Hai đường thẳng cắt nhau, song song và trùng nhau
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em phân biệt được ba vị trí tương đối của hai đường thẳng — cắt nhau, song song, trùng nhau — xác định đúng giao điểm khi hai đường thẳng cắt nhau, và vẽ được hình minh họa cho từng trường hợp.
Kiến thức nền cần nhớ
Bài trước em đã biết qua hai điểm phân biệt có đúng một đường thẳng, và biết kiểm tra một điểm có thuộc đường thẳng hay không. Bài này ghép hai đường thẳng lại với nhau và hỏi chúng có bao nhiêu điểm chung.
Hai con đường trong bản đồ khu phố — một đường chạy ngang, một đường chạy dọc — chắc chắn gặp nhau tại một ngã tư. Nhưng hai đường ray xe lửa chạy song song thì dù kéo dài đến đâu cũng không bao giờ gặp nhau. Làm sao gọi tên chính xác từng trường hợp trong Toán học?
Kiến thức trọng tâm
Hai đường thẳng phân biệt (không cùng một đường thẳng) chỉ có thể ở một trong hai vị trí: cắt nhau tại đúng một điểm chung, gọi là giao điểm; hoặc song song — không có điểm chung nào, dù kéo dài mãi về hai phía.
Vì sao hai đường thẳng phân biệt không thể có từ hai điểm chung trở lên? Vì theo tiên đề ở bài trước, qua hai điểm phân biệt chỉ có đúng một đường thẳng — nếu hai đường thẳng cùng đi qua hai điểm chung, chúng phải là cùng một đường thẳng, mâu thuẫn với giả thiết "phân biệt".
Cho đường thẳng qua $A$, $B$ và đường thẳng qua $C$, $D$.
Trường hợp còn lại là hai đường thẳng trùng nhau: đây không phải hai đường thẳng khác nhau có "rất nhiều điểm chung", mà thực chất chỉ là MỘT đường thẳng được gọi bằng hai tên khác nhau — mọi điểm của đường này cũng là điểm của đường kia.
Vẽ đường thẳng $m$ qua $P_1$ và $P_2$.
Cần phân biệt rõ: bài này nói về đường thẳng — kéo dài vô hạn — chứ không phải đoạn thẳng. Hai đoạn thẳng có thể trông như không giao nhau trên hình chỉ vì chúng bị giới hạn ở hai đầu; nếu coi chúng là hai đường thẳng thật sự (kéo dài mãi hai phía) thì có thể chúng vẫn cắt nhau ở một điểm nằm ngoài phần đã vẽ.
Ví dụ minh họa
- 1
Trên bản đồ, phố Lê Lợi và phố Trần Phú không song song. Hỏi hai phố này có bao nhiêu điểm chung? Vị trí đó tương ứng với gì trong thực tế?
- 2
Hai đường thẳng phân biệt, không song song thì cắt nhau tại đúng một điểm. Vậy phố Lê Lợi và phố Trần Phú có đúng 1 điểm chung. Trong thực tế, điểm chung đó chính là vị trí ngã tư giao giữa hai phố. Vậy giao điểm của hai phố ứng với ngã tư.
- 1Hai bạn Lan và Hùng cùng vẽ đường thẳng qua điểm $A$ và điểm $B$ nhưng đặt tên khác nhau: Lan gọi là đường thẳng $a$, Hùng gọi là đường thẳng $AB$. Hai đường thẳng của Lan và Hùng có trùng nhau không?
- 2Theo tiên đề, qua hai điểm phân biệt $A$, $B$ chỉ có đúng một đường thẳng. Đường thẳng $a$ của Lan và đường thẳng $AB$ của Hùng đều đi qua cùng hai điểm $A$, $B$, nên chúng phải là cùng một đường thẳng, chỉ khác tên gọi. Vậy hai đường thẳng trùng nhau.
- 1
Một khung ảnh hình chữ nhật có bốn cạnh: trên, dưới, trái, phải. Coi mỗi cạnh là một phần của một đường thẳng kéo dài mãi. Hãy chỉ ra quan hệ giữa (a) đường thẳng chứa cạnh trên và đường thẳng chứa cạnh dưới; (b) đường thẳng chứa cạnh trên và đường thẳng chứa cạnh trái.
- 2
a) Cạnh trên và cạnh dưới của khung hình chữ nhật không có điểm chung nào dù kéo dài mãi, nên hai đường thẳng chứa chúng song song. b) Cạnh trên và cạnh trái gặp nhau đúng tại một góc của khung ảnh — đó là điểm chung duy nhất — nên hai đường thẳng chứa chúng cắt nhau tại góc đó.
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Nhầm "trùng nhau" với "cắt nhau tại nhiều điểm" là lỗi hay gặp — hai đường thẳng phân biệt không thể có từ hai điểm chung trở lên. Nếu thấy hai đường thẳng có vẻ chung nhiều điểm, thực ra chúng chỉ là một đường thẳng mang hai tên.
Kiểm tra nhanh
Ghi nhớ
Hai đường thẳng phân biệt hoặc cắt nhau tại đúng một điểm (giao điểm), hoặc song song — không có điểm chung. Hai đường thẳng "trùng nhau" thực chất chỉ là một đường thẳng mang hai tên gọi khác nhau.
Cầu nối
Bài tiếp theo quay lại với đoạn thẳng — phần giới hạn giữa hai điểm trên một đường thẳng — để học cách đo và cộng độ dài.