Bài học

Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em định nghĩa và tính đúng khoảng biến thiên $R$ của một mẫu số liệu ghép nhóm, đồng thời chỉ ra được điểm yếu của số đo này — điều khiến khoá học phải học thêm những số đo khác ở các bài sau.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước em đã ôn lại rằng một mẫu ghép nhóm gồm các nhóm nửa khoảng $[a_1;a_2), [a_2;a_3), \ldots, [a_k;a_{k+1})$ liên tiếp nhau, và dữ liệu gốc bên trong mỗi nhóm đã không còn được lưu — chỉ còn tần số. Bài này chỉ dùng đúng hai con số trong toàn bộ bảng: đầu mút trái của nhóm đầu tiên $a_1$ và đầu mút phải của nhóm cuối cùng $a_{k+1}$ .

Khởi động

Với dữ liệu chưa ghép nhóm, khoảng cách giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là con số đo độ phân tán đơn giản nhất. Nhưng khi dữ liệu đã ghép nhóm, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cụ thể đã mất rồi — chỉ còn biết chúng nằm trong nhóm nào. Vậy quy ước nào cho phép vẫn tính được một con số tương tự?

Kiến thức trọng tâm

Khoảng biến thiên (mẫu ghép nhóm)Kí hiệu

R

, là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng có chứa dữ liệu và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu:

R = a_{k+1} - a_1

.Kí hiệu $R$, là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng có chứa dữ liệu và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu: $R = a_{k+1} - a_1$.

Quy ước này coi như mọi quan sát của mẫu đều nằm gọn trong đoạn $[a_1;a_{k+1}]$ — điều luôn đúng vì các nhóm liên tiếp và không chừa khoảng trống. $R$ vì thế là một cận trên hợp lý cho độ trải rộng thực của dữ liệu gốc, dùng thay cho hiệu số liệu lớn nhất — nhỏ nhất khi số liệu gốc không còn.

$R$ tính rất nhanh — chỉ cần đọc hai đầu bảng — nhưng đó cũng chính là điểm yếu: $R$ chỉ nhìn vào hai nhóm biên (đầu và cuối), bỏ qua hoàn toàn cách dữ liệu phân bố ở phần giữa. Hai mẫu có thể có cùng $R$ dù mức độ tập trung dữ liệu ở giữa hoàn toàn khác nhau — đây chính là điều ví dụ dưới đây sẽ cho em thấy trực tiếp.

Dù có điểm yếu đó, $R$ vẫn được dùng nhiều trong thực tế đúng nhờ tính nhanh gọn của nó: một xưởng kiểm tra chất lượng linh kiện muốn biết nhanh "độ trồi sụt lớn nhất" của một lô hàng không cần chờ tính phương sai; một đề thi trắc nghiệm phần trả lời ngắn cũng hay hỏi thẳng $R$ vì chỉ cần đọc hai đầu bảng là ra đáp số, không cần máy tính hỗ trợ.

Dù có điểm yếu đó, $R$ vẫn được dùng nhiều trong thực tế đúng nhờ tính nhanh gọn của nó: một xưởng kiểm tra chất lượng linh kiện muốn biết nhanh \"độ trồi sụt lớn nhất\" của một lô hàng không cần chờ tính phương sai; một đề thi trắc nghiệm phần trả lời ngắn cũng hay hỏi thẳng $R$ vì chỉ cần đọc hai đầu bảng là ra đáp số, không cần máy tính hỗ trợ.

