Bài học

Giới hạn hàm số tại một điểm và giới hạn một bên

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu được ý nghĩa của $\lim_{x \to a} f(x)=L$ , phân biệt được giới hạn một bên trái $\lim_{x \to a^-} f(x)$ và giới hạn một bên phải $\lim_{x \to a^+} f(x)$ , biết giới hạn tại một điểm chỉ tồn tại khi hai giới hạn một bên bằng nhau, và tính được giới hạn dạng $\dfrac{0}{0}$ bằng cách phân tích nhân tử trước khi thay số.

Sau bài này, em phát biểu được ý nghĩa của $\lim_{x \to a} f(x)=L$, phân biệt được giới hạn một bên trái $\lim_{x \to a^-} f(x)$ và giới hạn một bên phải $\lim_{x \to a^+} f(x)$, biết giới hạn tại một điểm chỉ tồn tại khi hai giới hạn một bên bằng nhau, và tính được giới hạn dạng $\dfrac{0}{0}$ bằng cách phân tích nhân tử trước khi thay số.

Kiến thức nền cần nhớ

Hai bài trước đã xây dựng khái niệm giới hạn cho dãy số — một đại lượng chỉ nhận giá trị tại các số nguyên dương $n=1,2,3,\ldots$ (same-grade bridge). Bài này chuyển sang hàm số $f(x)$ , nơi biến $x$ chạy liên tục trên trục số, nên câu hỏi " $x$ tiến đến đâu" phong phú hơn: $x$ có thể tiến tới một điểm hữu hạn $a$ từ bên trái, từ bên phải, hoặc từ cả hai phía cùng lúc.

Hai bài trước đã xây dựng khái niệm giới hạn cho dãy số — một đại lượng chỉ nhận giá trị tại các số nguyên dương $n=1,2,3,\ldots$ (same-grade bridge). Bài này chuyển sang hàm số $f(x)$, nơi biến $x$ chạy liên tục trên trục số, nên câu hỏi "$x$ tiến đến đâu" phong phú hơn: $x$ có thể tiến tới một điểm hữu hạn $a$ từ bên trái, từ bên phải, hoặc từ cả hai phía cùng lúc.

Khởi động

Một cửa hàng photocopy tính phí theo bậc: 3 000 đồng cho giờ gửi đầu tiên, rồi mỗi giờ tiếp theo phí tăng thêm. Nếu em gửi đúng 1 giờ, phí là bao nhiêu — mức của giờ thứ nhất, hay mức đã tăng của giờ thứ hai? Và nếu em gửi 0,99 giờ so với 1,01 giờ, phí có nhảy vọt hay thay đổi từ từ?

Kiến thức trọng tâm

Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn $L$ khi $x$ dần tới $a$ , kí hiệu $\lim_{x \to a} f(x)=L$ , nếu $f(x)$ tiến gần tuỳ ý tới $L$ khi $x$ tiến gần tới $a$ (nhưng không nhất thiết bằng $a$ ) — cùng tinh thần "tiến gần tuỳ ý" như giới hạn dãy số, chỉ khác là bây giờ $x$ chạy liên tục thay vì rời rạc. Vì $x$ có thể tiến tới $a$ từ hai phía, người ta định nghĩa thêm hai giới hạn một bên: $\lim_{x \to a^-} f(x)$ (giới hạn bên trái, chỉ xét $x<a$ tiến tới $a$ ) và $\lim_{x \to a^+} f(x)$ (giới hạn bên phải, chỉ xét $x>a$ tiến tới $a$ ).

Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn $L$ khi $x$ dần tới $a$, kí hiệu $\lim_{x \to a} f(x)=L$, nếu $f(x)$ tiến gần tuỳ ý tới $L$ khi $x$ tiến gần tới $a$ (nhưng không nhất thiết bằng $a$) — cùng tinh thần "tiến gần tuỳ ý" như giới hạn dãy số, chỉ khác là bây giờ $x$ chạy liên tục thay vì rời rạc. Vì $x$ có thể tiến tới $a$ từ hai phía, người ta định nghĩa thêm hai giới hạn một bên: $\lim_{x \to a^-} f(x)$ (giới hạn bên trái, chỉ xét $x<a$ tiến tới $a$) và $\lim_{x \to a^+} f(x)$ (giới hạn bên phải, chỉ xét $x>a$ tiến tới $a$).

Mối liên hệ quan trọng nhất giữa ba loại giới hạn này: $\lim_{x \to a} f(x)=L$ tồn tại khi và chỉ khi cả hai giới hạn một bên đều tồn tại và bằng nhau, tức $\lim_{x \to a^-} f(x)=\lim_{x \to a^+} f(x)=L$ . Nếu hai giới hạn một bên khác nhau — hàm số "nhảy" khi $x$ đi qua $a$ — thì $\lim_{x \to a} f(x)$ không tồn tại, dù mỗi giới hạn một bên vẫn có giá trị riêng của nó. Đây là điều khác biệt lớn nhất so với giới hạn dãy số, nơi không có khái niệm "một bên".

