Bài học

Bài toán tổng hợp: mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu

Mục tiêu và kiến thức nền

Không có công cụ mới nào ở đây. Cái mới là thứ tự phối hợp: mặt cầu cho tâm và một điểm thuộc nó, từ đó suy ra vectơ pháp tuyến của tiếp diện (bài học ở Chương 4), viết phương trình mặt phẳng từ điểm và vectơ pháp tuyến (bài Chương 1 và bài Vectơ pháp tuyến của Chương "Vectơ và toạ độ" trước đó), rồi lại dùng chính vectơ ấy làm vectơ chỉ phương để viết một đường thẳng (bài Chương 2). Một đề thi tốt nghiệp THPT thường không hỏi một kỹ thuật đơn lẻ mà hỏi một chuỗi câu nhỏ nối tiếp nhau như vậy — làm đúng câu đầu là điều kiện để làm đúng câu sau, nên một sai số nhỏ ở bước đầu kéo theo sai toàn bộ chuỗi. Bài này luyện đúng kỹ năng ấy: giữ một mạch suy luận nhất quán qua nhiều bước, không phải học thêm định lý mới.

Học xong bài này, em giải được một bài toán phối hợp cả ba đối tượng đã học trong chương — mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu — trong cùng một tình huống: viết tiếp diện của một mặt cầu tại một điểm cho trước trên mặt cầu đó, rồi dùng chính đường bán kính vuông góc ấy để viết phương trình một đường thẳng. Không có công cụ mới nào ở đây. Cái mới là thứ tự phối hợp: mặt cầu cho tâm và một điểm thuộc nó, từ đó suy ra vectơ pháp tuyến của tiếp diện (bài học ở Chương 4), viết phương trình mặt phẳng từ điểm và vectơ pháp tuyến (bài Chương 1 và bài Vectơ pháp tuyến của Chương "Vectơ và toạ độ" trước đó), rồi lại dùng chính vectơ ấy làm vectơ chỉ phương để viết một đường thẳng (bài Chương 2). Một đề thi tốt nghiệp THPT thường không hỏi một kỹ thuật đơn lẻ mà hỏi một chuỗi câu nhỏ nối tiếp nhau như vậy — làm đúng câu đầu là điều kiện để làm đúng câu sau, nên một sai số nhỏ ở bước đầu kéo theo sai toàn bộ chuỗi. Bài này luyện đúng kỹ năng ấy: giữ một mạch suy luận nhất quán qua nhiều bước, không phải học thêm định lý mới.

Khởi động

Một bồn chứa hình cầu trong nhà máy có một điểm cảm biến áp suất gắn cố định ngay trên bề mặt bồn. Kỹ sư cần biết: mặt phẳng chắn bảo vệ đặt sát bồn tại đúng điểm cảm biến ấy phải nghiêng thế nào để vừa khít bề mặt cong tại đó — và trục của thanh giằng nối tâm bồn với cảm biến chạy theo phương trình đường thẳng nào? Cả hai câu hỏi dùng chung đúng một vectơ.

Tiếp diện của mặt cầu tại một điểm thuộc mặt cầu

Cho mặt cầu $(S)$ tâm $I$ bán kính $R$ , và điểm $A$ thuộc $(S)$ (tức $IA=R$ ). Mặt phẳng tiếp xúc với $(S)$ tại đúng điểm $A$ — tiếp diện tại $A$ — có một tính chất hình học quen thuộc: nó vuông góc với bán kính $IA$ tại $A$ . Vì vậy vectơ pháp tuyến của tiếp diện chính là $\vec n=\overrightarrow{IA}$ , và điểm $A$ đã có sẵn trên mặt phẳng ấy — đủ dữ kiện để viết phương trình mặt phẳng ngay, không cần tính thêm gì khác.

Cho mặt cầu $(S)$ tâm $I$ bán kính $R$, và điểm $A$ thuộc $(S)$ (tức $IA=R$). Mặt phẳng tiếp xúc với $(S)$ tại đúng điểm $A$ — tiếp diện tại $A$ — có một tính chất hình học quen thuộc: nó vuông góc với bán kính $IA$ tại $A$. Vì vậy vectơ pháp tuyến của tiếp diện chính là $\vec n=\overrightarrow{IA}$, và điểm $A$ đã có sẵn trên mặt phẳng ấy — đủ dữ kiện để viết phương trình mặt phẳng ngay, không cần tính thêm gì khác.

