Bài học

Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Vì sao cần đo tốc độ thay đổi tại đúng một thời điểm

Trong bài này

Em sẽ học cách định nghĩa đạo hàm của một hàm số tại một điểm bằng giới hạn của tỉ số sai phân, rồi dùng chính định nghĩa đó — chứ chưa phải công thức có sẵn — để tính đạo hàm cho vài hàm cụ thể.

Bài học dùng lại khái niệm giới hạn hàm số mà em đã học ở phần Giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục (same-grade bridge). Nếu $\lim_{x \to x_0} g(x) = L$ thì khi $x$ tiến gần $x_0$ , giá trị $g(x)$ tiến gần $L$ . Đạo hàm tại một điểm chính là một giới hạn dạng đó, áp dụng cho một tỉ số đặc biệt gọi là tỉ số sai phân — em sẽ thấy ngay dưới đây.

Bài học dùng lại khái niệm giới hạn hàm số mà em đã học ở phần Giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục (same-grade bridge). Nếu $\lim_{x \to x_0} g(x) = L$ thì khi $x$ tiến gần $x_0$, giá trị $g(x)$ tiến gần $L$. Đạo hàm tại một điểm chính là một giới hạn dạng đó, áp dụng cho một tỉ số đặc biệt gọi là tỉ số sai phân — em sẽ thấy ngay dưới đây.

Đồng hồ tốc độ trên một chiếc ô tô lúc 10 giờ đúng hiện số 62 km/h. Con số này không phải tốc độ trung bình của cả chuyến đi, vì quãng đường cả chuyến chia cho cả thời gian đi ra một số khác. Nó cũng không thể là tốc độ trong một khoảng thời gian dài, vì xe có lúc nhanh lúc chậm. Vậy 62 km/h đo cái gì, tại đúng một khoảnh khắc, khi quãng đường đi trong khoảnh khắc đó gần như bằng không? Câu trả lời cần một phép toán mới: giới hạn của một tỉ số khi khoảng thời gian co lại về 0.

Tỉ số sai phân và định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên một khoảng chứa điểm $x_0$ . Với số gia $\Delta x \ne 0$ đủ nhỏ, đại lượng

$\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

gọi là tỉ số sai phân của $f$ tại $x_0$ ứng với số gia $\Delta x$ . Đây là tốc độ thay đổi trung bình của $f$ trên đoạn từ $x_0$ đến $x_0+\Delta x$ — giống như tốc độ trung bình của cả chuyến xe, chỉ khác là đoạn đường ngắn hơn.

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên một khoảng chứa điểm $x_0$. Với số gia $\Delta x \ne 0$ đủ nhỏ, đại lượng $$\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$ gọi là tỉ số sai phân của $f$ tại $x_0$ ứng với số gia $\Delta x$. Đây là tốc độ thay đổi *trung bình* của $f$ trên đoạn từ $x_0$ đến $x_0+\Delta x$ — giống như tốc độ trung bình của cả chuyến xe, chỉ khác là đoạn đường ngắn hơn.

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

thì ta nói $f$ có đạo hàm tại $x_0$ , và gọi $f'(x_0)$ là đạo hàm của $f$ tại $x_0$ . Cách viết tương đương thường gặp là đặt $x=x_0+\Delta x$ : khi $\Delta x \to 0$ thì $x \to x_0$ , nên

$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$

Hai cách viết chỉ khác tên gọi biến, mô tả đúng một giới hạn.

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$ thì ta nói $f$ có đạo hàm tại $x_0$, và gọi $f'(x_0)$ là đạo hàm của $f$ tại $x_0$. Cách viết tương đương thường gặp là đặt $x=x_0+\Delta x$: khi $\Delta x \to 0$ thì $x \to x_0$, nên $$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$ Hai cách viết chỉ khác tên gọi biến, mô tả đúng một giới hạn.

Từ cát tuyến đến tiếp tuyến — nhìn giới hạn bằng hình vẽ

Trước khi tính bằng số, hãy nhìn tỉ số sai phân bằng hình học. Với hàm $f(x)=x^2$ và điểm $x_0=1$ , mỗi số gia $h$ ứng với một đường thẳng nối hai điểm $A(1;1)$ và $(1+h;\,(1+h)^2)$ trên parabol — đường thẳng đó gọi là cát tuyến. Ba hình dưới đây cho $h$ nhỏ dần: $h=1$ , rồi $h=0,1$ , rồi $h \to 0$ .

Trước khi tính bằng số, hãy nhìn tỉ số sai phân bằng hình học. Với hàm $f(x)=x^2$ và điểm $x_0=1$, mỗi số gia $h$ ứng với một đường thẳng nối hai điểm $A(1;1)$ và $(1+h;\,(1+h)^2)$ trên parabol — đường thẳng đó gọi là cát tuyến. Ba hình dưới đây cho $h$ nhỏ dần: $h=1$, rồi $h=0,1$, rồi $h \to 0$.