Ví dụ 1 — Tính khoảng biến thiên

Ví dụ

Khoảng biến thiên của lớp 12A

1
Tính khoảng biến thiên $R$ của bảng thời gian tự học buổi tối lớp 12A (các nhóm từ $[20;30)$ đến $[60;70)$ ).
Tính khoảng biến thiên $R$ của bảng thời gian tự học buổi tối lớp 12A (các nhóm từ $[20;30)$ đến $[60;70)$).
2
Nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu là $[20;30)$ , nên $a_1=20$ . Nhóm cuối cùng có chứa dữ liệu là $[60;70)$ , nên $a_{k+1}=70$ .
Nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu là $[20;30)$, nên $a_1=20$. Nhóm cuối cùng có chứa dữ liệu là $[60;70)$, nên $a_{k+1}=70$.
3
$R = a_{k+1}-a_1 = 70-20 = 50$ (phút).
$R = a_{k+1}-a_1 = 70-20 = 50$ (phút).
4
Giá trị 50 phút bằng đúng tổng độ rộng 5 nhóm ( $5\times10$ ), hợp lý vì các nhóm liên tiếp không chồng lấn và không có khoảng trống giữa chúng. Vậy $R=50$ phút.
Giá trị 50 phút bằng đúng tổng độ rộng 5 nhóm ($5\times10$), hợp lý vì các nhóm liên tiếp không chồng lấn và không có khoảng trống giữa chúng. Vậy $R=50$ phút.

Bảng dữ liệu thứ hai — lớp 12B

Lớp 12B cũng có 40 học sinh, khảo sát cùng khoảng thời gian tự học buổi tối, chia thành đúng 5 nhóm như lớp 12A, nhưng phân bố tần số khác hẳn — tập trung đông vào nhóm giữa:\n\n| Nhóm (phút) | Tần số | |---|---| | [20; 30) | 2 | | [30; 40) | 6 | | [40; 50) | 20 | | [50; 60) | 8 | | [60; 70) | 4 | | Tổng | 40 |

Phân bố thời gian tự học buổi tối của lớp 12B — cùng 5 nhóm với lớp 12A nhưng tần số tập trung hơn ở giữa.

Ví dụ 2 — Cùng khoảng biến thiên, có thực sự giống nhau?

Ví dụ

So sánh khoảng biến thiên của lớp 12A và 12B

1
Tính khoảng biến thiên của lớp 12B và so sánh với lớp 12A. Hai lớp có "mức độ phân tán" giống nhau không?
2
Nhóm đầu tiên và cuối cùng của lớp 12B vẫn là $[20;30)$ và $[60;70)$ — giống hệt lớp 12A. Suy ra $R_B = 70-20 = 50$ (phút).
Nhóm đầu tiên và cuối cùng của lớp 12B vẫn là $[20;30)$ và $[60;70)$ — giống hệt lớp 12A. Suy ra $R_B = 70-20 = 50$ (phút).
3
Ta có $R_A = 50$ phút và $R_B = 50$ phút — hai khoảng biến thiên bằng nhau tuyệt đối. (1)
Ta có $R_A = 50$ phút và $R_B = 50$ phút — hai khoảng biến thiên bằng nhau tuyệt đối. (1)
4
Nhưng nhìn lại hai biểu đồ cột: lớp 12A có tần số trải khá đều trên 5 nhóm (4, 8, 14, 10, 4), còn lớp 12B dồn tới 20 trên 40 học sinh vào đúng một nhóm $[40;50)$ (tần số 2, 6, 20, 8, 4). (2)
Nhưng nhìn lại hai biểu đồ cột: lớp 12A có tần số trải khá đều trên 5 nhóm (4, 8, 14, 10, 4), còn lớp 12B dồn tới 20 trên 40 học sinh vào đúng một nhóm $[40;50)$ (tần số 2, 6, 20, 8, 4). (2)
5
Từ (1) và (2), khoảng biến thiên bằng nhau không có nghĩa là hai mẫu phân tán giống nhau — $R$ chỉ nhìn vào hai đầu mút, hoàn toàn mù trước cách dữ liệu tụ lại hay trải ra ở giữa. Vậy cần một số đo khác để phân biệt hai lớp này, đó là nội dung bài sau.
Từ (1) và (2), khoảng biến thiên bằng nhau không có nghĩa là hai mẫu phân tán giống nhau — $R$ chỉ nhìn vào hai đầu mút, hoàn toàn mù trước cách dữ liệu tụ lại hay trải ra ở giữa. Vậy cần một số đo khác để phân biệt hai lớp này, đó là nội dung bài sau.

