Bài học

Bảng tần số ghép nhóm và số trung bình

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em đọc đúng một bảng tần số ghép nhóm và tính được số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm bằng giá trị đại diện của từng nhóm.

Kiến thức nền cần nhớ

Ở lớp 10, em đã biết cách tính số trung bình cho mẫu số liệu không ghép nhóm: cộng tất cả các giá trị rồi chia cho số lượng giá trị (ôn lại kiến thức lớp 10). Nhưng dữ liệu thực tế — chiều cao, cân nặng, thời gian — thường được thu thập với số lượng lớn và trình bày theo từng khoảng giá trị chứ không liệt kê từng số riêng lẻ. Mẫu số liệu như vậy gọi là mẫu số liệu ghép nhóm, và bài này học cách tính số trung bình khi ta không còn biết giá trị chính xác của từng phần tử.

Khởi động

Một lớp có 40 học sinh, nhưng sổ khám sức khỏe chỉ ghi "có 12 bạn cao từ 160 cm đến dưới 165 cm" chứ không ghi chiều cao cụ thể của từng bạn. Không biết số liệu gốc, làm sao tính được chiều cao trung bình của cả lớp?

Kiến thức trọng tâm

Một bảng tần số ghép nhóm chia mẫu số liệu thành các nhóm liên tiếp dạng $[a;b)$ , mỗi nhóm đi kèm một tần số $n_i$ — số giá trị rơi vào nhóm đó. Vì không biết giá trị cụ thể của từng phần tử trong một nhóm, ta xấp xỉ mọi giá trị trong nhóm bằng giá trị đại diện $c_i$ , chính là trung điểm của nhóm: $c_i = \frac{a+b}{2}$ . Đây là một phép xấp xỉ, không phải giá trị đúng tuyệt đối — nhưng với cỡ mẫu đủ lớn, sai số này thường rất nhỏ và được chấp nhận trong thống kê.

Một bảng tần số ghép nhóm chia mẫu số liệu thành các nhóm liên tiếp dạng $[a;b)$, mỗi nhóm đi kèm một tần số $n_i$ — số giá trị rơi vào nhóm đó. Vì không biết giá trị cụ thể của từng phần tử trong một nhóm, ta xấp xỉ mọi giá trị trong nhóm bằng giá trị đại diện $c_i$, chính là trung điểm của nhóm: $c_i = \frac{a+b}{2}$. Đây là một phép xấp xỉ, không phải giá trị đúng tuyệt đối — nhưng với cỡ mẫu đủ lớn, sai số này thường rất nhỏ và được chấp nhận trong thống kê.

Coi như $n_i$ giá trị trong nhóm $i$ đều bằng $c_i$ , số trung bình của toàn mẫu là trung bình có trọng số của các giá trị đại diện, với trọng số chính là tần số:

Coi như $n_i$ giá trị trong nhóm $i$ đều bằng $c_i$, số trung bình của toàn mẫu là trung bình có trọng số của các giá trị đại diện, với trọng số chính là tần số:

$\overline{x} = \frac{n_1c_1+n_2c_2+\cdots+n_kc_k}{n}, \quad n=n_1+n_2+\cdots+n_k$

$$\overline{x} = \frac{n_1c_1+n_2c_2+\cdots+n_kc_k}{n}, \quad n=n_1+n_2+\cdots+n_k$$

Trước khi tính, luôn kiểm tra $n_1+n_2+\cdots+n_k$ có đúng bằng cỡ mẫu $n$ đã cho hay không — một bảng tần số sai tổng sẽ kéo theo mọi phép tính sau đó đều sai.

Ý tưởng "trung bình có trọng số" không xa lạ với em. Điểm trung bình học kỳ của một môn gồm nhiều đầu điểm (miệng, 15 phút, giữa kỳ, cuối kỳ) cũng được cộng theo hệ số chứ không cộng ngang bằng nhau — hệ số càng lớn, đầu điểm đó càng kéo điểm trung bình về phía nó. Ở đây, tần số $n_i$ đóng đúng vai trò của hệ số: nhóm càng nhiều học sinh, giá trị đại diện của nhóm đó càng ảnh hưởng mạnh đến $\overline{x}$ .

