Bài học

Đạo hàm hàm hợp và đạo hàm cấp hai

Khi bên trong hàm số không chỉ là $x$

Trong bài này

Em sẽ học quy tắc đạo hàm hàm hợp (chain rule) để tính đạo hàm của những hàm như $\sin(2x+1)$ hay $e^{x^2}$ , và học đạo hàm cấp hai để đọc được hướng cong của đồ thị.

Em sẽ học quy tắc đạo hàm hàm hợp (chain rule) để tính đạo hàm của những hàm như $\sin(2x+1)$ hay $e^{x^2}$, và học đạo hàm cấp hai để đọc được hướng cong của đồ thị.

Bài này dùng lại bảng đạo hàm cơ bản và các quy tắc tổng/tích/thương (same-grade bridge, Chương 3).

Đạo hàm của $\sin(2x)$ có bằng $\cos(2x)$ không? Thử kiểm tra bằng số tại $x=0$ : nếu đúng thì đạo hàm tại $0$ phải bằng $\cos 0=1$ . Nhưng $\sin(2x)$ tăng nhanh gấp đôi $\sin x$ khi $x$ nhỏ (vì đối số nhân đôi), nên trực giác cho thấy con số đúng phải lớn hơn $1$ . Bảng đạo hàm cơ bản một mình chưa đủ để tính hàm dạng này — cần thêm một quy tắc mới.

Đạo hàm của $\sin(2x)$ có bằng $\cos(2x)$ không? Thử kiểm tra bằng số tại $x=0$: nếu đúng thì đạo hàm tại $0$ phải bằng $\cos 0=1$. Nhưng $\sin(2x)$ tăng nhanh gấp đôi $\sin x$ khi $x$ nhỏ (vì đối số nhân đôi), nên trực giác cho thấy con số đúng phải lớn hơn $1$. Bảng đạo hàm cơ bản một mình chưa đủ để tính hàm dạng này — cần thêm một quy tắc mới.

Điểm mấu chốt là phân biệt hai vai trò: $\sin(\cdot)$ , $e^{(\cdot)}$ , $\ln(\cdot)$ đóng vai hàm ngoài, còn biểu thức nằm trong dấu ngoặc đóng vai hàm trong. Bảng đạo hàm cơ bản ở Chương 3 chỉ tính đúng khi hàm trong là $x$ đơn thuần; ngay khi hàm trong là một biểu thức khác — $2x+1$ , $x^2$ , $\sin x$ — phải dùng quy tắc hàm hợp bên dưới.

Điểm mấu chốt là phân biệt hai vai trò: $\sin(\cdot)$, $e^{(\cdot)}$, $\ln(\cdot)$ đóng vai *hàm ngoài*, còn biểu thức nằm trong dấu ngoặc đóng vai *hàm trong*. Bảng đạo hàm cơ bản ở Chương 3 chỉ tính đúng khi hàm trong là $x$ đơn thuần; ngay khi hàm trong là một biểu thức khác — $2x+1$, $x^2$, $\sin x$ — phải dùng quy tắc hàm hợp bên dưới.

Quy tắc đạo hàm hàm hợp

Nếu $y=f(u)$ và $u=u(x)$ là các hàm có đạo hàm, thì hàm hợp $y=f(u(x))$ có đạo hàm

$y'_x = f'(u)\cdot u'(x).$

Nói cách khác: lấy đạo hàm của hàm ngoài theo $u$ , rồi nhân thêm với đạo hàm của phần bên trong $u$ theo $x$ . Ba trường hợp hay gặp:

$(\sin u)'=u'\cos u,\quad (e^u)'=u'e^u,\quad (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\ (u>0\ \text{— ĐKXĐ}).$

Nếu $y=f(u)$ và $u=u(x)$ là các hàm có đạo hàm, thì hàm hợp $y=f(u(x))$ có đạo hàm $$y'_x = f'(u)\cdot u'(x).$$ Nói cách khác: lấy đạo hàm của hàm ngoài theo $u$, rồi nhân thêm với đạo hàm của phần bên trong $u$ theo $x$. Ba trường hợp hay gặp: $$(\sin u)'=u'\cos u,\quad (e^u)'=u'e^u,\quad (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\ (u>0\ \text{— ĐKXĐ}).$$

Vì sao phải nhân thêm $u'(x)$ ? Hãy nghĩ về tốc độ thay đổi theo từng chặng: $y$ thay đổi theo $u$ với tốc độ $f'(u)$ , còn $u$ lại thay đổi theo $x$ với tốc độ $u'(x)$ . Khi $x$ thay đổi một lượng nhỏ, $u$ thay đổi một lượng gấp $u'(x)$ lần, rồi $y$ lại thay đổi một lượng gấp $f'(u)$ lần sự thay đổi của $u$ — hai tỉ lệ đó nhân dồn lại với nhau. Đó là lí do $\sin(2x)$ ở phần mở đầu có đạo hàm $2\cos(2x)$ chứ không phải $\cos(2x)$ : phần bên trong $u=2x$ thay đổi nhanh gấp đôi $x$ , nên tốc độ thay đổi của $\sin(2x)$ cũng phải nhân thêm hệ số $2$ đó.

