Bài học

Kiểm tra tính độc lập của hai biến cố từ dữ liệu

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em kiểm tra được hai biến cố có độc lập hay không chỉ bằng dữ liệu — so sánh $P(A \mid B)$ với $P(A)$ , hoặc so sánh $P(A \cap B)$ với $P(A) \cdot P(B)$ — thay vì đoán bằng cảm giác.

Sau bài này, em kiểm tra được hai biến cố có độc lập hay không chỉ bằng dữ liệu — so sánh $P(A \mid B)$ với $P(A)$, hoặc so sánh $P(A \cap B)$ với $P(A) \cdot P(B)$ — thay vì đoán bằng cảm giác.

Kiến thức nền cần nhớ

Ở lớp 11, em đã học: hai biến cố A, B độc lập nếu $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ (prior-grade review). Bài trước vừa định nghĩa $P(A \mid B) = P(A \cap B) / P(B)$ . Hai công cụ này thực ra nói cùng một điều theo hai cách khác nhau, và bài hôm nay chỉ ra vì sao. Lưu ý: độc lập là một tính chất của cặp biến cố trong MỘT phép thử cụ thể — không phải một nhãn cố định gắn liền với hai sự việc ngoài đời. Cùng hai biến cố “nam” và “thích bóng đá”, số liệu ở một trường có thể cho độc lập, còn ở một trường khác lại cho không độc lập — phải luôn kiểm tra bằng đúng bộ số liệu của bài toán, không được suy diễn từ kinh nghiệm hay bài toán khác.

Ở lớp 11, em đã học: hai biến cố A, B độc lập nếu $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ (prior-grade review). Bài trước vừa định nghĩa $P(A \mid B) = P(A \cap B) / P(B)$. Hai công cụ này thực ra nói cùng một điều theo hai cách khác nhau, và bài hôm nay chỉ ra vì sao. Lưu ý: độc lập là một tính chất của cặp biến cố trong MỘT phép thử cụ thể — không phải một nhãn cố định gắn liền với hai sự việc ngoài đời. Cùng hai biến cố “nam” và “thích bóng đá”, số liệu ở một trường có thể cho độc lập, còn ở một trường khác lại cho không độc lập — phải luôn kiểm tra bằng đúng bộ số liệu của bài toán, không được suy diễn từ kinh nghiệm hay bài toán khác.

Khởi động

Tung một đồng xu và gieo một xúc xắc cùng lúc, trực giác mách bảo “mặt sấp của đồng xu” và “số chẵn của xúc xắc” chẳng liên quan gì nhau. Nhưng với một khảo sát thực tế — chẳng hạn giới tính học sinh và sở thích một môn thể thao — làm sao biết chắc hai điều đó có ĐỘC LẬP hay không, nếu không được phép chỉ dựa vào cảm giác?

Hai cách kiểm tra độc lập tương đương nhau

Định nghĩa gốc (lớp 11): A và B độc lập khi $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ . Thay vào định nghĩa xác suất có điều kiện: nếu $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ thì $P(A \mid B) = \frac{P(A) \cdot P(B)}{P(B)} = P(A)$ Vậy A và B độc lập khi và chỉ khi $P(A \mid B) = P(A)$ — biết B xảy ra hay không không làm thay đổi xác suất của A. Đây là cách hiểu trực quan nhất: độc lập nghĩa là điều kiện hóa không làm đổi kết quả.

Định nghĩa gốc (lớp 11): A và B độc lập khi $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Thay vào định nghĩa xác suất có điều kiện: nếu $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ thì $$P(A \mid B) = \frac{P(A) \cdot P(B)}{P(B)} = P(A)$$ Vậy A và B độc lập khi và chỉ khi $P(A \mid B) = P(A)$ — biết B xảy ra hay không không làm thay đổi xác suất của A. Đây là cách hiểu trực quan nhất: độc lập nghĩa là điều kiện hóa không làm đổi kết quả.

Một hệ quả hữu ích, tiết kiệm thời gian khi làm bài: nếu A và B độc lập thì biến cố bù của A (“không phải A”) cũng độc lập với B, và ngược lại với B. Vì vậy nếu vừa kiểm tra “nam” và “thích bóng đá” độc lập, thì “nữ” và “thích bóng đá” chắc chắn cũng độc lập — không cần dựng lại phép tính từ đầu cho biến cố bù.

Để kiểm tra độc lập từ một bảng số liệu, làm theo ba bước: tính $P(A)$ và $P(B)$ từ hai dòng tổng của bảng; tính $P(A \cap B)$ từ đúng một ô của bảng — ô giao của hàng B và cột A; so sánh $P(A \cap B)$ với tích $P(A) \cdot P(B)$ . Bằng nhau thì độc lập, khác nhau thì không độc lập, dù chênh lệch có nhỏ đến đâu — không có “gần độc lập”, chỉ có bằng hoặc không bằng.

