Bài học

Khoảng tứ phân vị của mẫu ghép nhóm

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính đúng khoảng tứ phân vị $\Delta Q$ của mẫu ghép nhóm và giải thích được vì sao số đo này phản ánh độ phân tán trung thực hơn khoảng biến thiên trong trường hợp lớp 12A và 12B ở bài trước.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài 1 của chương đã nhắc lại cách tính $Q_1$ và $Q_3$ của mẫu ghép nhóm bằng nội suy tuyến tính: tìm nhóm chứa vị trí $\dfrac{n}{4}$ (cho $Q_1$ ) hoặc $\dfrac{3n}{4}$ (cho $Q_3$ ) bằng tần số tích luỹ, rồi nội suy trong nhóm đó. Với lớp 12A, em đã tính được $Q_1=37,5$ và $Q_3=54$ (phút).

Bài 1 của chương đã nhắc lại cách tính $Q_1$ và $Q_3$ của mẫu ghép nhóm bằng nội suy tuyến tính: tìm nhóm chứa vị trí $\dfrac{n}{4}$ (cho $Q_1$) hoặc $\dfrac{3n}{4}$ (cho $Q_3$) bằng tần số tích luỹ, rồi nội suy trong nhóm đó. Với lớp 12A, em đã tính được $Q_1=37,5$ và $Q_3=54$ (phút).

Khởi động

Bài trước, lớp 12A và 12B có cùng khoảng biến thiên $R=50$ phút, nhưng biểu đồ tần số cho thấy rõ ràng lớp 12B tập trung quanh giữa hơn nhiều. Nếu $R$ không phân biệt được hai lớp này, số đo nào có thể?

Kiến thức trọng tâm

Khoảng tứ phân vị (mẫu ghép nhóm)Kí hiệu

\Delta Q

, là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất:

\Delta Q = Q_3 - Q_1

.Kí hiệu $\Delta Q$, là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất: $\Delta Q = Q_3 - Q_1$.

Theo định nghĩa tứ phân vị, khoảng $[Q_1;Q_3]$ luôn chứa đúng 50% lượng dữ liệu nằm giữa mẫu — bỏ đi 25% thấp nhất và 25% cao nhất ở hai đầu. Vì phần bị bỏ đi chính là hai nhóm biên — nơi khoảng biến thiên $R$ lại đặt toàn bộ trọng số vào — nên $\Delta Q$ ít bị chi phối bởi một nhóm biên có tần số bất thường (quá thưa hoặc quá đông) hơn hẳn $R$ .

Nói cách khác, $R$ và $\Delta Q$ trả lời hai câu hỏi khác nhau: $R$ hỏi "cả mẫu trải rộng bao xa", còn $\Delta Q$ hỏi "riêng phần lõi — nửa dữ liệu ở giữa — tụ lại hay trải ra bao nhiêu". Một mẫu có thể có $R$ lớn (vài giá trị hiếm ở biên) nhưng $\Delta Q$ nhỏ (phần lớn dữ liệu vẫn tụ quanh trung tâm). Ngược lại cũng có thể xảy ra: $R$ nhỏ nhưng $\Delta Q$ lớn, nếu dữ liệu trải khá đều trên toàn bộ khoảng biến thiên hẹp đó — hai số đo này không thay thế nhau, mà bổ sung cho nhau.

Nói cách khác, $R$ và $\Delta Q$ trả lời hai câu hỏi khác nhau: $R$ hỏi \"cả mẫu trải rộng bao xa\", còn $\Delta Q$ hỏi \"riêng phần lõi — nửa dữ liệu ở giữa — tụ lại hay trải ra bao nhiêu\". Một mẫu có thể có $R$ lớn (vài giá trị hiếm ở biên) nhưng $\Delta Q$ nhỏ (phần lớn dữ liệu vẫn tụ quanh trung tâm). Ngược lại cũng có thể xảy ra: $R$ nhỏ nhưng $\Delta Q$ lớn, nếu dữ liệu trải khá đều trên toàn bộ khoảng biến thiên hẹp đó — hai số đo này không thay thế nhau, mà bổ sung cho nhau.

Hình dung một tình huống cụ thể hơn: giả sử trong lớp 12A có thêm một học sinh học rất khuya, khiến nhóm cuối $[60;70)$ đổi thành $[60;140)$ chỉ vì một trường hợp cá biệt. Khoảng biến thiên $R$ sẽ nhảy vọt từ 50 lên 120 phút chỉ vì đúng một quan sát bất thường — trong khi $Q_1$ và $Q_3$ , vốn chỉ phụ thuộc vào cách tần số phân bố quanh vị trí $\dfrac{n}{4}$ và $\dfrac{3n}{4}$ , hầu như không đổi. Đó là lý do các đề thi thống kê hiện đại — kể cả cấu trúc đề tốt nghiệp THPT từ 2025 — thường đòi hỏi học sinh nhận ra $\Delta Q$ mới là số đo đáng tin khi dữ liệu có khả năng chứa giá trị bất thường.