Ví dụ

Viết tiếp diện của mặt cầu tại một điểm cho trước

1
Mặt cầu $(S)\colon x^2+y^2+(z-1)^2=9$ có tâm $I(0;0;1)$ bán kính $R=3$ . Điểm $A(1;2;3)$ thuộc $(S)$ vì $1^2+2^2+2^2=9$ . Viết phương trình tiếp diện của $(S)$ tại $A$ .
Mặt cầu $(S)\colon x^2+y^2+(z-1)^2=9$ có tâm $I(0;0;1)$ bán kính $R=3$. Điểm $A(1;2;3)$ thuộc $(S)$ vì $1^2+2^2+2^2=9$. Viết phương trình tiếp diện của $(S)$ tại $A$.
2
$\vec n=\overrightarrow{IA}=A-I=(1;2;2)$ .
$\vec n=\overrightarrow{IA}=A-I=(1;2;2)$.
3
Tiếp diện đi qua $A$ với vectơ pháp tuyến $\vec n$ : $(x-1)+2(y-2)+2(z-3)=0$ , tức $(\alpha)\colon x + 2y + 2z - 11 = 0$ .
Tiếp diện đi qua $A$ với vectơ pháp tuyến $\vec n$: $(x-1)+2(y-2)+2(z-3)=0$, tức $(\alpha)\colon x + 2y + 2z - 11 = 0$.

Ví dụ

Kiểm tra lại bằng hai cách độc lập

1
Thay $I(0;0;1)$ vào $(\alpha)$ : $0+0+2-11=-9$ . $|\vec n|=\sqrt{1+4+4}=3$ . $d(I,(\alpha))=\frac{9}{3}=3=R$ — khớp, vì tiếp diện theo định nghĩa cách tâm đúng một bán kính.
Thay $I(0;0;1)$ vào $(\alpha)$: $0+0+2-11=-9$. $|\vec n|=\sqrt{1+4+4}=3$. $d(I,(\alpha))=\frac{9}{3}=3=R$ — khớp, vì tiếp diện theo định nghĩa cách tâm đúng một bán kính.
2
Dùng công thức hình chiếu đã học ở Chương 1: $H=I-\frac{-9}{9}\vec n=I+\vec n=(1;2;3)$ .
Dùng công thức hình chiếu đã học ở Chương 1: $H=I-\frac{-9}{9}\vec n=I+\vec n=(1;2;3)$.
3
$H(1;2;3)$ trùng khít với $A(1;2;3)$ — hai cách tính hoàn toàn độc lập (một từ định nghĩa tiếp diện, một từ công thức hình chiếu tổng quát) cho cùng một kết quả, xác nhận phương trình $(\alpha)$ ở bước trước là đúng.
$H(1;2;3)$ trùng khít với $A(1;2;3)$ — hai cách tính hoàn toàn độc lập (một từ định nghĩa tiếp diện, một từ công thức hình chiếu tổng quát) cho cùng một kết quả, xác nhận phương trình $(\alpha)$ ở bước trước là đúng.

Lời giải có hình

Tiếp diện của mặt cầu tại điểm A

Bước 1

Mặt cầu tâm $I(0;0;1)$ bán kính $3$ , điểm $A(1;2;3)$ thuộc mặt cầu.Mặt cầu tâm $I(0;0;1)$ bán kính $3$, điểm $A(1;2;3)$ thuộc mặt cầu.

Đường thẳng chứa bán kính vuông góc với tiếp diện

Quan sát thêm: đường thẳng này vuông góc với tiếp diện tại $A$ (vì vectơ chỉ phương của nó trùng với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng kia), nên vị trí tương đối giữa chúng luôn là "cắt nhau tại một điểm", cụ thể chính là điểm $A$ — không cần tính tích vô hướng hay giải hệ như bài Chương 3, vì đã biết trước cả hướng lẫn giao điểm. Nếu đề bài hỏi thẳng vị trí tương đối giữa đường thẳng bán kính và tiếp diện, câu trả lời luôn giống nhau — cắt nhau vuông góc tại tiếp điểm — không phụ thuộc mặt cầu hay điểm tiếp xúc cụ thể nào.