Để kiểm tra độc lập từ một bảng số liệu, làm theo ba bước: tính $P(A)$ và $P(B)$ từ hai dòng tổng của bảng; tính $P(A \cap B)$ từ đúng một ô của bảng — ô giao của hàng B và cột A; so sánh $P(A \cap B)$ với tích $P(A) \cdot P(B)$. Bằng nhau thì độc lập, khác nhau thì không độc lập, dù chênh lệch có nhỏ đến đâu — không có “gần độc lập”, chỉ có bằng hoặc không bằng.

Bảng hai chiều dùng để kiểm tra độc lập giữa giới tính và sở thích

Ví dụ

Kiểm tra độc lập: khảo sát sở thích bóng đá

1
Khảo sát 200 học sinh về sở thích bóng đá: 140 bạn nam (84 bạn thích, 56 bạn không thích), 60 bạn nữ (36 bạn thích, 24 bạn không thích). Gọi A là biến cố “học sinh được chọn ngẫu nhiên là nam”, B là biến cố “học sinh được chọn ngẫu nhiên thích bóng đá”. Kiểm tra A và B có độc lập không.
2
$P(A) = \frac{140}{200} = 0{,}7$ . Tổng số bạn thích bóng đá là $84 + 36 = 120$ , nên $P(B) = \frac{120}{200} = 0{,}6$ . Xác suất giao $P(A \cap B) = \frac{84}{200} = 0{,}42$ .
$P(A) = \frac{140}{200} = 0{,}7$. Tổng số bạn thích bóng đá là $84 + 36 = 120$, nên $P(B) = \frac{120}{200} = 0{,}6$. Xác suất giao $P(A \cap B) = \frac{84}{200} = 0{,}42$.
3
Ta có $P(A) \cdot P(B) = 0{,}7 \times 0{,}6 = 0{,}42$ , đúng bằng $P(A \cap B)$ . Vậy A và B độc lập.
Ta có $P(A) \cdot P(B) = 0{,}7 \times 0{,}6 = 0{,}42$, đúng bằng $P(A \cap B)$. Vậy A và B độc lập.
4
$P(B \mid A) = \frac{84}{140} = 0{,}6$ , đúng bằng $P(B) = 0{,}6$ — biết một học sinh là nam hay không không làm thay đổi xác suất bạn đó thích bóng đá trong mẫu khảo sát này. Hai cách kiểm tra cho cùng một kết luận, đúng như lý thuyết ở trên.
$P(B \mid A) = \frac{84}{140} = 0{,}6$, đúng bằng $P(B) = 0{,}6$ — biết một học sinh là nam hay không không làm thay đổi xác suất bạn đó thích bóng đá trong mẫu khảo sát này. Hai cách kiểm tra cho cùng một kết luận, đúng như lý thuyết ở trên.

Ví dụ

Một khảo sát KHÔNG độc lập

1
Khảo sát 200 người trưởng thành: 60 người hút thuốc lá (18 người có bệnh hô hấp, 42 người không), 140 người không hút thuốc (12 người có bệnh hô hấp, 128 người không). Gọi C là biến cố “người được chọn ngẫu nhiên hút thuốc”, D là biến cố “người được chọn ngẫu nhiên có bệnh hô hấp”. Kiểm tra C và D có độc lập không.
2
$P(C) = \frac{60}{200} = 0{,}3$ . Tổng số người có bệnh hô hấp là $18 + 12 = 30$ , nên $P(D) = \frac{30}{200} = 0{,}15$ . Xác suất giao $P(C \cap D) = \frac{18}{200} = 0{,}09$ .
$P(C) = \frac{60}{200} = 0{,}3$. Tổng số người có bệnh hô hấp là $18 + 12 = 30$, nên $P(D) = \frac{30}{200} = 0{,}15$. Xác suất giao $P(C \cap D) = \frac{18}{200} = 0{,}09$.
3
$P(C) \cdot P(D) = 0{,}3 \times 0{,}15 = 0{,}045$ , khác với $P(C \cap D) = 0{,}09$ . Vậy C và D KHÔNG độc lập.
$P(C) \cdot P(D) = 0{,}3 \times 0{,}15 = 0{,}045$, khác với $P(C \cap D) = 0{,}09$. Vậy C và D KHÔNG độc lập.
4
Kiểm tra lại: $P(D \mid C) = \frac{18}{60} = 0{,}3$ — gấp đôi $P(D) = 0{,}15$ . Trong mẫu khảo sát này, biết một người hút thuốc làm tăng hẳn xác suất người đó có bệnh hô hấp. Lưu ý: đây chỉ là mối liên hệ THỐNG KÊ quan sát được trong đúng 200 người của mẫu khảo sát — kết luận nhân quả y khoa cần những nghiên cứu chuyên sâu hơn nhiều, không thể suy ra chỉ từ một bảng số liệu.
Kiểm tra lại: $P(D \mid C) = \frac{18}{60} = 0{,}3$ — gấp đôi $P(D) = 0{,}15$. Trong mẫu khảo sát này, biết một người hút thuốc làm tăng hẳn xác suất người đó có bệnh hô hấp. Lưu ý: đây chỉ là mối liên hệ THỐNG KÊ quan sát được trong đúng 200 người của mẫu khảo sát — kết luận nhân quả y khoa cần những nghiên cứu chuyên sâu hơn nhiều, không thể suy ra chỉ từ một bảng số liệu.