Hình dung một tình huống cụ thể hơn: giả sử trong lớp 12A có thêm một học sinh học rất khuya, khiến nhóm cuối $[60;70)$ đổi thành $[60;140)$ chỉ vì một trường hợp cá biệt. Khoảng biến thiên $R$ sẽ nhảy vọt từ 50 lên 120 phút chỉ vì đúng một quan sát bất thường — trong khi $Q_1$ và $Q_3$, vốn chỉ phụ thuộc vào cách tần số phân bố quanh vị trí $\dfrac{n}{4}$ và $\dfrac{3n}{4}$, hầu như không đổi. Đó là lý do các đề thi thống kê hiện đại — kể cả cấu trúc đề tốt nghiệp THPT từ 2025 — thường đòi hỏi học sinh nhận ra $\Delta Q$ mới là số đo đáng tin khi dữ liệu có khả năng chứa giá trị bất thường.

Ví dụ 1 — Tính khoảng tứ phân vị của lớp 12A và 12B

Ví dụ

So sánh khoảng tứ phân vị của lớp 12A và 12B

1
Dùng lại hai bảng thời gian tự học của lớp 12A và 12B, tính khoảng tứ phân vị của mỗi lớp và so sánh.
2
Theo bài trước, $Q_1=37,5$ và $Q_3=54$ (phút). Suy ra $\Delta Q_A = Q_3-Q_1 = 54-37,5 = 16,5$ (phút).
Theo bài trước, $Q_1=37,5$ và $Q_3=54$ (phút). Suy ra $\Delta Q_A = Q_3-Q_1 = 54-37,5 = 16,5$ (phút).
3
Tần số tích luỹ của lớp 12B là $2, 8, 28, 36, 40$ . Vị trí $Q_1=\dfrac{40}{4}=10$ nằm giữa 8 (hết nhóm $[30;40)$ ) và 28 (hết nhóm $[40;50)$ ), nên $Q_1$ rơi vào nhóm $[40;50)$ với $C_{m-1}=8,\ n_m=20$ . (1)
Tần số tích luỹ của lớp 12B là $2, 8, 28, 36, 40$. Vị trí $Q_1=\dfrac{40}{4}=10$ nằm giữa 8 (hết nhóm $[30;40)$) và 28 (hết nhóm $[40;50)$), nên $Q_1$ rơi vào nhóm $[40;50)$ với $C_{m-1}=8,\ n_m=20$. (1)
4
$Q_1 = 40 + \dfrac{10-8}{20}\cdot10 = 41$ (phút).
$Q_1 = 40 + \dfrac{10-8}{20}\cdot10 = 41$ (phút).
5
Vị trí $Q_3 = \dfrac{3\cdot40}{4}=30$ nằm giữa 28 (hết nhóm $[40;50)$ ) và 36 (hết nhóm $[50;60)$ ), nên $Q_3$ rơi vào nhóm $[50;60)$ với $C_{m-1}=28,\ n_m=8$ . (2). Nội suy: $Q_3 = 50 + \dfrac{30-28}{8}\cdot10 = 52,5$ (phút).
Vị trí $Q_3 = \dfrac{3\cdot40}{4}=30$ nằm giữa 28 (hết nhóm $[40;50)$) và 36 (hết nhóm $[50;60)$), nên $Q_3$ rơi vào nhóm $[50;60)$ với $C_{m-1}=28,\ n_m=8$. (2). Nội suy: $Q_3 = 50 + \dfrac{30-28}{8}\cdot10 = 52,5$ (phút).
6
Từ (1) và (2): $\Delta Q_B = Q_3-Q_1 = 52,5-41 = 11,5$ (phút).
Từ (1) và (2): $\Delta Q_B = Q_3-Q_1 = 52,5-41 = 11,5$ (phút).
7
Ta có $\Delta Q_A = 16,5$ phút còn $\Delta Q_B = 11,5$ phút, tức $\Delta Q_A > \Delta Q_B$ — khác hẳn với khoảng biến thiên (cả hai đều bằng 50 phút). Vậy khoảng tứ phân vị đã lộ ra điều $R$ che giấu: nửa dữ liệu ở giữa của lớp 12B tụ lại gần nhau hơn lớp 12A, đúng như biểu đồ tần số đã gợi ý — lớp 12B dồn 20 trên 40 học sinh vào một nhóm duy nhất.
Ta có $\Delta Q_A = 16,5$ phút còn $\Delta Q_B = 11,5$ phút, tức $\Delta Q_A > \Delta Q_B$ — khác hẳn với khoảng biến thiên (cả hai đều bằng 50 phút). Vậy khoảng tứ phân vị đã lộ ra điều $R$ che giấu: nửa dữ liệu ở giữa của lớp 12B tụ lại gần nhau hơn lớp 12A, đúng như biểu đồ tần số đã gợi ý — lớp 12B dồn 20 trên 40 học sinh vào một nhóm duy nhất.

