Phần

Ba tia chung gốc: cộng trừ góc qua nhiều bước

Mục tiêu và kiến thức cần nhớ

Sau bài này, em tính được một góc tạo bởi các tia chung gốc khi phải đi qua hai bước suy luận liên tiếp: cộng góc, rồi dùng tia phân giác (hoặc ngược lại), thay vì chỉ áp dụng một công thức.

Kiến thức cần nhớ

Cần nhớ: nếu tia $Oy$ nằm giữa hai tia $Ox$ , $Oz$ thì $\widehat{xOy} + \widehat{yOz} = \widehat{xOz}$ . Tia phân giác của một góc chia góc đó thành hai góc bằng nhau, mỗi góc bằng nửa góc ban đầu. Cả hai đều là kiến thức chuẩn Lớp 6.

Cần nhớ: nếu tia $Oy$ nằm giữa hai tia $Ox$, $Oz$ thì $\widehat{xOy} + \widehat{yOz} = \widehat{xOz}$. Tia phân giác của một góc chia góc đó thành hai góc bằng nhau, mỗi góc bằng nửa góc ban đầu. Cả hai đều là kiến thức chuẩn Lớp 6.

Khởi động

Ba bạn đứng ở ba hướng khác nhau nhìn từ cùng một điểm $O$ : bạn A ở hướng $Ox$ , bạn B ở hướng $Oy$ , bạn C ở hướng $Oz$ . Biết góc giữa hướng nhìn tới A và B là $35^\circ$ , giữa B và C là $50^\circ$ . Nếu có thêm một cột mốc $Om$ đúng giữa hướng A và B, góc từ cột mốc đó tới C là bao nhiêu? Đề không cho thẳng con số này, chỉ cho hai góc kề và một tia phân giác.

Ba bạn đứng ở ba hướng khác nhau nhìn từ cùng một điểm $O$: bạn A ở hướng $Ox$, bạn B ở hướng $Oy$, bạn C ở hướng $Oz$. Biết góc giữa hướng nhìn tới A và B là $35^\circ$, giữa B và C là $50^\circ$. Nếu có thêm một cột mốc $Om$ đúng giữa hướng A và B, góc từ cột mốc đó tới C là bao nhiêu? Đề không cho thẳng con số này, chỉ cho hai góc kề và một tia phân giác.

Hai bước, không phải một

Cho ba tia chung gốc $Ox, Oy, Oz$ với tia $Oy$ nằm giữa hai tia $Ox$ , $Oz$ , $\widehat{xOy} = 35^\circ$ , $\widehat{yOz} = 50^\circ$ . Gọi $Om$ là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$ . Đề hỏi $\widehat{mOz}$ , một góc không xuất hiện trực tiếp trong bất kỳ dữ kiện nào. Không có công thức một bước cho việc này.

Cho ba tia chung gốc $Ox, Oy, Oz$ với tia $Oy$ nằm giữa hai tia $Ox$, $Oz$, $\widehat{xOy} = 35^\circ$, $\widehat{yOz} = 50^\circ$. Gọi $Om$ là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$. Đề hỏi $\widehat{mOz}$, một góc không xuất hiện trực tiếp trong bất kỳ dữ kiện nào. Không có công thức một bước cho việc này.

Ý tưởng: tách $\widehat{mOz}$ thành hai góc đã biết. Vì $Om$ nằm giữa $Ox$ và $Oy$ (do là phân giác của $\widehat{xOy}$ ), và $Oy$ nằm giữa $Ox$ và $Oz$ theo đề, nên $Om$ cũng nằm giữa $Ox$ và $Oz$ . Từ đó $\widehat{mOz} = \widehat{mOy} + \widehat{yOz}$ , mà $\widehat{mOy}$ chính là nửa $\widehat{xOy}$ , đã tính được từ bước 1.

