Bài học

Hàm số liên tục tại một điểm và trên một khoảng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu được ba điều kiện để hàm số liên tục tại một điểm, biết một hàm số liên tục trên một khoảng nghĩa là liên tục tại mọi điểm của khoảng đó, nhận ra các hàm số sơ cấp (đa thức, phân thức hữu tỉ trên tập xác định, hàm lượng giác) đã liên tục sẵn trên tập xác định của chúng, và tìm được tham số để một hàm số cho bởi nhiều công thức liên tục tại điểm nối.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã cho em hai kĩ năng: tính $\lim_{x \to a} f(x)$ bằng phân tích nhân tử, và nhận ra khi hai giới hạn một bên khác nhau thì giới hạn không tồn tại (same-grade bridge, hai bài liền trước). Bài này dùng đúng hai kĩ năng đó để trả lời một câu hỏi cụ thể hơn: đồ thị của hàm số có "liền mạch", không đứt đoạn tại một điểm hay không?

Khởi động

Ở ví dụ khó hơn của bài trước, hàm số $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ có giới hạn bằng 4 khi $x$ tiến tới 2, nhưng bản thân $f(2)$ lại không xác định — đồ thị có một "lỗ hổng" đúng tại điểm đó. Nếu em được phép định nghĩa lại $f(2)$ bằng đúng một số, em sẽ chọn số nào để "vá" lỗ hổng ấy, biến đồ thị thành một đường liền mạch?

Kiến thức trọng tâm

Hàm số $f$ được gọi là liên tục tại điểm $x=a$ nếu đồng thời thoả ba điều kiện: (1) $f(a)$ xác định; (2) $\lim_{x \to a} f(x)$ tồn tại (tức hai giới hạn một bên bằng nhau); và (3) $\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$ — giới hạn phải đúng bằng giá trị hàm số tại điểm đó, không chỉ tồn tại suông. Thiếu bất kì điều kiện nào trong ba điều kiện này, $f$ được gọi là gián đoạn tại $a$ . Hàm số liên tục trên một khoảng $(p;q)$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó; liên tục trên đoạn $[p;q]$ đòi hỏi thêm liên tục một bên đúng tại hai đầu mút.

Hàm số $f$ được gọi là liên tục tại điểm $x=a$ nếu đồng thời thoả ba điều kiện: (1) $f(a)$ xác định; (2) $\lim_{x \to a} f(x)$ tồn tại (tức hai giới hạn một bên bằng nhau); và (3) $\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$ — giới hạn phải đúng bằng giá trị hàm số tại điểm đó, không chỉ tồn tại suông. Thiếu bất kì điều kiện nào trong ba điều kiện này, $f$ được gọi là gián đoạn tại $a$. Hàm số liên tục trên một khoảng $(p;q)$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó; liên tục trên đoạn $[p;q]$ đòi hỏi thêm liên tục một bên đúng tại hai đầu mút.

Không phải bắt đầu từ số 0: mọi hàm đa thức đều liên tục trên toàn bộ tập số thực, và mọi hàm phân thức hữu tỉ (tỉ số hai đa thức) đều liên tục trên tập xác định của nó — tức tại mọi điểm không làm mẫu bằng 0. Các hàm lượng giác quen thuộc như $\sin x$ , $\cos x$ cũng liên tục trên toàn tập xác định. Tổng, hiệu, tích của hai hàm liên tục vẫn liên tục; thương của hai hàm liên tục cũng liên tục tại những điểm mẫu khác 0. Nhờ vậy, với phần lớn hàm số cho bởi một công thức duy nhất, em chỉ cần xác định tập xác định — hàm số tự động liên tục trên đó, không cần kiểm tra ba điều kiện từng điểm một.