Ví dụ 3 — Khoảng biến thiên trên thang điểm 10

Ví dụ

Khoảng biến thiên điểm kiểm tra 15 phút của lớp 12C

1
Điểm kiểm tra 15 phút môn Toán (thang điểm 10) của 40 học sinh lớp 12C được ghép thành 4 nhóm độ rộng 2: $[2;4), [4;6), [6;8), [8;10)$ . Tính khoảng biến thiên.
Điểm kiểm tra 15 phút môn Toán (thang điểm 10) của 40 học sinh lớp 12C được ghép thành 4 nhóm độ rộng 2: $[2;4), [4;6), [6;8), [8;10)$. Tính khoảng biến thiên.
2
Nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu là $[2;4)$ nên $a_1=2$ ; nhóm cuối cùng là $[8;10)$ nên $a_{k+1}=10$ .
Nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu là $[2;4)$ nên $a_1=2$; nhóm cuối cùng là $[8;10)$ nên $a_{k+1}=10$.
3
$R = 10 - 2 = 8$ (điểm).
$R = 10 - 2 = 8$ (điểm).
4
Vì thang điểm chỉ trải trên đoạn $[0;10]$ , một khoảng biến thiên 8 điểm — gần hết cả thang điểm — là con số hợp lý cho một bài kiểm tra có cả học sinh yếu lẫn học sinh giỏi. Vậy $R = 8$ điểm.
Vì thang điểm chỉ trải trên đoạn $[0;10]$, một khoảng biến thiên 8 điểm — gần hết cả thang điểm — là con số hợp lý cho một bài kiểm tra có cả học sinh yếu lẫn học sinh giỏi. Vậy $R = 8$ điểm.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Bẫy: lấy giá trị đại diện thay cho đầu mút

Một lỗi phổ biến là lấy giá trị đại diện (trung điểm) của nhóm đầu và nhóm cuối để tính $R$ , thay vì lấy đúng đầu mút. Với lớp 12A, làm sai theo cách đó sẽ cho $R' = 65 - 25 = 40$ — sai lệch hẳn so với giá trị đúng 50. Khoảng biến thiên luôn dùng đầu mút của nhóm, không dùng giá trị đại diện.

Một lỗi phổ biến là lấy giá trị đại diện (trung điểm) của nhóm đầu và nhóm cuối để tính $R$, thay vì lấy đúng đầu mút. Với lớp 12A, làm sai theo cách đó sẽ cho $R' = 65 - 25 = 40$ — sai lệch hẳn so với giá trị đúng 50. Khoảng biến thiên luôn dùng đầu mút của nhóm, không dùng giá trị đại diện.

Kiểm tra nhanh

Tóm tắt

Khoảng biến thiên $R = a_{k+1}-a_1$ là số đo phân tán đơn giản và nhanh nhất, nhưng chỉ nhìn vào hai đầu mút biên nên dễ bỏ sót sự khác biệt thực sự ở phần giữa dữ liệu — hai mẫu có $R$ bằng nhau vẫn có thể phân tán rất khác nhau. Ghi nhớ hai điều: $R$ luôn dùng đầu mút của nhóm, không dùng giá trị đại diện; và một $R$ nhỏ chỉ đảm bảo hai đầu mút gần nhau, không đảm bảo gì về cách dữ liệu tụ lại ở giữa.

Bài tiếp theo quay lại đúng hai bảng dữ liệu lớp 12A và 12B để tính một số đo khác — khoảng tứ phân vị — xem nó có phân biệt được điều mà khoảng biến thiên đã bỏ lỡ hay không. Gợi ý trước: số đo đó sẽ chỉ nhìn vào 50% dữ liệu ở giữa mẫu, thay vì hai đầu mút xa nhất.