Bài học

Công thức Bayes: suy luận ngược từ kết quả về nguyên nhân

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính được xác suất của một “nguyên nhân” cụ thể khi đã biết một “kết quả” xảy ra — công thức Bayes — và không còn nhầm chiều suy luận này với chiều xuôi đã học ở bài trước.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước, công thức xác suất toàn phần trả lời câu hỏi XUÔI: biết xác suất theo từng nguyên nhân $P(B_i)$ và $P(A \mid B_i)$ , tính $P(A)$ . Bài này hỏi NGƯỢC lại: đã thấy A xảy ra rồi, xác suất nó đến từ nguyên nhân $B_i$ cụ thể là bao nhiêu? Đây là hai câu hỏi khác hẳn nhau, dù dùng chung một bộ số liệu. Ghi nhớ ngay từ đầu bài: $P(A \mid B)$ và $P(B \mid A)$ không phải hai cách viết của cùng một số — đây là chủ đề chương học này sẽ đào sâu, và cũng là chủ đề bài ôn tập cuối khoá quay lại một lần nữa.

Bài trước, công thức xác suất toàn phần trả lời câu hỏi XUÔI: biết xác suất theo từng nguyên nhân $P(B_i)$ và $P(A \mid B_i)$, tính $P(A)$. Bài này hỏi NGƯỢC lại: đã thấy A xảy ra rồi, xác suất nó đến từ nguyên nhân $B_i$ cụ thể là bao nhiêu? Đây là hai câu hỏi khác hẳn nhau, dù dùng chung một bộ số liệu. Ghi nhớ ngay từ đầu bài: $P(A \mid B)$ và $P(B \mid A)$ không phải hai cách viết của cùng một số — đây là chủ đề chương học này sẽ đào sâu, và cũng là chủ đề bài ôn tập cuối khoá quay lại một lần nữa.

Khởi động

Quay lại kho hai hộp bi ở bài trước: nếu rút một bi mà KHÔNG BIẾT lấy từ hộp nào, và thấy nó là bi đỏ — bây giờ có thêm thông tin này rồi, xác suất bi đỏ đó thực sự đến từ hộp 1 là bao nhiêu? Câu trả lời có bằng đúng $P(\text{đỏ} \mid \text{hộp 1}) = 0{,}7$ mà em đã biết từ đầu không?

Công thức Bayes

Với phân hoạch $B_1, \ldots, B_n$ và biến cố A đã xảy ra ( $P(A) > 0$ ), công thức Bayes cho xác suất của một nguyên nhân cụ thể $B_k$ , biết A đã xảy ra: $P(B_k \mid A) = \frac{P(B_k) \cdot P(A \mid B_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)} = \frac{P(B_k) \cdot P(A \mid B_k)}{P(A)}$ Tử số là đúng nhánh lá $B_k \to A$ của sơ đồ cây, đã tính ở bài trước. Mẫu số là tổng mọi nhánh lá dẫn tới A — chính là công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes không phải kiến thức mới tách biệt, nó là cách ĐỌC NGƯỢC sơ đồ cây đã vẽ: thay vì hỏi “từ nguyên nhân này, xác suất ra A là bao nhiêu”, ta hỏi “trong số các nhánh đã dẫn tới A, bao nhiêu phần thuộc về nguyên nhân này”.

Với phân hoạch $B_1, \ldots, B_n$ và biến cố A đã xảy ra ($P(A) > 0$), công thức Bayes cho xác suất của một nguyên nhân cụ thể $B_k$, biết A đã xảy ra: $$P(B_k \mid A) = \frac{P(B_k) \cdot P(A \mid B_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)} = \frac{P(B_k) \cdot P(A \mid B_k)}{P(A)}$$ Tử số là đúng nhánh lá $B_k \to A$ của sơ đồ cây, đã tính ở bài trước. Mẫu số là tổng mọi nhánh lá dẫn tới A — chính là công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes không phải kiến thức mới tách biệt, nó là cách ĐỌC NGƯỢC sơ đồ cây đã vẽ: thay vì hỏi “từ nguyên nhân này, xác suất ra A là bao nhiêu”, ta hỏi “trong số các nhánh đã dẫn tới A, bao nhiêu phần thuộc về nguyên nhân này”.

Kiểu suy luận ngược này xuất hiện ở rất nhiều lĩnh vực ngoài toán học thuần tuý: bộ lọc thư rác ước lượng xác suất một email là rác dựa trên các từ nó chứa; bác sĩ ước lượng xác suất mắc một bệnh dựa trên triệu chứng quan sát được; hệ thống giám định pháp y ước lượng xác suất một nghi phạm liên quan dựa trên bằng chứng thu thập. Tất cả đều có chung một cấu trúc: biết “kết quả quan sát được”, suy ngược ra xác suất của “nguyên nhân tiềm ẩn” — đúng bài toán công thức Bayes giải quyết.