Mối liên hệ quan trọng nhất giữa ba loại giới hạn này: $\lim_{x \to a} f(x)=L$ tồn tại khi và chỉ khi cả hai giới hạn một bên đều tồn tại và bằng nhau, tức $\lim_{x \to a^-} f(x)=\lim_{x \to a^+} f(x)=L$. Nếu hai giới hạn một bên khác nhau — hàm số "nhảy" khi $x$ đi qua $a$ — thì $\lim_{x \to a} f(x)$ không tồn tại, dù mỗi giới hạn một bên vẫn có giá trị riêng của nó. Đây là điều khác biệt lớn nhất so với giới hạn dãy số, nơi không có khái niệm "một bên".

Với những hàm số cho bởi công thức đơn giản (đa thức, căn thức, phân thức xác định tại $a$ ), ta tính $\lim_{x \to a} f(x)$ bằng cách thay trực tiếp $x=a$ vào công thức. Nhưng nhiều bài toán cho hàm phân thức mà tại $x=a$ cả tử và mẫu đều bằng 0 — dạng $\dfrac{0}{0}$ — nên không thể thay trực tiếp (mẫu bằng 0). Khi đó kĩ thuật chuẩn là phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử, rút gọn nhân tử chung $(x-a)$ — nhân tử gây ra dạng $\dfrac{0}{0}$ — rồi mới thay $x=a$ vào biểu thức đã rút gọn. Việc rút gọn hợp lệ vì khi tính giới hạn, ta chỉ xét $x$ tiến gần $a$ chứ không bao giờ đúng bằng $a$ , nên phép chia cho $(x-a)$ không vi phạm điều kiện chia cho 0.

Với những hàm số cho bởi công thức đơn giản (đa thức, căn thức, phân thức xác định tại $a$), ta tính $\lim_{x \to a} f(x)$ bằng cách thay trực tiếp $x=a$ vào công thức. Nhưng nhiều bài toán cho hàm phân thức mà tại $x=a$ cả tử và mẫu đều bằng 0 — dạng $\dfrac{0}{0}$ — nên không thể thay trực tiếp (mẫu bằng 0). Khi đó kĩ thuật chuẩn là phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử, rút gọn nhân tử chung $(x-a)$ — nhân tử gây ra dạng $\dfrac{0}{0}$ — rồi mới thay $x=a$ vào biểu thức đã rút gọn. Việc rút gọn hợp lệ vì khi tính giới hạn, ta chỉ xét $x$ tiến gần $a$ chứ không bao giờ đúng bằng $a$, nên phép chia cho $(x-a)$ không vi phạm điều kiện chia cho 0.

Về mặt hình học, giới hạn một bên mô tả cách đồ thị hàm số cư xử khi tiến vào một điểm từ mỗi phía riêng biệt. Nếu đồ thị là một đường liền nét không đứt đoạn quanh $a$ , hai giới hạn một bên chắc chắn bằng nhau — đó là trực giác cho khái niệm liên tục ở bài sau. Ngược lại, khi đồ thị có một "bậc thang" hay một "khe hở" tại $a$ — như đường đi lên đột ngột hoặc một điểm bị nhấc ra khỏi đường — hai giới hạn một bên sẽ khác nhau hoặc một trong hai không tồn tại. Nhận ra hình dạng đồ thị nào ứng với trường hợp nào giúp em đoán trước kết quả trước khi tính toán chi tiết.

Về mặt hình học, giới hạn một bên mô tả cách đồ thị hàm số cư xử khi tiến vào một điểm từ mỗi phía riêng biệt. Nếu đồ thị là một đường liền nét không đứt đoạn quanh $a$, hai giới hạn một bên chắc chắn bằng nhau — đó là trực giác cho khái niệm liên tục ở bài sau. Ngược lại, khi đồ thị có một "bậc thang" hay một "khe hở" tại $a$ — như đường đi lên đột ngột hoặc một điểm bị nhấc ra khỏi đường — hai giới hạn một bên sẽ khác nhau hoặc một trong hai không tồn tại. Nhận ra hình dạng đồ thị nào ứng với trường hợp nào giúp em đoán trước kết quả trước khi tính toán chi tiết.

