Phương trình đường thẳng: tham số và chính tắc

Học xong bài này, em viết được phương trình tham số và phương trình chính tắc của một đường thẳng trong không gian, khi biết một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ chỉ phương, hoặc khi biết hai điểm thuộc đường thẳng. Đường thẳng trong không gian cần đúng hai dữ kiện để xác định: một điểm nó đi qua, và một vectơ song song với nó — vectơ này gọi là vectơ chỉ phương, ký hiệu $\vec u=(a;b;c)$. Một điểm thôi thì chưa đủ, vì vô số đường thẳng đi qua cùng một điểm; thêm vectơ chỉ phương thì chỉ còn đúng một đường thẳng thoả cả hai điều kiện — giống như một mặt phẳng cần một điểm và một vectơ pháp tuyến ở bài trước, chỉ khác vai trò: pháp tuyến thì vuông góc với mặt phẳng, còn chỉ phương thì song song với đường thẳng. Cách xác định vectơ chỉ phương từ hai điểm — $\vec u=\overrightarrow{AB}$ — chính là phép trừ toạ độ điểm đã học ở chương trước, dùng lại nguyên vẹn.

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ với vectơ chỉ phương $\vec u=(a;b;c)$ gồm tất cả các điểm $M(x;y;z)$ sao cho $\overrightarrow{M_0M}$ cùng phương với $\vec u$, tức $\overrightarrow{M_0M}=t\vec u$ với một số thực $t$ nào đó — $t$ đóng vai trò tham số, mỗi giá trị của $t$ cho một điểm khác nhau trên $d$. Viết theo từng toạ độ: $$d\colon\begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{cases}\quad(t\in\mathbb R)$$ đây là phương trình tham số của $d$. Có thể hình dung $t$ như một "nút trượt": cho $t=0$ ra đúng điểm $M_0$, mỗi giá trị khác của $t$ trượt dọc đường thẳng theo hướng $\vec u$ một đoạn tỉ lệ với $t$ — $t$ càng lớn thì điểm càng xa $M_0$ theo chiều $\vec u$, $t$ âm thì lùi về chiều ngược lại. Khi cả ba thành phần $a,b,c$ đều khác $0$, có thể rút $t$ từ mỗi phương trình rồi cho chúng bằng nhau — vì cùng một điểm $M$ trên $d$ phải cho ra cùng một giá trị $t$ dù tính từ toạ độ nào — được phương trình chính tắc: $$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$$ Phương trình chính tắc không chứa $t$ nữa nên gọn hơn khi cần so sánh hai đường thẳng hay đọc nhanh vectơ chỉ phương, nhưng phương trình tham số vẫn là dạng dùng được trong mọi trường hợp, kể cả khi một thành phần của $\vec u$ bằng $0$ (xem phần dưới).

Phương trình chính tắc $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$ chỉ viết được khi $a,b,c$ đều khác $0$, vì mẫu số không được bằng $0$. Nếu một thành phần, chẳng hạn $a=0$, thì mọi điểm trên $d$ đều có cùng hoành độ $x=x_0$ — đường thẳng song song với mặt phẳng $Oyz$ — và ta viết riêng $x=x_0$, còn hai toạ độ kia vẫn cho ở dạng chính tắc bình thường. Trường hợp hai thành phần cùng bằng $0$, ví dụ $a=b=0$ và $c\neq0$, đường thẳng chỉ đổi toạ độ $z$ — đó là một đường thẳng song song với trục $Oz$, và ta viết $x=x_0$, $y=y_0$, không còn tỉ lệ chính tắc nào để lập. Cách xử lý chung, dù mấy thành phần bằng $0$, vẫn là giữ nguyên phương trình tham số — nó luôn đúng — và chỉ rút chính tắc cho những toạ độ có hệ số khác $0$.

Tóm lại, viết phương trình đường thẳng cần đúng một điểm và một vectơ chỉ phương: phương trình tham số luôn viết được, còn phương trình chính tắc chỉ viết được khi cả ba thành phần của vectơ chỉ phương khác $0$ — nếu không, tách riêng thành phần bằng $0$ thành một đẳng thức hằng số. Vectơ chỉ phương không duy nhất — nhân nó với bất kỳ số khác $0$ nào cũng ra một vectơ chỉ phương hợp lệ khác của cùng đường thẳng ấy — nên hai bạn học sinh có thể viết ra hai phương trình tham số khác nhau cho cùng một đường thẳng, và cả hai đều đúng.