Một điều cần lưu ý: số trung bình tính theo cách này là một ước lượng, không phải giá trị tuyệt đối chính xác của mẫu gốc, vì hai học sinh cùng nằm trong nhóm $[160;165)$ có thể cao 162 cm và 164 cm, chứ không nhất thiết cùng bằng 162,5 cm. Tuy nhiên khi cỡ mẫu đủ lớn và các giá trị trong mỗi nhóm phân bố tương đối đều quanh trung điểm, phần chênh lệch dư thừa và thiếu hụt so với trung điểm có xu hướng triệt tiêu lẫn nhau, nên $\overline{x}$ tính theo công thức trên vẫn là một xấp xỉ đáng tin cậy cho số trung bình thật của mẫu.

Công thức trên áp dụng được ngay cả khi các nhóm không có cùng độ rộng, miễn là em xác định đúng trung điểm của từng nhóm theo đúng đầu mút của nhóm đó — không dùng chung một độ rộng "mặc định" cho mọi nhóm. Đây là điểm học sinh hay quên khi bảng có một nhóm mở (như $[180;+\infty)$ ): trường hợp đó cần thêm giả định hợp lý về đầu mút phải trước khi tính trung điểm, và đề thi chuẩn luôn cho đủ dữ liệu để tránh tình huống này.

Công thức trên áp dụng được ngay cả khi các nhóm không có cùng độ rộng, miễn là em xác định đúng trung điểm của từng nhóm theo đúng đầu mút của nhóm đó — không dùng chung một độ rộng "mặc định" cho mọi nhóm. Đây là điểm học sinh hay quên khi bảng có một nhóm mở (như $[180;+\infty)$): trường hợp đó cần thêm giả định hợp lý về đầu mút phải trước khi tính trung điểm, và đề thi chuẩn luôn cho đủ dữ liệu để tránh tình huống này.

Nhóm 160-165 cm có tần số lớn nhất trong mẫu 40 học sinh.

Ví dụ

Tính số trung bình chiều cao của 40 học sinh

1
Chiều cao (cm) của 40 học sinh một lớp 11 được ghi lại theo bảng tần số ghép nhóm: $[150;155)$ : 3; $[155;160)$ : 7; $[160;165)$ : 12; $[165;170)$ : 10; $[170;175)$ : 6; $[175;180)$ : 2. Tính chiều cao trung bình của lớp.
Chiều cao (cm) của 40 học sinh một lớp 11 được ghi lại theo bảng tần số ghép nhóm: $[150;155)$: 3; $[155;160)$: 7; $[160;165)$: 12; $[165;170)$: 10; $[170;175)$: 6; $[175;180)$: 2. Tính chiều cao trung bình của lớp.
2
Ta có $3+7+12+10+6+2=40$ , đúng bằng cỡ mẫu đã cho, nên bảng tần số hợp lệ.
Ta có $3+7+12+10+6+2=40$, đúng bằng cỡ mẫu đã cho, nên bảng tần số hợp lệ.
3
Giá trị đại diện của mỗi nhóm là trung điểm: $152{,}5;\ 157{,}5;\ 162{,}5;\ 167{,}5;\ 172{,}5;\ 177{,}5$ .
Giá trị đại diện của mỗi nhóm là trung điểm: $152{,}5;\ 157{,}5;\ 162{,}5;\ 167{,}5;\ 172{,}5;\ 177{,}5$.
4
Ta có $\overline{x}=\dfrac{3\times152{,}5+7\times157{,}5+12\times162{,}5+10\times167{,}5+6\times172{,}5+2\times177{,}5}{40}$ .
Ta có $\overline{x}=\dfrac{3\times152{,}5+7\times157{,}5+12\times162{,}5+10\times167{,}5+6\times172{,}5+2\times177{,}5}{40}$.
5
Tử số bằng $457{,}5+1102{,}5+1950+1675+1035+355=6575$ .
Tử số bằng $457{,}5+1102{,}5+1950+1675+1035+355=6575$.
6
Vậy $\overline{x}=\dfrac{6575}{40}=164{,}375\approx164{,}4$ cm.
Vậy $\overline{x}=\dfrac{6575}{40}=164{,}375\approx164{,}4$ cm.