Ví dụ chuẩn

Ví dụ

Giới hạn dạng 0/0 bằng cách phân tích nhân tử

1
Tính $\lim_{x \to -1} \dfrac{x^2-1}{x+1}$ .
Tính $\lim_{x \to -1} \dfrac{x^2-1}{x+1}$.
2
Thay $x=-1$ trực tiếp cho cả tử và mẫu đều bằng 0 — dạng $\dfrac{0}{0}$ , chưa kết luận được, cần phân tích nhân tử.
Thay $x=-1$ trực tiếp cho cả tử và mẫu đều bằng 0 — dạng $\dfrac{0}{0}$, chưa kết luận được, cần phân tích nhân tử.
3
$x^2-1=(x-1)(x+1)$ , nên với $x \ne -1$ : $\dfrac{x^2-1}{x+1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1$ .
$x^2-1=(x-1)(x+1)$, nên với $x \ne -1$: $\dfrac{x^2-1}{x+1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1$.
4
$\lim_{x \to -1} (x-1)=-1-1=-2$ .
$\lim_{x \to -1} (x-1)=-1-1=-2$.
5
Vậy $\lim_{x \to -1} \dfrac{x^2-1}{x+1}=-2$ .
Vậy $\lim_{x \to -1} \dfrac{x^2-1}{x+1}=-2$.
6
Thử vài giá trị $x$ gần $-1$ : tại $x=-0{,}9$ , $f(x)=\dfrac{(-0{,}9)^2-1}{-0{,}9+1}=\dfrac{-0{,}19}{0{,}1}=-1{,}9$ , đã gần $-2$ ; tại $x=-1{,}1$ , $f(x)=\dfrac{0{,}21}{-0{,}1}=-2{,}1$ , cũng gần $-2$ — khớp với kết quả vừa tính từ hai phía.
Thử vài giá trị $x$ gần $-1$: tại $x=-0{,}9$, $f(x)=\dfrac{(-0{,}9)^2-1}{-0{,}9+1}=\dfrac{-0{,}19}{0{,}1}=-1{,}9$, đã gần $-2$; tại $x=-1{,}1$, $f(x)=\dfrac{0{,}21}{-0{,}1}=-2{,}1$, cũng gần $-2$ — khớp với kết quả vừa tính từ hai phía.

Ví dụ khó hơn

Ví dụ

Giá trị hàm số tại điểm gián đoạn khác với giới hạn tại đó

1
Tính $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-4}{x-2}$ .
Tính $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-4}{x-2}$.
2
Hàm số $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ không xác định tại $x=2$ (mẫu bằng 0), và thay $x=2$ vào tử cũng ra 0 — dạng $\dfrac{0}{0}$ .
Hàm số $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ không xác định tại $x=2$ (mẫu bằng 0), và thay $x=2$ vào tử cũng ra 0 — dạng $\dfrac{0}{0}$.
3
$x^2-4=(x-2)(x+2)$ , nên với mọi $x \ne 2$ : $f(x)=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ .
$x^2-4=(x-2)(x+2)$, nên với mọi $x \ne 2$: $f(x)=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$.
4
$\lim_{x \to 2} (x+2)=2+2=4$ .
$\lim_{x \to 2} (x+2)=2+2=4$.
5
Vậy $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-4}{x-2}=4$ — dù bản thân $f(2)$ không xác định. Giới hạn chỉ quan tâm $f(x)$ tiến đến đâu khi $x$ áp sát 2, không quan tâm $f$ có giá trị tại chính điểm 2 hay không; đồ thị của $f$ là đường thẳng $y=x+2$ nhưng bị "khuyết" đúng một điểm tại $x=2$ .
Vậy $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-4}{x-2}=4$ — dù bản thân $f(2)$ không xác định. Giới hạn chỉ quan tâm $f(x)$ tiến đến đâu khi $x$ áp sát 2, không quan tâm $f$ có giá trị tại chính điểm 2 hay không; đồ thị của $f$ là đường thẳng $y=x+2$ nhưng bị "khuyết" đúng một điểm tại $x=2$.

Vòng tròn rỗng đúng ở toạ độ (2;4) cho thấy điểm này KHÔNG thuộc đồ thị, dù đường thẳng đi xuyên qua vị trí đó.

