Phần

Sắp xếp một dãy lũy thừa — bẫy dấu bằng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em sắp xếp được một dãy ba lũy thừa trở lên theo thứ tự tăng dần, biết chọn cùng cơ số hay cùng số mũ cho từng cặp, và không bị lừa bởi hai lũy thừa trông khác nhau nhưng thật ra bằng nhau.

Kiến thức cần có

Bài này dùng lại đúng kỹ thuật "đưa về cùng số mũ" của bài trước, chỉ khác ở chỗ có từ ba lũy thừa trở lên nên phải chọn kỹ hơn cách quy đổi.

So sánh hai lũy thừa đã khó, sắp xếp ba lũy thừa còn khó hơn: đưa về cùng số mũ với cặp này thì lại lệch với cặp kia. Đề HSG hay tận dụng đúng chỗ khó này — và đôi khi cài một cặp bằng nhau ở giữa để xem học sinh có tính cẩn thận hay đoán bừa theo "cơ số càng lớn thì lũy thừa càng lớn".

Bài toán khởi động

Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: $2^{24}$ , $3^{16}$ , $5^{8}$ . Ba cơ số khác nhau, ba số mũ khác nhau — bắt đầu từ đâu?

Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: $2^{24}$, $3^{16}$, $5^{8}$. Ba cơ số khác nhau, ba số mũ khác nhau — bắt đầu từ đâu?

Ý tưởng cốt lõi

Nhìn vào ba số mũ $24, 16, 8$ : cả ba đều chia hết cho $8$ . Đưa cả ba lũy thừa về cùng số mũ $8$ : $2^{24}=(2^3)^8=8^8$ , $3^{16}=(3^2)^8=9^8$ , và $5^8$ đã sẵn số mũ $8$ . Bây giờ chỉ cần so sánh ba cơ số $5, 8, 9$ — dễ như đếm.

Nhìn vào ba số mũ $24, 16, 8$: cả ba đều chia hết cho $8$. Đưa cả ba lũy thừa về cùng số mũ $8$: $2^{24}=(2^3)^8=8^8$, $3^{16}=(3^2)^8=9^8$, và $5^8$ đã sẵn số mũ $8$. Bây giờ chỉ cần so sánh ba cơ số $5, 8, 9$ — dễ như đếm.

Mấu chốt của việc sắp xếp nhiều số hạng là tìm được MỘT số mũ chung cho TẤT CẢ, chứ không phải xử lý từng cặp riêng lẻ. Nếu ba số mũ không có ước chung nào lớn hơn $1$ , phải quay lại so sánh từng cặp bằng những cách khác — nhưng phần lớn đề Lớp 6 nâng cao chọn số mũ có ước chung đẹp, đúng như bài toán khởi động.

Mấu chốt của việc sắp xếp nhiều số hạng là tìm được MỘT số mũ chung cho TẤT CẢ, chứ không phải xử lý từng cặp riêng lẻ. Nếu ba số mũ không có ước chung nào lớn hơn $1$, phải quay lại so sánh từng cặp bằng những cách khác — nhưng phần lớn đề Lớp 6 nâng cao chọn số mũ có ước chung đẹp, đúng như bài toán khởi động.

Ví dụ áp dụng

Ví dụ

Ví dụ 1 — Giải bài toán khởi động: sắp xếp

2^{24}

3^{16}

5^{8}

Ví dụ 1 — Giải bài toán khởi động: sắp xếp $2^{24}$, $3^{16}$, $5^{8}$

1
$\gcd(24{,}16{,}8) = 8$ .
$\gcd(24,16,8) = 8$.
2
$2^{24}=(2^3)^8=8^8$ ; $3^{16}=(3^2)^8=9^8$ ; $5^8$ giữ nguyên.
$2^{24}=(2^3)^8=8^8$; $3^{16}=(3^2)^8=9^8$; $5^8$ giữ nguyên.
3
$5 < 8 < 9$ .
$5 < 8 < 9$.
4
$5^8 < 2^{24} < 3^{16}$ — thứ tự tăng dần.
$5^8 < 2^{24} < 3^{16}$ — thứ tự tăng dần.
5
Ta có $\gcd(24{,}16{,}8)=8$ (1). Từ (1): $2^{24}=8^8$ , $3^{16}=9^8$ , $5^8=5^8$ (2). Vì $5<8<9$ , từ (2) và tính chất cùng số mũ dương thì cơ số lớn hơn cho giá trị lớn hơn, suy ra $5^8<8^8<9^8$ . Vậy $5^8 < 2^{24} < 3^{16}$ .
Ta có $\gcd(24,16,8)=8$ (1). Từ (1): $2^{24}=8^8$, $3^{16}=9^8$, $5^8=5^8$ (2). Vì $5<8<9$, từ (2) và tính chất cùng số mũ dương thì cơ số lớn hơn cho giá trị lớn hơn, suy ra $5^8<8^8<9^8$. Vậy $5^8 < 2^{24} < 3^{16}$.
6
Thêm số hạng thứ tư $4^{12}$ vào dãy: $4^{12}=(2^2)^{12}=2^{24}$ — bằng đúng số hạng thứ nhất. Dãy đầy đủ là $5^8 < 2^{24}=4^{12} < 3^{16}$ , một cặp bằng nhau trông không giống nhau chút nào ở dạng ban đầu.
Thêm số hạng thứ tư $4^{12}$ vào dãy: $4^{12}=(2^2)^{12}=2^{24}$ — bằng đúng số hạng thứ nhất. Dãy đầy đủ là $5^8 < 2^{24}=4^{12} < 3^{16}$, một cặp bằng nhau trông không giống nhau chút nào ở dạng ban đầu.