Ví dụ 2 — Khoảng tứ phân vị của một mẫu khác

Ví dụ

Khoảng tứ phân vị của cân nặng gà con

1
Bảng cân nặng (gram) của 30 con gà con 3 tuần tuổi được ghép thành 5 nhóm độ rộng 10: $[80;90), [90;100), [100;110), [110;120), [120;130)$ với tần số lần lượt $3, 7, 12, 6, 2$ . Tính khoảng tứ phân vị.
Bảng cân nặng (gram) của 30 con gà con 3 tuần tuổi được ghép thành 5 nhóm độ rộng 10: $[80;90), [90;100), [100;110), [110;120), [120;130)$ với tần số lần lượt $3, 7, 12, 6, 2$. Tính khoảng tứ phân vị.
2
Cộng dồn tần số: $3, 10, 22, 28, 30$ .
Cộng dồn tần số: $3, 10, 22, 28, 30$.
3
Vị trí $Q_1=\dfrac{30}{4}=7,5$ nằm giữa 3 (hết nhóm $[80;90)$ ) và 10 (hết nhóm $[90;100)$ ), nên $Q_1$ rơi vào nhóm $[90;100)$ với $C_{m-1}=3,\ n_m=7$ . (1)
Vị trí $Q_1=\dfrac{30}{4}=7,5$ nằm giữa 3 (hết nhóm $[80;90)$) và 10 (hết nhóm $[90;100)$), nên $Q_1$ rơi vào nhóm $[90;100)$ với $C_{m-1}=3,\ n_m=7$. (1)
4
$Q_1 = 90 + \dfrac{7,5-3}{7}\cdot10 \approx 96,43$ (gram).
$Q_1 = 90 + \dfrac{7,5-3}{7}\cdot10 \approx 96,43$ (gram).
5
Vị trí $Q_3=\dfrac{3\cdot30}{4}=22,5$ nằm giữa 22 (hết nhóm $[100;110)$ ) và 28 (hết nhóm $[110;120)$ ), nên $Q_3$ rơi vào nhóm $[110;120)$ với $C_{m-1}=22,\ n_m=6$ . (2). Nội suy: $Q_3 = 110 + \dfrac{22,5-22}{6}\cdot10 \approx 110,83$ (gram).
Vị trí $Q_3=\dfrac{3\cdot30}{4}=22,5$ nằm giữa 22 (hết nhóm $[100;110)$) và 28 (hết nhóm $[110;120)$), nên $Q_3$ rơi vào nhóm $[110;120)$ với $C_{m-1}=22,\ n_m=6$. (2). Nội suy: $Q_3 = 110 + \dfrac{22,5-22}{6}\cdot10 \approx 110,83$ (gram).
6
Từ (1) và (2): $\Delta Q = Q_3-Q_1 \approx 110,83-96,43 \approx 14,4$ (gram). Giá trị này nhỏ hơn khoảng biến thiên $R=50$ gram — đúng như dự đoán, vì $\Delta Q$ chỉ đo phần lõi dữ liệu, không đo toàn bộ bề rộng của mẫu. Vậy $\Delta Q \approx 14,4$ gram.
Từ (1) và (2): $\Delta Q = Q_3-Q_1 \approx 110,83-96,43 \approx 14,4$ (gram). Giá trị này nhỏ hơn khoảng biến thiên $R=50$ gram — đúng như dự đoán, vì $\Delta Q$ chỉ đo phần lõi dữ liệu, không đo toàn bộ bề rộng của mẫu. Vậy $\Delta Q \approx 14,4$ gram.

Quy trình tính khoảng tứ phân vị

Khoảng tứ phân vị phân biệt được hai lớp dù khoảng biến thiên của chúng bằng nhau.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Bẫy: lấy giá trị đại diện của nhóm thay cho tứ phân vị đã nội suy

Một lỗi thường gặp là lấy giá trị đại diện của nhóm chứa $Q_1$ hoặc $Q_3$ làm luôn giá trị tứ phân vị, bỏ qua bước nội suy. Với lớp 12B, nhóm chứa $Q_1$ là $[40;50)$ có giá trị đại diện 45 — nhưng $Q_1$ thật sau khi nội suy chỉ là 41, khác hẳn. Nội suy không phải bước tuỳ chọn, nó là phần bắt buộc của công thức: bỏ qua nó cũng giống như bỏ qua toàn bộ thông tin về việc dữ liệu phân bố lệch về đầu hay cuối nhóm.

Kiểm tra nhanh

Tóm tắt

Khoảng tứ phân vị $\Delta Q = Q_3-Q_1$ đo độ trải của 50% dữ liệu ở giữa mẫu, nên ổn định hơn khoảng biến thiên trước một nhóm biên bất thường. Hai lớp có $R$ bằng nhau vẫn có thể có $\Delta Q$ khác nhau — đó chính là điều đã xảy ra với lớp 12A và 12B. Khi đọc đề thi, nếu đề nhắc tới một vài trường hợp bất thường hoặc dữ liệu bị lệch mạnh về một phía, hãy ưu tiên $\Delta Q$ hơn $R$ khi kết luận về mức độ đồng đều.

Cả $R$ lẫn $\Delta Q$ đều chỉ dùng một vài mốc của mẫu (2 hoặc 4 giá trị), bỏ qua phần lớn tần số còn lại. Bài tiếp theo học một số đo dùng đến TẤT CẢ các nhóm và toàn bộ tần số của mẫu: phương sai.