Vì sao phải nhân thêm $u'(x)$? Hãy nghĩ về tốc độ thay đổi theo từng chặng: $y$ thay đổi theo $u$ với tốc độ $f'(u)$, còn $u$ lại thay đổi theo $x$ với tốc độ $u'(x)$. Khi $x$ thay đổi một lượng nhỏ, $u$ thay đổi một lượng gấp $u'(x)$ lần, rồi $y$ lại thay đổi một lượng gấp $f'(u)$ lần sự thay đổi của $u$ — hai tỉ lệ đó nhân dồn lại với nhau. Đó là lí do $\sin(2x)$ ở phần mở đầu có đạo hàm $2\cos(2x)$ chứ không phải $\cos(2x)$: phần bên trong $u=2x$ thay đổi nhanh gấp đôi $x$, nên tốc độ thay đổi của $\sin(2x)$ cũng phải nhân thêm hệ số $2$ đó.

Ví dụ

Tính đạo hàm của

y=\sin(2x+1)

Tính đạo hàm của $y=\sin(2x+1)$

1
Đặt $u=2x+1$ , khi đó $y=\sin u$ và $u'=2$ .
Đặt $u=2x+1$, khi đó $y=\sin u$ và $u'=2$.
2
$y'=u'\cos u=2\cos(2x+1)$ .
$y'=u'\cos u=2\cos(2x+1)$.
3
Nếu chỉ viết $y'=\cos(2x+1)$ mà quên nhân $2$ thì sai — đó chính là bẫy phổ biến nhất của quy tắc này.
Nếu chỉ viết $y'=\cos(2x+1)$ mà quên nhân $2$ thì sai — đó chính là bẫy phổ biến nhất của quy tắc này.
4
Vậy $y'=2\cos(2x+1)$ .
Vậy $y'=2\cos(2x+1)$.
5
Công thức cho $y'(0)=2\cos(1)\approx 1{,}0806$ . Dùng trực tiếp định nghĩa với $h=0{,}001$ : $\dfrac{\sin(1{,}002)-\sin(1)}{0{,}001}\approx 1{,}0789$ — đã rất gần với kết quả trên, và sẽ càng gần hơn khi $h$ càng nhỏ.
Công thức cho $y'(0)=2\cos(1)\approx 1{,}0806$. Dùng trực tiếp định nghĩa với $h=0{,}001$: $\dfrac{\sin(1{,}002)-\sin(1)}{0{,}001}\approx 1{,}0789$ — đã rất gần với kết quả trên, và sẽ càng gần hơn khi $h$ càng nhỏ.

Ví dụ

Tính đạo hàm của

y=e^{x^2}

Tính đạo hàm của $y=e^{x^2}$

1
Đặt $u=x^2$ , khi đó $y=e^u$ và $u'=2x$ .
Đặt $u=x^2$, khi đó $y=e^u$ và $u'=2x$.
2
$y'=u'e^u=2x\cdot e^{x^2}$ .
$y'=u'e^u=2x\cdot e^{x^2}$.
3
Vậy $y'=2xe^{x^2}$ .
Vậy $y'=2xe^{x^2}$.

Đạo hàm cấp hai cũng áp dụng được cho hàm hợp — chỉ cần lấy đạo hàm hai lần liên tiếp, mỗi lần dùng đúng quy tắc phù hợp. Với $y=e^{2x}$ : lần đầu, đặt $u=2x$ ( $u'=2$ ), $y'=u'e^u=2e^{2x}$ ; lần hai, lại đặt $u=2x$ cho chính $y'=2e^{2x}$ : $y''=2\cdot 2e^{2x}=4e^{2x}$ . Vì $e^{2x}>0$ với mọi $x$ , ta có $y''(x)>0$ với mọi $x$ — đồ thị của $y=e^{2x}$ lõm lên trên tại mọi điểm, không chỉ tại một điểm riêng lẻ.