Sau khi quy về cùng số mũ

8

, thứ tự của ba lũy thừa trùng khớp với thứ tự của ba cơ số

5 < 8 < 9

.Sau khi quy về cùng số mũ $8$, thứ tự của ba lũy thừa trùng khớp với thứ tự của ba cơ số $5 < 8 < 9$.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Bẫy dấu bằng: so sánh

4^{15}

8^{10}

và

16^{6}

Ví dụ 2 — Bẫy dấu bằng: so sánh $4^{15}$, $8^{10}$ và $16^{6}$

1
Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: $4^{15}$ , $8^{10}$ , $16^{6}$ .
Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: $4^{15}$, $8^{10}$, $16^{6}$.
2
$4^{15}=(2^2)^{15}=2^{30}$ ; $8^{10}=(2^3)^{10}=2^{30}$ ; $16^6=(2^4)^6=2^{24}$ .
$4^{15}=(2^2)^{15}=2^{30}$; $8^{10}=(2^3)^{10}=2^{30}$; $16^6=(2^4)^6=2^{24}$.
3
$24 < 30 = 30$ — hai số mũ đầu bằng hệt nhau.
$24 < 30 = 30$ — hai số mũ đầu bằng hệt nhau.
4
$16^6 < 4^{15} = 8^{10}$ . Nếu chỉ nhìn hình thức bên ngoài ( $4^{15}$ và $8^{10}$ trông rất khác nhau), rất dễ đoán bừa một thứ tự tăng dần chặt cho cả ba số, bỏ sót trường hợp bằng nhau.
$16^6 < 4^{15} = 8^{10}$. Nếu chỉ nhìn hình thức bên ngoài ($4^{15}$ và $8^{10}$ trông rất khác nhau), rất dễ đoán bừa một thứ tự tăng dần chặt cho cả ba số, bỏ sót trường hợp bằng nhau.
5
Đưa cả ba lũy thừa về cùng cơ số $2$ : $4^{15}=2^{30}$ , $8^{10}=2^{30}$ , $16^6=2^{24}$ (1). Từ (1), vì $24<30$ , theo tính chất cùng cơ số lớn hơn $1$ thì số mũ lớn hơn cho giá trị lớn hơn: $2^{24}<2^{30}$ . Vậy $16^6 < 4^{15} = 8^{10}$ .
Đưa cả ba lũy thừa về cùng cơ số $2$: $4^{15}=2^{30}$, $8^{10}=2^{30}$, $16^6=2^{24}$ (1). Từ (1), vì $24<30$, theo tính chất cùng cơ số lớn hơn $1$ thì số mũ lớn hơn cho giá trị lớn hơn: $2^{24}<2^{30}$. Vậy $16^6 < 4^{15} = 8^{10}$.
6
Đổi $16^6$ thành $16^{7}$ : $16^7=(2^4)^7=2^{28}$ , vẫn nhỏ hơn $2^{30}$ nhưng gần hơn — thứ tự không đổi ( $16^7 < 4^{15}=8^{10}$ ), chỉ khoảng cách thu hẹp lại, cho thấy kết luận "bằng nhau" ở ví dụ gốc là một sự trùng hợp đúng của riêng số mũ $6$ , không phải quy luật chung.
Đổi $16^6$ thành $16^{7}$: $16^7=(2^4)^7=2^{28}$, vẫn nhỏ hơn $2^{30}$ nhưng gần hơn — thứ tự không đổi ($16^7 < 4^{15}=8^{10}$), chỉ khoảng cách thu hẹp lại, cho thấy kết luận "bằng nhau" ở ví dụ gốc là một sự trùng hợp đúng của riêng số mũ $6$, không phải quy luật chung.