Bán kính $IA$ vừa đóng vai trò vectơ pháp tuyến của tiếp diện, vừa là một đoạn thẳng thật sự trong không gian — kéo dài nó ra thành một đường thẳng, ta được đường thẳng đi qua tâm $I$ và điểm $A$, với vectơ chỉ phương chính là $\vec n=\overrightarrow{IA}$ đã tính ở trên. Không cần tính lại vectơ chỉ phương từ đầu như một bài toán đường thẳng độc lập — nó đã có sẵn từ bước tìm tiếp diện, chỉ đổi vai trò từ "vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng" sang "vectơ chỉ phương của một đường thẳng". Đây chính là điểm khiến bài toán tổng hợp gọn hơn nhiều bạn tưởng: không phải học thêm kỹ thuật, mà là nhận ra một vectơ đã tính có thể dùng lại cho một vai trò khác. Quan sát thêm: đường thẳng này vuông góc với tiếp diện tại $A$ (vì vectơ chỉ phương của nó trùng với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng kia), nên vị trí tương đối giữa chúng luôn là "cắt nhau tại một điểm", cụ thể chính là điểm $A$ — không cần tính tích vô hướng hay giải hệ như bài Chương 3, vì đã biết trước cả hướng lẫn giao điểm. Nếu đề bài hỏi thẳng vị trí tương đối giữa đường thẳng bán kính và tiếp diện, câu trả lời luôn giống nhau — cắt nhau vuông góc tại tiếp điểm — không phụ thuộc mặt cầu hay điểm tiếp xúc cụ thể nào.

Ví dụ

Viết phương trình đường thẳng chứa bán kính IA

1
Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua tâm $I$ và điểm $A$ của mặt cầu $(S)$ ở trên.
Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua tâm $I$ và điểm $A$ của mặt cầu $(S)$ ở trên.
2
Chọn điểm $I(0;0;1)$ , vectơ chỉ phương chính là $\vec u=\overrightarrow{IA}=(1;2;2)$ — không cần tính lại, đã có sẵn từ bước tìm tiếp diện.
Chọn điểm $I(0;0;1)$, vectơ chỉ phương chính là $\vec u=\overrightarrow{IA}=(1;2;2)$ — không cần tính lại, đã có sẵn từ bước tìm tiếp diện.
3
$x = 0 + t; y = 0 + 2t; z = 1 + 2t$ .
$x = 0 + t; y = 0 + 2t; z = 1 + 2t$.
4
Vậy đường thẳng chứa bán kính $IA$ , đồng thời vuông góc với tiếp diện $(\alpha)$ tại $A$ , có phương trình $x = 0 + t; y = 0 + 2t; z = 1 + 2t$ .
Vậy đường thẳng chứa bán kính $IA$, đồng thời vuông góc với tiếp diện $(\alpha)$ tại $A$, có phương trình $x = 0 + t; y = 0 + 2t; z = 1 + 2t$.

Quy trình giải bài toán tổng hợp mặt phẳng — đường thẳng — mặt cầu.

Sai lầm thường gặp

Một sai lầm hay gặp là viết phương trình tiếp diện với dấu ngược: nhớ công thức $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$ nhưng lại thay nhầm toạ độ tâm $I$ vào $(x_0;y_0;z_0)$ thay vì toạ độ tiếp điểm $A$ — ra một mặt phẳng đi qua tâm chứ không phải tiếp diện. Luôn nhớ: tiếp diện đi qua TIẾP ĐIỂM, tâm chỉ dùng để tính vectơ pháp tuyến.