Đạo hàm cấp hai cũng áp dụng được cho hàm hợp — chỉ cần lấy đạo hàm hai lần liên tiếp, mỗi lần dùng đúng quy tắc phù hợp. Với $y=e^{2x}$: lần đầu, đặt $u=2x$ ($u'=2$), $y'=u'e^u=2e^{2x}$; lần hai, lại đặt $u=2x$ cho chính $y'=2e^{2x}$: $y''=2\cdot 2e^{2x}=4e^{2x}$. Vì $e^{2x}>0$ với mọi $x$, ta có $y''(x)>0$ với mọi $x$ — đồ thị của $y=e^{2x}$ lõm lên trên tại mọi điểm, không chỉ tại một điểm riêng lẻ.

Ví dụ

Tính đạo hàm của

y=\ln(\sin x)

(ĐKXĐ

\sin x>0

)Tính đạo hàm của $y=\ln(\sin x)$ (ĐKXĐ $\sin x>0$)

1
Biểu thức trong dấu $\ln$ phải dương: $\sin x>0$ — điều này chỉ đúng trên một số khoảng của $x$ (chẳng hạn $x\in(0;\pi)$ ), không phải với mọi $x$ .
Biểu thức trong dấu $\ln$ phải dương: $\sin x>0$ — điều này chỉ đúng trên một số khoảng của $x$ (chẳng hạn $x\in(0;\pi)$), không phải với mọi $x$.
2
Đặt $u=\sin x$ , khi đó $y=\ln u$ và $u'=\cos x$ .
Đặt $u=\sin x$, khi đó $y=\ln u$ và $u'=\cos x$.
3
$y'=\dfrac{u'}{u}=\dfrac{\cos x}{\sin x}$ .
$y'=\dfrac{u'}{u}=\dfrac{\cos x}{\sin x}$.
4
Vậy $y'=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\cot x$ , với $x$ thoả $\sin x>0$ (TMĐK).
Vậy $y'=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\cot x$, với $x$ thoả $\sin x>0$ (TMĐK).

Một nhầm lẫn hay gặp: $f''(x)$ không phải là $\left(f'(x)\right)^2$ . Với $f(x)=x^2$ : $f'(x)=2x$ nên $\left(f'(x)\right)^2=4x^2$ , trong khi $f''(x)=(2x)'=2$ — một hằng số, hoàn toàn khác với $4x^2$ . Tại $x=1$ chẳng hạn, $\left(f'(1)\right)^2=4$ còn $f''(1)=2$ : hai con số khác nhau. Đạo hàm cấp hai luôn là đạo hàm của $f'(x)$ , không phải bình phương của nó.

Một nhầm lẫn hay gặp: $f''(x)$ không phải là $\left(f'(x)\right)^2$. Với $f(x)=x^2$: $f'(x)=2x$ nên $\left(f'(x)\right)^2=4x^2$, trong khi $f''(x)=(2x)'=2$ — một hằng số, hoàn toàn khác với $4x^2$. Tại $x=1$ chẳng hạn, $\left(f'(1)\right)^2=4$ còn $f''(1)=2$: hai con số khác nhau. Đạo hàm cấp hai luôn là *đạo hàm của $f'(x)$*, không phải bình phương của nó.

Đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai của $f$ , kí hiệu $f''(x)$ , là đạo hàm của chính hàm $f'(x)$ : $f''(x)=(f'(x))'$ . Về vật lí, nếu $s(t)$ là quãng đường thì $s'(t)=v(t)$ là vận tốc và $s''(t)=v'(t)=a(t)$ là gia tốc tức thời — đạo hàm cấp hai đo tốc độ thay đổi của chính vận tốc. Về hình học, dấu của $f''(x_0)$ cho biết đồ thị lõm lên trên (nếu $f''(x_0)>0$ ) hay lồi lên trên (nếu $f''(x_0)<0$ ) tại lân cận $x_0$ ; nếu thêm $f'(x_0)=0$ thì đó là một điểm cực tiểu (khi $f''(x_0)>0$ ) hoặc cực đại (khi $f''(x_0)<0$ ).

Đạo hàm cấp hai của $f$, kí hiệu $f''(x)$, là đạo hàm của chính hàm $f'(x)$: $f''(x)=(f'(x))'$. Về vật lí, nếu $s(t)$ là quãng đường thì $s'(t)=v(t)$ là vận tốc và $s''(t)=v'(t)=a(t)$ là gia tốc tức thời — đạo hàm cấp hai đo tốc độ thay đổi của chính vận tốc. Về hình học, dấu của $f''(x_0)$ cho biết đồ thị lõm lên trên (nếu $f''(x_0)>0$) hay lồi lên trên (nếu $f''(x_0)<0$) tại lân cận $x_0$; nếu thêm $f'(x_0)=0$ thì đó là một điểm cực tiểu (khi $f''(x_0)>0$) hoặc cực đại (khi $f''(x_0)<0$).