Không phải bắt đầu từ số 0: mọi hàm đa thức đều liên tục trên toàn bộ tập số thực, và mọi hàm phân thức hữu tỉ (tỉ số hai đa thức) đều liên tục trên tập xác định của nó — tức tại mọi điểm không làm mẫu bằng 0. Các hàm lượng giác quen thuộc như $\sin x$, $\cos x$ cũng liên tục trên toàn tập xác định. Tổng, hiệu, tích của hai hàm liên tục vẫn liên tục; thương của hai hàm liên tục cũng liên tục tại những điểm mẫu khác 0. Nhờ vậy, với phần lớn hàm số cho bởi một công thức duy nhất, em chỉ cần xác định tập xác định — hàm số tự động liên tục trên đó, không cần kiểm tra ba điều kiện từng điểm một.

Vấn đề chỉ thật sự nảy sinh ở hai tình huống: khi hàm số cho bởi nhiều công thức khác nhau trên từng khoảng (hàm từng khúc), tại chính điểm nối giữa các khoảng đó; hoặc khi một điểm bị loại khỏi tập xác định (như $x=2$ ở ví dụ khởi động). Chỉ tại những điểm đặc biệt này, em mới cần quay lại kiểm tra đầy đủ ba điều kiện liên tục bằng tay, không đoán bằng mắt.

Với hàm số liên tục trên một đoạn $[p;q]$ (có kể hai đầu mút), định nghĩa nới lỏng đúng một chút tại chính hai đầu mút đó: tại $x=p$ , chỉ cần giới hạn bên phải bằng $f(p)$ (vì không có "bên trái" nào trong đoạn để xét); tương tự tại $x=q$ , chỉ cần giới hạn bên trái bằng $f(q)$ . Mọi điểm nằm giữa $p$ và $q$ vẫn phải thoả đủ ba điều kiện hai bên như bình thường.

Với hàm số liên tục trên một đoạn $[p;q]$ (có kể hai đầu mút), định nghĩa nới lỏng đúng một chút tại chính hai đầu mút đó: tại $x=p$, chỉ cần giới hạn bên phải bằng $f(p)$ (vì không có "bên trái" nào trong đoạn để xét); tương tự tại $x=q$, chỉ cần giới hạn bên trái bằng $f(q)$. Mọi điểm nằm giữa $p$ và $q$ vẫn phải thoả đủ ba điều kiện hai bên như bình thường.

Ví dụ chuẩn

Ví dụ

Liên tục của hàm phân thức trên một khoảng cho trước

1
Xét tính liên tục của $h(x)=\dfrac{1}{x-2}$ trên khoảng $(2;5)$ .
Xét tính liên tục của $h(x)=\dfrac{1}{x-2}$ trên khoảng $(2;5)$.
2
$h$ là hàm phân thức hữu tỉ, xác định tại mọi $x$ sao cho $x-2 \ne 0$ , tức $x \ne 2$ .
$h$ là hàm phân thức hữu tỉ, xác định tại mọi $x$ sao cho $x-2 \ne 0$, tức $x \ne 2$.
3
Khoảng $(2;5)$ không chứa điểm $x=2$ (khoảng mở, không kể hai đầu mút), nên mọi điểm trong $(2;5)$ đều thuộc tập xác định của $h$ .
Khoảng $(2;5)$ không chứa điểm $x=2$ (khoảng mở, không kể hai đầu mút), nên mọi điểm trong $(2;5)$ đều thuộc tập xác định của $h$.
4
Vì $h$ là hàm phân thức hữu tỉ, nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định — do đó $h$ liên tục trên toàn bộ khoảng $(2;5)$ . Lưu ý $h$ KHÔNG liên tục trên $[0;5]$ vì đoạn này chứa điểm $x=2$ nằm ngoài tập xác định.
Vì $h$ là hàm phân thức hữu tỉ, nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định — do đó $h$ liên tục trên toàn bộ khoảng $(2;5)$. Lưu ý $h$ KHÔNG liên tục trên $[0;5]$ vì đoạn này chứa điểm $x=2$ nằm ngoài tập xác định.