Ví dụ dạng thi

Ví dụ

Giới hạn một bên của biểu phí gửi xe theo bậc giờ

1
Một bãi gửi xe tính phí theo bậc giờ: $f(t)=3000$ (đồng) nếu $0<t\le 1$ , $f(t)=5000$ nếu $1<t\le 2$ , với $t$ là số giờ gửi xe. Tính $\lim_{t \to 1^-} f(t)$ và $\lim_{t \to 1^+} f(t)$ , rồi kết luận $\lim_{t \to 1} f(t)$ có tồn tại không.
Một bãi gửi xe tính phí theo bậc giờ: $f(t)=3000$ (đồng) nếu $0<t\le 1$, $f(t)=5000$ nếu $1<t\le 2$, với $t$ là số giờ gửi xe. Tính $\lim_{t \to 1^-} f(t)$ và $\lim_{t \to 1^+} f(t)$, rồi kết luận $\lim_{t \to 1} f(t)$ có tồn tại không.
2
Với $t$ tiến tới 1 từ bên trái ( $t<1$ , gần 1), $t$ vẫn nằm trong khoảng $0<t\le 1$ nên $f(t)=3000$ không đổi. Vậy $\lim_{t \to 1^-} f(t)=3000$ .
Với $t$ tiến tới 1 từ bên trái ($t<1$, gần 1), $t$ vẫn nằm trong khoảng $0<t\le 1$ nên $f(t)=3000$ không đổi. Vậy $\lim_{t \to 1^-} f(t)=3000$.
3
Với $t$ tiến tới 1 từ bên phải ( $t>1$ , gần 1), $t$ nằm trong khoảng $1<t\le 2$ nên $f(t)=5000$ không đổi. Vậy $\lim_{t \to 1^+} f(t)=5000$ .
Với $t$ tiến tới 1 từ bên phải ($t>1$, gần 1), $t$ nằm trong khoảng $1<t\le 2$ nên $f(t)=5000$ không đổi. Vậy $\lim_{t \to 1^+} f(t)=5000$.
4
$3000 \ne 5000$ , nên hai giới hạn một bên không bằng nhau.
$3000 \ne 5000$, nên hai giới hạn một bên không bằng nhau.
5
Vậy $\lim_{t \to 1} f(t)$ không tồn tại — đúng như trực giác ở phần khởi động: phí gửi xe nhảy vọt ngay tại $t=1$ thay vì tăng dần đều, vì đây là biểu phí theo bậc chứ không phải theo tỉ lệ liên tục với thời gian.
Vậy $\lim_{t \to 1} f(t)$ không tồn tại — đúng như trực giác ở phần khởi động: phí gửi xe nhảy vọt ngay tại $t=1$ thay vì tăng dần đều, vì đây là biểu phí theo bậc chứ không phải theo tỉ lệ liên tục với thời gian.

Khoảng cách thẳng đứng giữa hai đoạn tại t=1 chính là bước nhảy phí — hình ảnh trực quan cho việc hai giới hạn một bên khác nhau.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất ở ví dụ khó hơn phía trên: viết $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-4}{x-2}=f(2)$ rồi kết luận $f(2)=4$ — nhầm giới hạn với giá trị hàm số tại điểm đó, trong khi $f$ còn không xác định tại $x=2$ . Một lỗi khác: khi hai giới hạn một bên khác nhau, một số em vẫn lấy trung bình cộng hai giá trị đó làm "giới hạn" — giới hạn tại điểm đó đơn giản là KHÔNG TỒN TẠI, không có phép tính nào thay thế được kết luận này. Luôn viết rõ "không tồn tại" thay vì bỏ trống câu trả lời.

Sai lầm phổ biến nhất ở ví dụ khó hơn phía trên: viết $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-4}{x-2}=f(2)$ rồi kết luận $f(2)=4$ — nhầm giới hạn với giá trị hàm số tại điểm đó, trong khi $f$ còn không xác định tại $x=2$. Một lỗi khác: khi hai giới hạn một bên khác nhau, một số em vẫn lấy trung bình cộng hai giá trị đó làm "giới hạn" — giới hạn tại điểm đó đơn giản là KHÔNG TỒN TẠI, không có phép tính nào thay thế được kết luận này. Luôn viết rõ "không tồn tại" thay vì bỏ trống câu trả lời.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

$\lim_{x \to a} f(x)$ tồn tại khi và chỉ khi $\lim_{x \to a^-} f(x)=\lim_{x \to a^+} f(x)$ . Với dạng $\dfrac{0}{0}$ : phân tích nhân tử, rút gọn nhân tử gây triệt tiêu, rồi mới thay số. Giới hạn tại một điểm không đòi hỏi hàm số phải xác định tại điểm đó.

$\lim_{x \to a} f(x)$ tồn tại khi và chỉ khi $\lim_{x \to a^-} f(x)=\lim_{x \to a^+} f(x)$. Với dạng $\dfrac{0}{0}$: phân tích nhân tử, rút gọn nhân tử gây triệt tiêu, rồi mới thay số. Giới hạn tại một điểm không đòi hỏi hàm số phải xác định tại điểm đó.

Bài tiếp theo giữ nguyên kĩ thuật giới hạn hàm số nhưng chuyển sang khi $x$ tiến ra vô cực thay vì tới một điểm hữu hạn — đúng kiểu bài toán em đã quen với dãy số, áp dụng cho hàm phân thức. Kĩ năng phân tích nhân tử và xét từng bên vừa luyện ở bài này sẽ quay lại ngay trong chương sau, khi xét xem một hàm số có "liền mạch" tại một điểm hay không.