cạnh đã biết (quy tắc trừ, công thức trung điểm), khai triển tích vô hướng bằng tính chất phân phối, rồi thay giả thiết bài toán để kết luận.

Điều kiện vuông góc bằng vectơ: $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ (với $\vec{a},\vec{b}$ khác $\vec{0}$). Muốn chứng minh vuông góc không toạ độ: viết vectơ cần kiểm tra qua các cạnh đã biết (quy tắc trừ, công thức trung điểm), khai triển tích vô hướng bằng tính chất phân phối, rồi thay giả thiết bài toán để kết luận.

Ba ví dụ của bài học — tam giác vuông, trung tuyến tam giác cân, hình thoi — đều dùng chung một khuôn: viết vectơ nghi ngờ vuông góc qua các cạnh đã biết, khai triển tích vô hướng bằng tính chất phân phối, rồi đối chiếu với giả thiết (độ dài cho trước, tính cân, hay bốn cạnh bằng nhau). Khuôn mẫu này áp dụng được cho rất nhiều bài toán chứng minh vuông góc khác trong đề thi, miễn là em nhận ra đúng cặp vectơ cần kiểm tra.

Chương Vectơ đã trang bị cho em đủ công cụ: cộng, trừ, nhân với số, phân tích theo cơ sở, và tích vô hướng. Bài ôn tập cuối chương sẽ kết hợp nhiều công cụ này trong cùng một bài toán, đúng như đề thi thường yêu cầu.