Kết quả 164,4 cm nằm gọn trong khoảng dữ liệu $[150;180)$ , một dấu hiệu hợp lý đầu tiên để kiểm tra đáp số — nếu số trung bình tính ra nhỏ hơn 150 hay lớn hơn 180, chắc chắn đã có sai sót ở đâu đó.

Kết quả 164,4 cm nằm gọn trong khoảng dữ liệu $[150;180)$, một dấu hiệu hợp lý đầu tiên để kiểm tra đáp số — nếu số trung bình tính ra nhỏ hơn 150 hay lớn hơn 180, chắc chắn đã có sai sót ở đâu đó.

Ví dụ

Tìm tần số còn thiếu rồi tính số trung bình (dạng thi)

1
Thời gian hoàn thành một bài kiểm tra (phút) của 50 học sinh được ghi theo bảng: $[20;25)$ : 5; $[25;30)$ : 15; $[30;35)$ : $x$ ; $[35;40)$ : 8; $[40;45)$ : 2. Biết cỡ mẫu $n=50$ , tìm $x$ rồi tính thời gian trung bình.
Thời gian hoàn thành một bài kiểm tra (phút) của 50 học sinh được ghi theo bảng: $[20;25)$: 5; $[25;30)$: 15; $[30;35)$: $x$; $[35;40)$: 8; $[40;45)$: 2. Biết cỡ mẫu $n=50$, tìm $x$ rồi tính thời gian trung bình.
2
Ta có $5+15+x+8+2=50$ , suy ra $x=50-30=20$ .
Ta có $5+15+x+8+2=50$, suy ra $x=50-30=20$.
3
Các giá trị đại diện lần lượt là $22{,}5;\ 27{,}5;\ 32{,}5;\ 37{,}5;\ 42{,}5$ .
Các giá trị đại diện lần lượt là $22{,}5;\ 27{,}5;\ 32{,}5;\ 37{,}5;\ 42{,}5$.
4
$\overline{x}=\dfrac{5\times22{,}5+15\times27{,}5+20\times32{,}5+8\times37{,}5+2\times42{,}5}{50}$ .
$\overline{x}=\dfrac{5\times22{,}5+15\times27{,}5+20\times32{,}5+8\times37{,}5+2\times42{,}5}{50}$.
5
Tử số bằng $112{,}5+412{,}5+650+300+85=1560$ , nên $\overline{x}=\dfrac{1560}{50}=31{,}2$ phút. Vậy thời gian trung bình hoàn thành bài kiểm tra là 31,2 phút.
Tử số bằng $112{,}5+412{,}5+650+300+85=1560$, nên $\overline{x}=\dfrac{1560}{50}=31{,}2$ phút. Vậy thời gian trung bình hoàn thành bài kiểm tra là 31,2 phút.