Ý tưởng: tách $\widehat{mOz}$ thành hai góc đã biết. Vì $Om$ nằm giữa $Ox$ và $Oy$ (do là phân giác của $\widehat{xOy}$), và $Oy$ nằm giữa $Ox$ và $Oz$ theo đề, nên $Om$ cũng nằm giữa $Ox$ và $Oz$. Từ đó $\widehat{mOz} = \widehat{mOy} + \widehat{yOz}$, mà $\widehat{mOy}$ chính là nửa $\widehat{xOy}$, đã tính được từ bước 1.

Lời giải có hình

Ba tia chung gốc và tia phân giác của góc đầu

Bước 1

Cho ba tia chung gốc $Ox, Oy, Oz$ , tia $Oy$ nằm giữa $Ox$ và $Oz$ , $\widehat{xOy} = 35^\circ$ , $\widehat{yOz} = 50^\circ$ .Cho ba tia chung gốc $Ox, Oy, Oz$, tia $Oy$ nằm giữa $Ox$ và $Oz$, $\widehat{xOy} = 35^\circ$, $\widehat{yOz} = 50^\circ$.

Ví dụ

Ví dụ 1 — Góc từ tia phân giác tới tia thứ ba

1
$\widehat{mOz}$ không được cho trực tiếp, và cũng không kề bù hay đối đỉnh với dữ kiện nào. Muốn tính, phải đi qua đúng hai phép tính liên tiếp: chia đôi một góc, rồi cộng với góc còn lại.
$\widehat{mOz}$ không được cho trực tiếp, và cũng không kề bù hay đối đỉnh với dữ kiện nào. Muốn tính, phải đi qua đúng hai phép tính liên tiếp: chia đôi một góc, rồi cộng với góc còn lại.
2
Xác định trước tia nào nằm giữa tia nào. Một khi biết $Om$ nằm giữa $Ox, Oz$ , ta có ngay $\widehat{mOz} = \widehat{mOy} + \widehat{yOz}$ , một phép cộng đơn giản.
Xác định trước tia nào nằm giữa tia nào. Một khi biết $Om$ nằm giữa $Ox, Oz$, ta có ngay $\widehat{mOz} = \widehat{mOy} + \widehat{yOz}$, một phép cộng đơn giản.
3
Tia phân giác luôn nằm giữa hai cạnh của góc mà nó chia đôi, đó là định nghĩa. Khi $Oy$ đã nằm giữa $Ox, Oz$ theo đề, việc $Om$ (giữa $Ox, Oy$ ) cũng nằm giữa $Ox, Oz$ không phải giả định thêm, mà là hệ quả tất yếu của thứ tự bốn tia.
Tia phân giác luôn nằm giữa hai cạnh của góc mà nó chia đôi, đó là định nghĩa. Khi $Oy$ đã nằm giữa $Ox, Oz$ theo đề, việc $Om$ (giữa $Ox, Oy$) cũng nằm giữa $Ox, Oz$ không phải giả định thêm, mà là hệ quả tất yếu của thứ tự bốn tia.
4
$\widehat{xOm} = \widehat{mOy} = 35^\circ \div 2 = 17{,}5^\circ$ . $\widehat{mOz} = \widehat{mOy} + \widehat{yOz} = 17{,}5^\circ + 50^\circ = 67{,}5^\circ$ .
$\widehat{xOm} = \widehat{mOy} = 35^\circ \div 2 = 17{,}5^\circ$. $\widehat{mOz} = \widehat{mOy} + \widehat{yOz} = 17{,}5^\circ + 50^\circ = 67{,}5^\circ$.
5
Khi đề cho một tia phân giác cùng một tia thứ ba, hãy vẽ rõ thứ tự bốn tia trước khi cộng trừ. Sai thứ tự sẽ cộng nhầm góc lớn thay vì góc nhỏ, hoặc ngược lại.
6
Nếu đổi vai trò, lấy $On$ là phân giác của $\widehat{yOz}$ thay vì $\widehat{xOy}$ , cách làm tương tự: $\widehat{yOn} = 50^\circ \div 2 = 25^\circ$ , rồi $\widehat{xOn} = \widehat{xOy} + \widehat{yOn} = 35^\circ + 25^\circ = 60^\circ$ .
Nếu đổi vai trò, lấy $On$ là phân giác của $\widehat{yOz}$ thay vì $\widehat{xOy}$, cách làm tương tự: $\widehat{yOn} = 50^\circ \div 2 = 25^\circ$, rồi $\widehat{xOn} = \widehat{xOy} + \widehat{yOn} = 35^\circ + 25^\circ = 60^\circ$.
7
Vì $Om$ là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ , ta có $\widehat{xOm} = \widehat{mOy} = \dfrac{\widehat{xOy}}{2} = \dfrac{35^\circ}{2} = 17{,}5^\circ$ . (1)