Cát tuyến qua A(1;1) và (2;4): hệ số góc

\dfrac{f(1+1)-f(1)}{1} = 3

.Cát tuyến qua A(1;1) và (2;4): hệ số góc $\dfrac{f(1+1)-f(1)}{1} = 3$.

Với $h=1$ : hệ số góc cát tuyến là $\dfrac{f(2)-f(1)}{1}=\dfrac{4-1}{1}=3$ .

Với $h=1$: hệ số góc cát tuyến là $\dfrac{f(2)-f(1)}{1}=\dfrac{4-1}{1}=3$.

Khi h nhỏ dần từ 1 xuống 0,1, hệ số góc cát tuyến giảm từ 3 xuống 2,1 — đang tiến dần về một số.

Với $h=0,1$ : hệ số góc là $\dfrac{f(1{,}1)-f(1)}{0{,}1}=\dfrac{1{,}21-1}{0{,}1}=2{,}1$ — cát tuyến đã áp sát đường cong hơn, và hệ số góc đã gần 2 hơn.

Với $h=0,1$: hệ số góc là $\dfrac{f(1{,}1)-f(1)}{0{,}1}=\dfrac{1{,}21-1}{0{,}1}=2{,}1$ — cát tuyến đã áp sát đường cong hơn, và hệ số góc đã gần 2 hơn.

Khi h tiến về 0, cát tuyến trở thành tiếp tuyến

y=2x-1

: hiệu

x^2-(2x-1)=(x-1)^2

chỉ bằng 0 tại

x=1

, nên đường thẳng này thật sự chỉ chạm parabol tại đúng điểm A.Khi h tiến về 0, cát tuyến trở thành tiếp tuyến $y=2x-1$: hiệu $x^2-(2x-1)=(x-1)^2$ chỉ bằng 0 tại $x=1$, nên đường thẳng này thật sự chỉ chạm parabol tại đúng điểm A.

Khi $h \to 0$ , cát tuyến không còn cắt parabol ở hai điểm phân biệt nữa mà trở thành tiếp tuyến — đường thẳng chỉ chạm parabol tại đúng một điểm $A$ . Hệ số góc của nó chính là giới hạn $f'(1)$ mà ta sắp tính bằng định nghĩa.

Khi $h \to 0$, cát tuyến không còn cắt parabol ở hai điểm phân biệt nữa mà trở thành tiếp tuyến — đường thẳng chỉ chạm parabol tại đúng một điểm $A$. Hệ số góc của nó chính là giới hạn $f'(1)$ mà ta sắp tính bằng định nghĩa.

Ví dụ áp dụng định nghĩa

Ví dụ

Tính đạo hàm của

f(x)=x^2

tại

x_0=1

bằng định nghĩaTính đạo hàm của $f(x)=x^2$ tại $x_0=1$ bằng định nghĩa

1
Ta có $f(1+h)=(1+h)^2=1+2h+h^2$ và $f(1)=1$ . Do đó

$\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{1+2h+h^2-1}{h}=\dfrac{2h+h^2}{h}.$
Ta có $f(1+h)=(1+h)^2=1+2h+h^2$ và $f(1)=1$. Do đó $$\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{1+2h+h^2-1}{h}=\dfrac{2h+h^2}{h}.$$
2
Với $h\ne 0$ , chia tử và mẫu cho $h$ : $\dfrac{2h+h^2}{h}=2+h$ . Đây là bước bắt buộc — không được thay $h=0$ trực tiếp vào tỉ số ban đầu vì tử và mẫu đều bằng 0 (dạng vô định).
Với $h\ne 0$, chia tử và mẫu cho $h$: $\dfrac{2h+h^2}{h}=2+h$. Đây là bước bắt buộc — không được thay $h=0$ trực tiếp vào tỉ số ban đầu vì tử và mẫu đều bằng 0 (dạng vô định).
3
Theo định nghĩa đạo hàm, $f'(1)=\lim_{h\to 0}(2+h)=2$ .
Theo định nghĩa đạo hàm, $f'(1)=\lim_{h\to 0}(2+h)=2$.
4
Vậy $f'(1)=2$ — đúng bằng hệ số góc mà ba hình vẽ trên đã cho thấy khi $h$ tiến về 0.
Vậy $f'(1)=2$ — đúng bằng hệ số góc mà ba hình vẽ trên đã cho thấy khi $h$ tiến về 0.