Ví dụ

Đọc ngược sơ đồ cây: bi đỏ đến từ hộp nào

1
Vẫn hai hộp bi ở bài trước — hộp 1 (7 đỏ, 3 xanh), hộp 2 (2 đỏ, 8 xanh), chọn ngẫu nhiên một hộp rồi rút một bi. Giả sử bi rút ra là bi ĐỎ. Tính xác suất bi đó đến từ hộp 1.
2
Tử số là nhánh lá “hộp 1 → đỏ”: $P(\text{hộp 1}) \cdot P(\text{đỏ} \mid \text{hộp 1}) = \frac12 \times \frac{7}{10} = \frac{7}{20}$ . Mẫu số là $P(\text{đỏ})$ — đã tính ở bài trước bằng cách cộng cả hai nhánh lá “đỏ”: $\frac{7}{20} + \frac{2}{20} = \frac{9}{20}$ .
Tử số là nhánh lá “hộp 1 → đỏ”: $P(\text{hộp 1}) \cdot P(\text{đỏ} \mid \text{hộp 1}) = \frac12 \times \frac{7}{10} = \frac{7}{20}$. Mẫu số là $P(\text{đỏ})$ — đã tính ở bài trước bằng cách cộng cả hai nhánh lá “đỏ”: $\frac{7}{20} + \frac{2}{20} = \frac{9}{20}$.
3
$P(\text{hộp 1} \mid \text{đỏ}) = \frac{7/20}{9/20} = \frac{7}{9} \approx 0{,}778$
$$P(\text{hộp 1} \mid \text{đỏ}) = \frac{7/20}{9/20} = \frac{7}{9} \approx 0{,}778$$
4
Vậy xác suất bi đỏ đến từ hộp 1, biết nó là bi đỏ, xấp xỉ $77{,}8\%$ . Chú ý: $P(\text{đỏ} \mid \text{hộp 1}) = 70\%$ và $P(\text{hộp 1} \mid \text{đỏ}) \approx 77{,}8\%$ là HAI số hoàn toàn khác nhau về ý nghĩa — một bên biết hộp để đoán màu, một bên biết màu để đoán hộp. Ở ví dụ này hai số tình cờ khá gần nhau; ví dụ tiếp theo cho thấy chúng có thể lệch nhau rất xa.
Vậy xác suất bi đỏ đến từ hộp 1, biết nó là bi đỏ, xấp xỉ $77{,}8\%$. Chú ý: $P(\text{đỏ} \mid \text{hộp 1}) = 70\%$ và $P(\text{hộp 1} \mid \text{đỏ}) \approx 77{,}8\%$ là HAI số hoàn toàn khác nhau về ý nghĩa — một bên biết hộp để đoán màu, một bên biết màu để đoán hộp. Ở ví dụ này hai số tình cờ khá gần nhau; ví dụ tiếp theo cho thấy chúng có thể lệch nhau rất xa.