Ví dụ khó hơn

Ví dụ

Kiểm tra tính liên tục của một hàm từng khúc

1
Xét tính liên tục tại $x=1$ của hàm số $f(x)=x^2+1$ nếu $x \le 1$ , và $f(x)=2x+1$ nếu $x>1$ .
Xét tính liên tục tại $x=1$ của hàm số $f(x)=x^2+1$ nếu $x \le 1$, và $f(x)=2x+1$ nếu $x>1$.
2
Vì $x=1$ thuộc nhánh $x \le 1$ : $f(1)=1^2+1=2$ .
Vì $x=1$ thuộc nhánh $x \le 1$: $f(1)=1^2+1=2$.
3
Với $x \to 1^-$ , dùng nhánh $x \le 1$ : $\lim_{x \to 1^-} f(x)=1^2+1=2$ .
Với $x \to 1^-$, dùng nhánh $x \le 1$: $\lim_{x \to 1^-} f(x)=1^2+1=2$.
4
Với $x \to 1^+$ , dùng nhánh $x>1$ : $\lim_{x \to 1^+} f(x)=2(1)+1=3$ .
Với $x \to 1^+$, dùng nhánh $x>1$: $\lim_{x \to 1^+} f(x)=2(1)+1=3$.
5
$2 \ne 3$ , hai giới hạn một bên khác nhau nên $\lim_{x \to 1} f(x)$ không tồn tại — điều kiện (2) của định nghĩa liên tục bị vi phạm. Vậy $f$ gián đoạn tại $x=1$ , dù $f(1)$ vẫn xác định.
$2 \ne 3$, hai giới hạn một bên khác nhau nên $\lim_{x \to 1} f(x)$ không tồn tại — điều kiện (2) của định nghĩa liên tục bị vi phạm. Vậy $f$ gián đoạn tại $x=1$, dù $f(1)$ vẫn xác định.
6
Thử $x=0{,}99$ (nhánh trái): $f(0{,}99)\approx 1{,}98$ , gần 2. Thử $x=1{,}01$ (nhánh phải): $f(1{,}01)=2(1{,}01)+1=3{,}02$ , gần 3 chứ không gần 2 — hai phía thật sự tiến tới hai giá trị khác nhau, đúng như kết luận không liên tục.
Thử $x=0{,}99$ (nhánh trái): $f(0{,}99)\approx 1{,}98$, gần 2. Thử $x=1{,}01$ (nhánh phải): $f(1{,}01)=2(1{,}01)+1=3{,}02$, gần 3 chứ không gần 2 — hai phía thật sự tiến tới hai giá trị khác nhau, đúng như kết luận không liên tục.

Khoảng hở thẳng đứng giữa hai nhánh tại x=1 chính là dấu hiệu hàm số gián đoạn — đồ thị bị "nhảy bậc".

Ví dụ dạng thi

Ví dụ

Tìm tham số m để hàm số liên tục tại điểm bị khuyết

1
Cho $g(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ nếu $x \ne 1$ , và $g(1)=m$ . Tìm $m$ để $g$ liên tục tại $x=1$ .
Cho $g(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ nếu $x \ne 1$, và $g(1)=m$. Tìm $m$ để $g$ liên tục tại $x=1$.
2
Với $x \ne 1$ : $\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$ , nên $\lim_{x \to 1} g(x)=1+1=2$ .
Với $x \ne 1$: $\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$, nên $\lim_{x \to 1} g(x)=1+1=2$.
3
Để $g$ liên tục tại $x=1$ , cần $g(1)=\lim_{x \to 1} g(x)$ , tức $m=2$ .
Để $g$ liên tục tại $x=1$, cần $g(1)=\lim_{x \to 1} g(x)$, tức $m=2$.
4
Vậy $m=2$ . Với giá trị này, $g(x)=x+1$ với mọi $x$ (kể cả $x=1$ , vì $g(1)=2=1+1$ ) — lỗ hổng tại $x=1$ đã được "vá" đúng bằng giá trị giới hạn, biến $g$ thành một hàm liên tục trên toàn bộ tập số thực, trùng với đường thẳng $y=x+1$ .
Vậy $m=2$. Với giá trị này, $g(x)=x+1$ với mọi $x$ (kể cả $x=1$, vì $g(1)=2=1+1$) — lỗ hổng tại $x=1$ đã được "vá" đúng bằng giá trị giới hạn, biến $g$ thành một hàm liên tục trên toàn bộ tập số thực, trùng với đường thẳng $y=x+1$.