Ví dụ

Tính đạo hàm của

f(x)=\dfrac{1}{x}

tại

x_0=2

bằng định nghĩaTính đạo hàm của $f(x)=\dfrac{1}{x}$ tại $x_0=2$ bằng định nghĩa

1
Hàm số $f(x)=\dfrac{1}{x}$ xác định với $x\ne 0$ . Vì $x_0=2\ne 0$ (TMĐK) nên $f$ xác định tại lân cận $x_0$ , ta tính đạo hàm được.
Hàm số $f(x)=\dfrac{1}{x}$ xác định với $x\ne 0$. Vì $x_0=2\ne 0$ (TMĐK) nên $f$ xác định tại lân cận $x_0$, ta tính đạo hàm được.
2
Ta có $f(2)=\dfrac{1}{2}$ và $f(2+h)=\dfrac{1}{2+h}$ (với $h$ đủ nhỏ để $2+h\ne 0$ ). Do đó
Ta có $f(2)=\dfrac{1}{2}$ và $f(2+h)=\dfrac{1}{2+h}$ (với $h$ đủ nhỏ để $2+h\ne 0$). Do đó $$\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\dfrac{\frac{1}{2+h}-\frac{1}{2}}{h}=\dfrac{\frac{2-(2+h)}{2(2+h)}}{h}=\dfrac{-h}{2h(2+h)}.
3
Với $h\ne 0$ , rút gọn $h$ ở tử và mẫu: $\dfrac{-h}{2h(2+h)}=\dfrac{-1}{2(2+h)}$ .
Với $h\ne 0$, rút gọn $h$ ở tử và mẫu: $\dfrac{-h}{2h(2+h)}=\dfrac{-1}{2(2+h)}$.
4
Theo định nghĩa đạo hàm, $f'(2)=\lim_{h\to 0}\dfrac{-1}{2(2+h)}=\dfrac{-1}{4}$ . Vậy $f'(2)=-\dfrac{1}{4}$ .
Theo định nghĩa đạo hàm, $f'(2)=\lim_{h\to 0}\dfrac{-1}{2(2+h)}=\dfrac{-1}{4}$. Vậy $f'(2)=-\dfrac{1}{4}$.

Không phải hàm số nào cũng có đạo hàm tại mọi điểm

Định nghĩa vừa học đòi hỏi tỉ số sai phân phải tiến về một giới hạn duy nhất khi $h\to 0$ , dù $h$ tiến về 0 từ phía dương hay từ phía âm. Điều này không phải lúc nào cũng xảy ra — ngay cả với một hàm số liên tục, quen thuộc như $f(x)=|x|$ .

Định nghĩa vừa học đòi hỏi tỉ số sai phân phải tiến về *một* giới hạn duy nhất khi $h\to 0$, dù $h$ tiến về 0 từ phía dương hay từ phía âm. Điều này không phải lúc nào cũng xảy ra — ngay cả với một hàm số liên tục, quen thuộc như $f(x)=|x|$.

Ví dụ

Xét xem

f(x)=|x|

có đạo hàm tại

x_0=0

hay khôngXét xem $f(x)=|x|$ có đạo hàm tại $x_0=0$ hay không

1
Với $h>0$ : $f(h)=h$ , nên $\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\dfrac{h}{h}=1$ . Với $h<0$ : $f(h)=-h$ , nên $\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\dfrac{-h}{h}=-1$ .
Với $h>0$: $f(h)=h$, nên $\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\dfrac{h}{h}=1$. Với $h<0$: $f(h)=-h$, nên $\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\dfrac{-h}{h}=-1$.
2
Khi $h\to 0^+$ , tỉ số sai phân luôn bằng $1$ ; khi $h\to 0^-$ , tỉ số sai phân luôn bằng $-1$ . Hai giới hạn một phía này khác nhau.
Khi $h\to 0^+$, tỉ số sai phân luôn bằng $1$; khi $h\to 0^-$, tỉ số sai phân luôn bằng $-1$. Hai giới hạn một phía này khác nhau.
3
Vì giới hạn từ hai phía không bằng nhau nên không tồn tại giới hạn chung của tỉ số sai phân khi $h\to 0$ . Vậy $f(x)=|x|$ không có đạo hàm tại $x_0=0$ , dù hàm số này vẫn liên tục tại đó — đồ thị của nó có một điểm gấp khúc (góc nhọn) tại gốc toạ độ, nơi không thể vẽ một tiếp tuyến duy nhất.
Vì giới hạn từ hai phía không bằng nhau nên không tồn tại giới hạn chung của tỉ số sai phân khi $h\to 0$. Vậy $f(x)=|x|$ không có đạo hàm tại $x_0=0$, dù hàm số này vẫn liên tục tại đó — đồ thị của nó có một điểm gấp khúc (góc nhọn) tại gốc toạ độ, nơi không thể vẽ một tiếp tuyến duy nhất.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Bẫy thường gặp

Sai lầm thường gặp: (1) thay $\Delta x=0$ trực tiếp vào tỉ số sai phân ban đầu — tử và mẫu đều bằng 0 nên phải rút gọn trước; (2) nhầm tỉ số sai phân (tốc độ thay đổi trung bình trên một đoạn) với đạo hàm (tốc độ thay đổi tức thời tại một điểm, là giới hạn của tỉ số đó).

Tóm lại: đạo hàm tại một điểm là giới hạn của tỉ số sai phân khi số gia tiến về 0 — một con số đo tốc độ thay đổi tức thời, và về mặt hình học là hệ số góc của cát tuyến khi cát tuyến ấy co lại thành tiếp tuyến.

Bài tiếp theo sẽ lí giải vì sao con số $f'(x_0)$ này chính là hệ số góc của tiếp tuyến trên đồ thị — và cũng chính là vận tốc tức thời trong một chuyển động.