Ví dụ

Vì sao xung khắc không phải là độc lập

1
Rút ngẫu nhiên một lá bài từ bộ bài tây 52 lá. Xét E = “lá bài chất cơ” (13 lá), F = “lá bài chất rô” (13 lá). Hai biến cố này có xung khắc không, và có độc lập không?
2
Một lá bài không thể vừa là chất cơ vừa là chất rô, nên $E \cap F = \varnothing$ — hai biến cố xung khắc, $P(E \cap F) = 0$ .
Một lá bài không thể vừa là chất cơ vừa là chất rô, nên $E \cap F = \varnothing$ — hai biến cố xung khắc, $P(E \cap F) = 0$.
3
$P(E) = \frac{13}{52} = 0{,}25$ , $P(F) = \frac{13}{52} = 0{,}25$ , nên $P(E) \cdot P(F) = 0{,}0625$ . Vì $P(E \cap F) = 0 \neq 0{,}0625$ , hai biến cố KHÔNG độc lập — dù trực giác về “hai chất bài riêng biệt” dễ khiến người học nghĩ chúng “không liên quan” đến nhau.
$P(E) = \frac{13}{52} = 0{,}25$, $P(F) = \frac{13}{52} = 0{,}25$, nên $P(E) \cdot P(F) = 0{,}0625$. Vì $P(E \cap F) = 0 \neq 0{,}0625$, hai biến cố KHÔNG độc lập — dù trực giác về “hai chất bài riêng biệt” dễ khiến người học nghĩ chúng “không liên quan” đến nhau.
4
Vậy xung khắc là một tính chất mạnh hơn nhiều so với không độc lập: biết lá bài là chất cơ ( $E$ xảy ra) khiến ta CHẮC CHẮN nó không phải chất rô, tức $P(F \mid E) = 0$ , hoàn toàn khác $P(F) = 0{,}25$ . Đây chính xác là kiểu “điều kiện hóa làm thay đổi xác suất” — ngược hẳn với ý nghĩa của độc lập.
Vậy xung khắc là một tính chất mạnh hơn nhiều so với không độc lập: biết lá bài là chất cơ ($E$ xảy ra) khiến ta CHẮC CHẮN nó không phải chất rô, tức $P(F \mid E) = 0$, hoàn toàn khác $P(F) = 0{,}25$. Đây chính xác là kiểu “điều kiện hóa làm thay đổi xác suất” — ngược hẳn với ý nghĩa của độc lập.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp: nhầm “hai biến cố xung khắc” ( $A \cap B = \varnothing$ , không thể cùng xảy ra) với “hai biến cố độc lập”. Đây là hai khái niệm khác hẳn nhau — thật ra nếu $P(A) > 0$ và $P(B) > 0$ , hai biến cố xung khắc KHÔNG BAO GIỜ độc lập: biết A xảy ra thì chắc chắn B không xảy ra ( $P(B \mid A) = 0 \neq P(B)$ ), tức điều kiện hóa đã làm thay đổi hoàn toàn xác suất của B. Độc lập và xung khắc gần như đối lập nhau, không phải hai cách nói của cùng một ý.

Sai lầm thường gặp: nhầm “hai biến cố xung khắc” ($A \cap B = \varnothing$, không thể cùng xảy ra) với “hai biến cố độc lập”. Đây là hai khái niệm khác hẳn nhau — thật ra nếu $P(A) > 0$ và $P(B) > 0$, hai biến cố xung khắc KHÔNG BAO GIỜ độc lập: biết A xảy ra thì chắc chắn B không xảy ra ($P(B \mid A) = 0 \neq P(B)$), tức điều kiện hóa đã làm thay đổi hoàn toàn xác suất của B. Độc lập và xung khắc gần như đối lập nhau, không phải hai cách nói của cùng một ý.

Hai biến cố A, B độc lập khi và chỉ khi $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ , tương đương với $P(A \mid B) = P(A)$ : biết B xảy ra không làm thay đổi xác suất của A. Kiểm tra độc lập từ một bảng số liệu bằng cách so sánh chính xác hai con số này — không có mức “gần độc lập”. Xung khắc và độc lập là hai khái niệm khác nhau, gần như đối lập.

Hai biến cố A, B độc lập khi và chỉ khi $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$, tương đương với $P(A \mid B) = P(A)$: biết B xảy ra không làm thay đổi xác suất của A. Kiểm tra độc lập từ một bảng số liệu bằng cách so sánh chính xác hai con số này — không có mức “gần độc lập”. Xung khắc và độc lập là hai khái niệm khác nhau, gần như đối lập.

Chương tiếp theo dùng đúng công thức nhân đã học để tính xác suất của một biến cố khi nó có thể xảy ra qua nhiều “nguyên nhân” khác nhau — công thức xác suất toàn phần, trình bày bằng sơ đồ cây.