Hai xác suất khác nhau — chiều điều kiện đảo ngược cho ra hai con số khác nhau

Ví dụ

Bayes trong y tế: xét nghiệm dương tính có nghĩa là gì

1
Một bệnh hiếm gặp có tỉ lệ mắc trong dân số là $1\%$ , tức $P(\text{bệnh}) = 0{,}01$ . Một xét nghiệm sàng lọc có độ nhạy $95\%$ — nếu THẬT SỰ mắc bệnh, xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính là $P(\text{dương} \mid \text{bệnh}) = 0{,}95$ — và có tỉ lệ dương tính giả $5\%$ ở người KHÔNG mắc bệnh, tức $P(\text{dương} \mid \text{không bệnh}) = 0{,}05$ . Một người xét nghiệm cho kết quả dương tính. Xác suất người đó THẬT SỰ mắc bệnh là bao nhiêu?
Một bệnh hiếm gặp có tỉ lệ mắc trong dân số là $1\%$, tức $P(\text{bệnh}) = 0{,}01$. Một xét nghiệm sàng lọc có độ nhạy $95\%$ — nếu THẬT SỰ mắc bệnh, xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính là $P(\text{dương} \mid \text{bệnh}) = 0{,}95$ — và có tỉ lệ dương tính giả $5\%$ ở người KHÔNG mắc bệnh, tức $P(\text{dương} \mid \text{không bệnh}) = 0{,}05$. Một người xét nghiệm cho kết quả dương tính. Xác suất người đó THẬT SỰ mắc bệnh là bao nhiêu?
2
$P(\text{dương}) = P(\text{bệnh}) P(\text{dương}\mid\text{bệnh}) + P(\text{không bệnh}) P(\text{dương}\mid\text{không bệnh}) = 0{,}01 \times 0{,}95 + 0{,}99 \times 0{,}05 = 0{,}0095 + 0{,}0495 = 0{,}059$
$$P(\text{dương}) = P(\text{bệnh}) P(\text{dương}\mid\text{bệnh}) + P(\text{không bệnh}) P(\text{dương}\mid\text{không bệnh}) = 0{,}01 \times 0{,}95 + 0{,}99 \times 0{,}05 = 0{,}0095 + 0{,}0495 = 0{,}059$$
3
$P(\text{bệnh}\mid\text{dương}) = \frac{0{,}01 \times 0{,}95}{0{,}059} = \frac{0{,}0095}{0{,}059} \approx 0{,}161$
$$P(\text{bệnh}\mid\text{dương}) = \frac{0{,}01 \times 0{,}95}{0{,}059} = \frac{0{,}0095}{0{,}059} \approx 0{,}161$$
4
Vậy dù xét nghiệm có độ nhạy tới $95\%$ , một người xét nghiệm dương tính chỉ thật sự mắc bệnh với xác suất khoảng $16{,}1\%$ — không phải $95\%$ . Nguyên nhân: bệnh quá hiếm ( $1\%$ dân số), nên trong số rất nhiều người xét nghiệm dương tính, phần lớn là dương tính GIẢ đến từ nhóm không mắc bệnh vốn đông hơn hẳn. Trong 1000 người có kết quả dương tính, khoảng $1000 \times 0{,}161 \approx 161$ người thật sự mắc bệnh — còn lại là dương tính giả. Đây chính là lý do trong thực hành y tế, một kết quả dương tính ở một xét nghiệm sàng lọc bệnh hiếm thường được xác nhận lại bằng một xét nghiệm thứ hai, chính xác hơn, trước khi kết luận — không dựa vào một lần xét nghiệm duy nhất.
Vậy dù xét nghiệm có độ nhạy tới $95\%$, một người xét nghiệm dương tính chỉ thật sự mắc bệnh với xác suất khoảng $16{,}1\%$ — không phải $95\%$. Nguyên nhân: bệnh quá hiếm ($1\%$ dân số), nên trong số rất nhiều người xét nghiệm dương tính, phần lớn là dương tính GIẢ đến từ nhóm không mắc bệnh vốn đông hơn hẳn. Trong 1000 người có kết quả dương tính, khoảng $1000 \times 0{,}161 \approx 161$ người thật sự mắc bệnh — còn lại là dương tính giả. Đây chính là lý do trong thực hành y tế, một kết quả dương tính ở một xét nghiệm sàng lọc bệnh hiếm thường được xác nhận lại bằng một xét nghiệm thứ hai, chính xác hơn, trước khi kết luận — không dựa vào một lần xét nghiệm duy nhất.

Chênh lệch rất lớn — minh chứng rõ nhất cho việc P(A|B) và P(B|A) là hai đại lượng khác nhau

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp nhất của bài học: đọc $P(\text{dương}\mid\text{bệnh}) = 95\%$ rồi kết luận luôn “vậy xét nghiệm dương tính thì khả năng mắc bệnh là 95%”. Đó là nhầm $P(A\mid B)$ với $P(B\mid A)$ — hai chiều điều kiện hoàn toàn khác nhau. Luôn hỏi lại: biến cố nào đứng trước dấu gạch đứng là biến cố ĐÃ BIẾT, biến cố nào đứng sau là biến cố cần tính. Một cách tự kiểm tra nhanh: nếu $P(B_k)$ (xác suất gốc của nguyên nhân) rất nhỏ so với các $B_i$ khác, thì $P(B_k \mid A)$ thường nhỏ hơn hẳn $P(A \mid B_k)$ , dù $P(A \mid B_k)$ có lớn đến đâu — đúng như ví dụ bệnh hiếm ở trên.

Sai lầm thường gặp nhất của bài học: đọc $P(\text{dương}\mid\text{bệnh}) = 95\%$ rồi kết luận luôn “vậy xét nghiệm dương tính thì khả năng mắc bệnh là 95%”. Đó là nhầm $P(A\mid B)$ với $P(B\mid A)$ — hai chiều điều kiện hoàn toàn khác nhau. Luôn hỏi lại: biến cố nào đứng trước dấu gạch đứng là biến cố ĐÃ BIẾT, biến cố nào đứng sau là biến cố cần tính. Một cách tự kiểm tra nhanh: nếu $P(B_k)$ (xác suất gốc của nguyên nhân) rất nhỏ so với các $B_i$ khác, thì $P(B_k \mid A)$ thường nhỏ hơn hẳn $P(A \mid B_k)$, dù $P(A \mid B_k)$ có lớn đến đâu — đúng như ví dụ bệnh hiếm ở trên.

Công thức Bayes $P(B_k \mid A) = \dfrac{P(B_k) P(A \mid B_k)}{P(A)}$ đọc ngược sơ đồ cây: biết A đã xảy ra, tính xác suất nó đến từ nguyên nhân $B_k$ cụ thể. Đây là chiều suy luận ngược với công thức xác suất toàn phần của bài trước — hai chiều dùng chung số liệu nhưng trả lời hai câu hỏi khác nhau, và $P(A \mid B) \neq P(B \mid A)$ nói chung, đôi khi lệch nhau rất xa.

Chương ôn tập tiếp theo dành trọn một bài để rèn kỹ năng phân biệt hai chiều điều kiện này qua nhiều ví dụ khác nhau, trước khi luyện tổng hợp theo đúng cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT 2025.