Ví dụ

Ví dụ 3 — Sắp xếp ba lũy thừa cùng gốc cơ số 2:

2^{50}

4^{26}

8^{17}

Ví dụ 3 — Sắp xếp ba lũy thừa cùng gốc cơ số 2: $2^{50}$, $4^{26}$, $8^{17}$

1
Sắp xếp theo thứ tự giảm dần: $2^{50}$ , $4^{26}$ , $8^{17}$ .
Sắp xếp theo thứ tự giảm dần: $2^{50}$, $4^{26}$, $8^{17}$.
2
$2^{50}$ giữ nguyên; $4^{26}=(2^2)^{26}=2^{52}$ ; $8^{17}=(2^3)^{17}=2^{51}$ .
$2^{50}$ giữ nguyên; $4^{26}=(2^2)^{26}=2^{52}$; $8^{17}=(2^3)^{17}=2^{51}$.
3
$52 > 51 > 50$ .
$52 > 51 > 50$.
4
$4^{26} > 8^{17} > 2^{50}$ — dù $2^{50}$ trông có số mũ lớn nhất trong đề bài gốc, nó lại là số NHỎ NHẤT sau khi quy về cùng cơ số.
$4^{26} > 8^{17} > 2^{50}$ — dù $2^{50}$ trông có số mũ lớn nhất trong đề bài gốc, nó lại là số NHỎ NHẤT sau khi quy về cùng cơ số.
5
Đưa cả ba lũy thừa về cùng cơ số $2$ : $2^{50}=2^{50}$ , $4^{26}=2^{52}$ , $8^{17}=2^{51}$ (1). Từ (1), vì $52>51>50$ , theo tính chất cùng cơ số lớn hơn $1$ thì số mũ lớn hơn cho giá trị lớn hơn: $2^{52}>2^{51}>2^{50}$ . Vậy $4^{26} > 8^{17} > 2^{50}$ .
Đưa cả ba lũy thừa về cùng cơ số $2$: $2^{50}=2^{50}$, $4^{26}=2^{52}$, $8^{17}=2^{51}$ (1). Từ (1), vì $52>51>50$, theo tính chất cùng cơ số lớn hơn $1$ thì số mũ lớn hơn cho giá trị lớn hơn: $2^{52}>2^{51}>2^{50}$. Vậy $4^{26} > 8^{17} > 2^{50}$.
6
Đổi $8^{17}$ thành $16^{13}$ : $16^{13}=(2^4)^{13}=2^{52}$ , bằng đúng $4^{26}$ — thêm một cặp bằng nhau ẩn giấu, đúng cái bẫy dấu bằng mà Ví dụ 2 đã cảnh báo, lần này xuất hiện ở một cặp cơ số khác.
Đổi $8^{17}$ thành $16^{13}$: $16^{13}=(2^4)^{13}=2^{52}$, bằng đúng $4^{26}$ — thêm một cặp bằng nhau ẩn giấu, đúng cái bẫy dấu bằng mà Ví dụ 2 đã cảnh báo, lần này xuất hiện ở một cặp cơ số khác.

Bẫy thường gặp

(1) Thấy ba cơ số khác nhau thì mặc định ba lũy thừa cũng khác nhau — Ví dụ 2 cho thấy $4^{15}$ và $8^{10}$ bằng nhau dù nhìn hoàn toàn khác. (2) Tìm ước chung của từng cặp số mũ riêng lẻ rồi quy đổi không đồng bộ — dẫn đến ba lũy thừa có ba số mũ khác nhau, không so sánh chéo được. Luôn tìm MỘT số mũ chung (hoặc cơ số chung) cho TẤT CẢ số hạng trước khi so sánh. (3) Nhìn số mũ ban đầu ( $50 > 26 > 17$ ở Ví dụ 3) rồi đoán luôn thứ tự theo đó — số mũ ban đầu không so sánh được khi các lũy thừa có CƠ SỐ khác nhau; phải quy về cùng cơ số trước.

(1) Thấy ba cơ số khác nhau thì mặc định ba lũy thừa cũng khác nhau — Ví dụ 2 cho thấy $4^{15}$ và $8^{10}$ bằng nhau dù nhìn hoàn toàn khác. (2) Tìm ước chung của từng cặp số mũ riêng lẻ rồi quy đổi không đồng bộ — dẫn đến ba lũy thừa có ba số mũ khác nhau, không so sánh chéo được. Luôn tìm MỘT số mũ chung (hoặc cơ số chung) cho TẤT CẢ số hạng trước khi so sánh. (3) Nhìn số mũ ban đầu ($50 > 26 > 17$ ở Ví dụ 3) rồi đoán luôn thứ tự theo đó — số mũ ban đầu không so sánh được khi các lũy thừa có CƠ SỐ khác nhau; phải quy về cùng cơ số trước.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Thử thách

Tóm tắt

Với nhiều hơn hai lũy thừa, luôn tìm MỘT số mũ chung (hoặc cơ số chung) cho tất cả số hạng cùng lúc — đừng xử lý từng cặp riêng rẽ. Và luôn kiểm tra khả năng hai số hạng bằng nhau trước khi viết dấu $<$ chặt.

Hai bài vừa rồi cho em công cụ so sánh giá trị của lũy thừa. Nhưng nhiều bài HSG không hỏi "lũy thừa nào lớn hơn" mà hỏi "số mũ nào làm phương trình đúng" hoặc "tổng nhiều lũy thừa có chia hết cho một số cho trước không". Chương tiếp theo dùng lại đúng thao tác viết-lại-dưới-dạng-lũy-thừa, nhưng để giải phương trình và chứng minh chia hết.