Vì $Oy$ nằm giữa $Ox, Oz$ và $Om$ nằm giữa $Ox, Oy$ , tia $Om$ cũng nằm giữa $Ox, Oz$ , nên theo tính chất cộng góc: $\widehat{mOz} = \widehat{mOy} + \widehat{yOz}$ . (2)

Thay (1) vào (2): $\widehat{mOz} = 17{,}5^\circ + 50^\circ = 67{,}5^\circ$ . Vậy $\widehat{mOz} = 67{,}5^\circ$ .
Vì $Om$ là tia phân giác của $\widehat{xOy}$, ta có $\widehat{xOm} = \widehat{mOy} = \dfrac{\widehat{xOy}}{2} = \dfrac{35^\circ}{2} = 17{,}5^\circ$. (1) Vì $Oy$ nằm giữa $Ox, Oz$ và $Om$ nằm giữa $Ox, Oy$, tia $Om$ cũng nằm giữa $Ox, Oz$, nên theo tính chất cộng góc: $\widehat{mOz} = \widehat{mOy} + \widehat{yOz}$. (2) Thay (1) vào (2): $\widehat{mOz} = 17{,}5^\circ + 50^\circ = 67{,}5^\circ$. Vậy $\widehat{mOz} = 67{,}5^\circ$.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Hai điều kiện cùng lúc trên một góc bẹt