Ví dụ

Cho

f(x)=x^3-3x

. Tìm các điểm mà tiếp tuyến nằm ngang và xác định đó là cực đại hay cực tiểuCho $f(x)=x^3-3x$. Tìm các điểm mà tiếp tuyến nằm ngang và xác định đó là cực đại hay cực tiểu

1
$f'(x)=3x^2-3$ .
$f'(x)=3x^2-3$.
2
$3x^2-3=0\iff x^2=1\iff x=\pm 1$ . Tại hai điểm này tiếp tuyến nằm ngang vì hệ số góc $f'(x)=0$ .
$3x^2-3=0\iff x^2=1\iff x=\pm 1$. Tại hai điểm này tiếp tuyến nằm ngang vì hệ số góc $f'(x)=0$.
3
$f''(x)=6x$ . Ta có $f''(-1)=-6<0$ nên $x=-1$ là điểm cực đại; $f''(1)=6>0$ nên $x=1$ là điểm cực tiểu.
$f''(x)=6x$. Ta có $f''(-1)=-6<0$ nên $x=-1$ là điểm cực đại; $f''(1)=6>0$ nên $x=1$ là điểm cực tiểu.
4
$f(-1)=-1+3=2$ (cực đại); $f(1)=1-3=-2$ (cực tiểu).
$f(-1)=-1+3=2$ (cực đại); $f(1)=1-3=-2$ (cực tiểu).
5
Vậy đồ thị có điểm cực đại $(-1;2)$ và điểm cực tiểu $(1;-2)$ , đúng như hình vẽ dưới đây.
Vậy đồ thị có điểm cực đại $(-1;2)$ và điểm cực tiểu $(1;-2)$, đúng như hình vẽ dưới đây.

Tại cực trị, tiếp tuyến nằm ngang vì f'(x)=0 — dấu của f'' phân biệt cực đại (f''<0) với cực tiểu (f''>0).

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Bẫy thường gặp

Sai lầm thường gặp: quên nhân với $u'(x)$ khi lấy đạo hàm hàm hợp (chỉ viết $\cos(2x+1)$ mà bỏ qua hệ số $2$ ); hoặc nhầm đạo hàm cấp hai $f''(x)=(f'(x))'$ với bình phương của đạo hàm cấp một $\left(f'(x)\right)^2$ — đây là hai đại lượng hoàn toàn khác nhau.

Sai lầm thường gặp: quên nhân với $u'(x)$ khi lấy đạo hàm hàm hợp (chỉ viết $\cos(2x+1)$ mà bỏ qua hệ số $2$); hoặc nhầm đạo hàm cấp hai $f''(x)=(f'(x))'$ với bình phương của đạo hàm cấp một $\left(f'(x)\right)^2$ — đây là hai đại lượng hoàn toàn khác nhau.

Tóm lại: quy tắc hàm hợp mở rộng bảng đạo hàm cơ bản cho những hàm số có một biểu thức phức tạp bên trong $\sin$ , $e^{(\cdot)}$ , $\ln$ — luôn nhớ nhân thêm đạo hàm của phần bên trong; đạo hàm cấp hai — đạo hàm của đạo hàm — cho biết đồ thị cong theo hướng nào (lõm hay lồi) và, kết hợp với điều kiện tiếp tuyến nằm ngang $f'(x_0)=0$ , phân biệt được cực đại với cực tiểu mà không cần vẽ đồ thị.

Tóm lại: quy tắc hàm hợp mở rộng bảng đạo hàm cơ bản cho những hàm số có một biểu thức phức tạp bên trong $\sin$, $e^{(\cdot)}$, $\ln$ — luôn nhớ nhân thêm đạo hàm của phần bên trong; đạo hàm cấp hai — đạo hàm của đạo hàm — cho biết đồ thị cong theo hướng nào (lõm hay lồi) và, kết hợp với điều kiện tiếp tuyến nằm ngang $f'(x_0)=0$, phân biệt được cực đại với cực tiểu mà không cần vẽ đồ thị.

Bài Ôn tập cuối khoá sẽ kết hợp cả bốn kỹ thuật đã học: định nghĩa, quy tắc tính nhanh, hàm hợp và đạo hàm cấp hai, trong những bài toán tổng hợp hơn.

Khi bên trong hàm số không chỉ là xxx

Quy tắc đạo hàm hàm hợp

Đạo hàm cấp hai

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Khi bên trong hàm số không chỉ là $x$