Ví dụ

Tự làm lại toàn bộ chuỗi với một điểm khác trên cùng mặt cầu

1
Điểm $B(2;2;0)$ cũng thuộc $(S)\colon x^2+y^2+(z-1)^2=9$ vì $2^2+2^2+(-1)^2=9$ . Viết tiếp diện của $(S)$ tại $B$ , và kiểm tra lại bằng hai cách như ví dụ trước.
Điểm $B(2;2;0)$ cũng thuộc $(S)\colon x^2+y^2+(z-1)^2=9$ vì $2^2+2^2+(-1)^2=9$. Viết tiếp diện của $(S)$ tại $B$, và kiểm tra lại bằng hai cách như ví dụ trước.
2
$\vec n=\overrightarrow{IB}=B-I=(2;2;-1)$ . Tiếp diện tại $B$ : $(\beta)\colon 2x + 2y - z - 8 = 0$ .
$\vec n=\overrightarrow{IB}=B-I=(2;2;-1)$. Tiếp diện tại $B$: $(\beta)\colon 2x + 2y - z - 8 = 0$.
3
Thay $I(0;0;1)$ : giá trị $=-9$ , $|\vec n|=3$ , $d(I,(\beta))=\frac{9}{3}=3=R$ — khớp.
Thay $I(0;0;1)$: giá trị $=-9$, $|\vec n|=3$, $d(I,(\beta))=\frac{9}{3}=3=R$ — khớp.
4
$H=I-\frac{-9}{9}\vec n=I+\vec n=(2;2;0)$ , trùng khít với $B(2;2;0)$ — cùng một kết luận, khác điểm tiếp xúc, cùng một quy trình. Đây chính là ý nghĩa của "luyện tập độc lập": lặp lại đúng chuỗi suy luận với một dữ kiện mới, không cần ai hướng dẫn từng bước nữa.
$H=I-\frac{-9}{9}\vec n=I+\vec n=(2;2;0)$, trùng khít với $B(2;2;0)$ — cùng một kết luận, khác điểm tiếp xúc, cùng một quy trình. Đây chính là ý nghĩa của "luyện tập độc lập": lặp lại đúng chuỗi suy luận với một dữ kiện mới, không cần ai hướng dẫn từng bước nữa.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Khi gặp một đề thi dài, gộp nhiều câu hỏi nhỏ về mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong cùng một bối cảnh, việc đầu tiên đáng làm không phải là nhảy vào tính ngay, mà là liệt kê xem đề đã cho sẵn những gì — một điểm, một vectơ, một mặt cầu — rồi hỏi: từ những thứ đã có, vectơ nào suy ra được, và vectơ ấy có thể đóng vai trò gì ở câu tiếp theo. Cách tiếp cận này áp dụng được cho mọi bài tổng hợp dạng này, không riêng gì ví dụ tiếp diện — mặt cầu vừa học.

Tóm lại, bài toán tổng hợp không đòi hỏi kỹ thuật mới — nó đòi hỏi nhận ra đúng thứ tự dùng lại ba công cụ đã học: từ mặt cầu suy ra một vectơ (bán kính), dùng vectơ ấy làm vectơ pháp tuyến để viết một mặt phẳng, rồi dùng lại chính vectơ ấy làm vectơ chỉ phương để viết một đường thẳng. Một vectơ, ba vai trò khác nhau tuỳ ngữ cảnh — đây chính là điều một bài toán tổng hợp thật sự kiểm tra. Khi gặp một đề thi dài, gộp nhiều câu hỏi nhỏ về mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong cùng một bối cảnh, việc đầu tiên đáng làm không phải là nhảy vào tính ngay, mà là liệt kê xem đề đã cho sẵn những gì — một điểm, một vectơ, một mặt cầu — rồi hỏi: từ những thứ đã có, vectơ nào suy ra được, và vectơ ấy có thể đóng vai trò gì ở câu tiếp theo. Cách tiếp cận này áp dụng được cho mọi bài tổng hợp dạng này, không riêng gì ví dụ tiếp diện — mặt cầu vừa học.

Bài cuối chương không giới thiệu nội dung mới — nó ôn lại toàn bộ năm bài học vừa qua trong một vài bài toán tổng hợp khác, để em tự kiểm tra xem còn công thức nào chưa chắc.