Trước — hàm gián đoạn: lỗ hổng đúng tại điểm mà giới hạn đã tính được là 2.

Sau — hàm liên tục: đúng cùng một đường thẳng, chỉ khác đúng một điểm tại x=1 nay đã được lấp đầy hoàn toàn.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến: chỉ kiểm tra $\lim_{x \to a} f(x)$ tồn tại rồi dừng lại, quên đối chiếu với $f(a)$ — nhưng liên tục đòi hỏi CẢ HAI phải bằng nhau, không chỉ giới hạn tồn tại suông. Một lỗi khác ở bài toán tìm tham số: quên tính $f(a)$ theo đúng nhánh chứa điểm $a$ (ở ví dụ trên là nhánh $x \le 1$ , không phải nhánh $x>1$ ), dẫn đến so sánh sai vế và ra $m$ sai. Một lỗi thứ ba, tinh vi hơn: cho rằng một hàm số "trông liên tục" trên hình vẽ tay là đủ để kết luận liên tục — luôn phải kiểm chứng bằng đúng ba điều kiện đại số, vì mắt thường dễ bỏ sót một khe hở rất nhỏ giữa hai nhánh.

Sai lầm phổ biến: chỉ kiểm tra $\lim_{x \to a} f(x)$ tồn tại rồi dừng lại, quên đối chiếu với $f(a)$ — nhưng liên tục đòi hỏi CẢ HAI phải bằng nhau, không chỉ giới hạn tồn tại suông. Một lỗi khác ở bài toán tìm tham số: quên tính $f(a)$ theo đúng nhánh chứa điểm $a$ (ở ví dụ trên là nhánh $x \le 1$, không phải nhánh $x>1$), dẫn đến so sánh sai vế và ra $m$ sai. Một lỗi thứ ba, tinh vi hơn: cho rằng một hàm số "trông liên tục" trên hình vẽ tay là đủ để kết luận liên tục — luôn phải kiểm chứng bằng đúng ba điều kiện đại số, vì mắt thường dễ bỏ sót một khe hở rất nhỏ giữa hai nhánh.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

$f$ liên tục tại $a$ khi $f(a)$ xác định, $\lim_{x \to a} f(x)$ tồn tại, và $\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$ . Đa thức liên tục khắp nơi; phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định của nó. Chỉ cần kiểm tra tay tại điểm nối của hàm từng khúc, hoặc tại điểm bị loại khỏi tập xác định của hàm số.

$f$ liên tục tại $a$ khi $f(a)$ xác định, $\lim_{x \to a} f(x)$ tồn tại, và $\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$. Đa thức liên tục khắp nơi; phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định của nó. Chỉ cần kiểm tra tay tại điểm nối của hàm từng khúc, hoặc tại điểm bị loại khỏi tập xác định của hàm số.

Bài tiếp theo dùng chính khái niệm liên tục vừa học để chứng minh một phương trình có nghiệm mà không cần giải trực tiếp — một kĩ thuật rất hữu ích khi phương trình quá phức tạp để tìm nghiệm bằng công thức. Điều kiện liên tục trên một đoạn, vừa học ở bài này, chính là điều kiện tiên quyết để kĩ thuật đó áp dụng được.