Ví dụ

Vì sao cách tính này là một xấp xỉ tốt

1
Chiều cao thật của 5 học sinh là 151, 158, 163, 166, 178 (cm). Nếu ghép các số liệu này vào ba nhóm độ rộng 10 — $[150;160)$ , $[160;170)$ , $[170;180)$ — rồi tính số trung bình theo giá trị đại diện, kết quả có gần với số trung bình thật không?
Chiều cao thật của 5 học sinh là 151, 158, 163, 166, 178 (cm). Nếu ghép các số liệu này vào ba nhóm độ rộng 10 — $[150;160)$, $[160;170)$, $[170;180)$ — rồi tính số trung bình theo giá trị đại diện, kết quả có gần với số trung bình thật không?
2
Ta có $\overline{x}_{thật}=\dfrac{151+158+163+166+178}{5}=\dfrac{816}{5}=163{,}2$ cm.
Ta có $\overline{x}_{thật}=\dfrac{151+158+163+166+178}{5}=\dfrac{816}{5}=163{,}2$ cm.
3
Nhóm $[150;160)$ chứa 151 và 158 (tần số 2, đại diện 155); nhóm $[160;170)$ chứa 163 và 166 (tần số 2, đại diện 165); nhóm $[170;180)$ chứa 178 (tần số 1, đại diện 175).
Nhóm $[150;160)$ chứa 151 và 158 (tần số 2, đại diện 155); nhóm $[160;170)$ chứa 163 và 166 (tần số 2, đại diện 165); nhóm $[170;180)$ chứa 178 (tần số 1, đại diện 175).
4
$\overline{x}_{ghép nhóm}=\dfrac{2\times155+2\times165+1\times175}{5}=\dfrac{310+330+175}{5}=\dfrac{815}{5}=163$ cm.
$\overline{x}_{ghép nhóm}=\dfrac{2\times155+2\times165+1\times175}{5}=\dfrac{310+330+175}{5}=\dfrac{815}{5}=163$ cm.
5
Vậy $\overline{x}_{ghép nhóm}=163$ cm chỉ lệch $0{,}2$ cm so với số trung bình thật $163{,}2$ cm — sai số rất nhỏ so với cỡ số liệu, cho thấy phép xấp xỉ bằng giá trị đại diện là đáng tin cậy khi các giá trị trong mỗi nhóm không quá lệch khỏi trung điểm.
Vậy $\overline{x}_{ghép nhóm}=163$ cm chỉ lệch $0{,}2$ cm so với số trung bình thật $163{,}2$ cm — sai số rất nhỏ so với cỡ số liệu, cho thấy phép xấp xỉ bằng giá trị đại diện là đáng tin cậy khi các giá trị trong mỗi nhóm không quá lệch khỏi trung điểm.

Hai ví dụ đầu cùng dùng một công thức, nhưng đề thứ hai đòi hỏi thêm một bước trước đó: tìm tần số còn thiếu từ điều kiện tổng tần số. Đây là dạng câu hỏi thường gặp trong đề kiểm tra — đề không cho đủ bảng tần số ngay từ đầu mà bắt học sinh dùng dữ kiện cỡ mẫu để hoàn thiện bảng trước khi tính toán. Bỏ qua bước kiểm tra tổng tần số ở đầu bài dễ khiến em tính nhầm ngay từ bước xác định $x$ .

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là dùng đầu mút của nhóm (như 150 hoặc 155) thay cho trung điểm khi tính giá trị đại diện. Sai lầm khác là quên nhân tần số — tức là lấy trung bình cộng đơn giản của các giá trị đại diện mà bỏ qua trọng số $n_i$ , kết quả sẽ lệch hẳn khi các nhóm có tần số chênh lệch nhau nhiều. Một sai lầm tinh vi hơn: cộng nhầm tử số nhưng vẫn chia đúng cho $n$ , nên đáp số sai lệch nhẹ và dễ bị bỏ qua nếu không kiểm tra lại phép cộng.

Sai lầm phổ biến nhất là dùng đầu mút của nhóm (như 150 hoặc 155) thay cho trung điểm khi tính giá trị đại diện. Sai lầm khác là quên nhân tần số — tức là lấy trung bình cộng đơn giản của các giá trị đại diện mà bỏ qua trọng số $n_i$, kết quả sẽ lệch hẳn khi các nhóm có tần số chênh lệch nhau nhiều. Một sai lầm tinh vi hơn: cộng nhầm tử số nhưng vẫn chia đúng cho $n$, nên đáp số sai lệch nhẹ và dễ bị bỏ qua nếu không kiểm tra lại phép cộng.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Số trung bình của mẫu ghép nhóm: $\overline{x}=\dfrac{\sum n_ic_i}{n}$ , với $c_i$ là giá trị đại diện (trung điểm) của nhóm $i$ . Luôn kiểm tra tổng tần số bằng $n$ trước khi tính.

Số trung bình của mẫu ghép nhóm: $\overline{x}=\dfrac{\sum n_ic_i}{n}$, với $c_i$ là giá trị đại diện (trung điểm) của nhóm $i$. Luôn kiểm tra tổng tần số bằng $n$ trước khi tính.

Bài tiếp theo dùng lại đúng bảng chiều cao 40 học sinh này để tìm trung vị — một cách đo xu thế trung tâm khác, ít bị kéo lệch bởi một vài giá trị bất thường hơn so với số trung bình vừa học.