1
Đề cho góc bẹt $\widehat{xOy} = 180^\circ$ và một tia $Oz$ ở giữa, nhưng không cho trực tiếp $\widehat{xOz}$ hay $\widehat{zOy}$ , chỉ cho hiệu của chúng: $\widehat{xOz} - \widehat{zOy} = 40^\circ$ . Không thể tính ngay một góc nếu chỉ biết hiệu.
Đề cho góc bẹt $\widehat{xOy} = 180^\circ$ và một tia $Oz$ ở giữa, nhưng không cho trực tiếp $\widehat{xOz}$ hay $\widehat{zOy}$, chỉ cho hiệu của chúng: $\widehat{xOz} - \widehat{zOy} = 40^\circ$. Không thể tính ngay một góc nếu chỉ biết hiệu.
2
Kết hợp hai dữ kiện: tổng hai góc luôn là $180^\circ$ (vì $xOy$ là góc bẹt), và hiệu của chúng là $40^\circ$ . Từ một tổng và một hiệu đã biết, tính ra được từng số bằng cách cộng rồi chia đôi.
Kết hợp hai dữ kiện: tổng hai góc luôn là $180^\circ$ (vì $xOy$ là góc bẹt), và hiệu của chúng là $40^\circ$. Từ một tổng và một hiệu đã biết, tính ra được từng số bằng cách cộng rồi chia đôi.
3
Đây thực chất là bài toán tìm hai số biết tổng và hiệu, việc em đã quen ở số học. Hình học chỉ cung cấp cái tổng $180^\circ$ (từ góc bẹt) một cách gián tiếp, còn lại là suy luận số học thuần túy.
Đây thực chất là bài toán tìm hai số biết tổng và hiệu, việc em đã quen ở số học. Hình học chỉ cung cấp cái tổng $180^\circ$ (từ góc bẹt) một cách gián tiếp, còn lại là suy luận số học thuần túy.
4
$\widehat{xOz} + \widehat{zOy} = 180^\circ$ và $\widehat{xOz} - \widehat{zOy} = 40^\circ$ . Cộng hai đẳng thức: $2\widehat{xOz} = 220^\circ$ , nên $\widehat{xOz} = 110^\circ$ . Từ đó $\widehat{zOy} = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$ .
$\widehat{xOz} + \widehat{zOy} = 180^\circ$ và $\widehat{xOz} - \widehat{zOy} = 40^\circ$. Cộng hai đẳng thức: $2\widehat{xOz} = 220^\circ$, nên $\widehat{xOz} = 110^\circ$. Từ đó $\widehat{zOy} = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.
5
Khi đề cho tổng và hiệu của hai góc, đừng cố đoán từng góc riêng lẻ. Cộng hai đẳng thức để triệt tiêu góc nhỏ, tìm góc lớn trước, rồi suy ra góc còn lại.
6
Nếu đổi hiệu thành $\widehat{zOy} - \widehat{xOz} = 40^\circ$ (đổi chiều hiệu), kết quả đảo lại: $\widehat{zOy} = 110^\circ$ , $\widehat{xOz} = 70^\circ$ . Luôn đọc kỹ góc nào bị trừ, góc nào trừ.
Nếu đổi hiệu thành $\widehat{zOy} - \widehat{xOz} = 40^\circ$ (đổi chiều hiệu), kết quả đảo lại: $\widehat{zOy} = 110^\circ$, $\widehat{xOz} = 70^\circ$. Luôn đọc kỹ góc nào bị trừ, góc nào trừ.
7
Vì $\widehat{xOy}$ là góc bẹt và tia $Oz$ nằm giữa $Ox, Oy$ , theo tính chất cộng góc ta có $\widehat{xOz} + \widehat{zOy} = 180^\circ$ . (1)

Theo đề, $\widehat{xOz} - \widehat{zOy} = 40^\circ$ . (2)

Cộng vế theo vế (1) và (2): $2\widehat{xOz} = 220^\circ$ , suy ra $\widehat{xOz} = 110^\circ$ . Thay vào (1): $\widehat{zOy} = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$ . Vậy $\widehat{xOz} = 110^\circ$ , $\widehat{zOy} = 70^\circ$ (đúng điều kiện $110 - 70 = 40$ , TMĐK).
Vì $\widehat{xOy}$ là góc bẹt và tia $Oz$ nằm giữa $Ox, Oy$, theo tính chất cộng góc ta có $\widehat{xOz} + \widehat{zOy} = 180^\circ$. (1) Theo đề, $\widehat{xOz} - \widehat{zOy} = 40^\circ$. (2) Cộng vế theo vế (1) và (2): $2\widehat{xOz} = 220^\circ$, suy ra $\widehat{xOz} = 110^\circ$. Thay vào (1): $\widehat{zOy} = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$. Vậy $\widehat{xOz} = 110^\circ$, $\widehat{zOy} = 70^\circ$ (đúng điều kiện $110 - 70 = 40$, TMĐK).

Sai lầm phổ biến

Sai lầm phổ biến: khi thấy "tia phân giác", nhiều bạn chia đôi ngay cả góc chưa chắc là góc mà tia đó chia. Trước khi chia đôi, hãy xác định rõ tia phân giác đang chia góc nào, không phải góc gần nó nhất trên hình vẽ.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Tổng kết

Tóm lại: khi bài toán trộn tia phân giác với một góc kề khác, tách vấn đề thành hai bước rõ ràng, chia đôi trước, cộng hoặc trừ sau, và luôn xác định thứ tự các tia trước khi tính.

Chương tiếp theo dùng đúng ý tưởng "tia phân giác của hai góc kề" này để chứng minh một kết quả nổi tiếng: góc giữa hai tia phân giác của hai góc kề bù luôn là góc vuông, dù hai góc kề bù đó có số đo bao nhiêu.