Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Chữ số tận cùng của số chính phương
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em loại được một số rất lớn ra khỏi danh sách "có thể là số chính phương" chỉ bằng cách nhìn chữ số cuối cùng của nó — không cần bấm máy, không cần khai căn.
Cần nhớ trước
Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên: $0,1,4,9,16,25,\dots$ Em cũng cần nhớ lại cách khai triển $(10a+b)^2$ và quy tắc lấy chữ số tận cùng của một tích.
**So với mức chuẩn:** một bài chuẩn Lớp 6 chỉ hỏi "36 có phải số chính phương không?" — em thử $6^2=36$ rồi trả lời. Bài HSG đảo ngược vấn đề: đề cho một số có rất nhiều chữ số, không ai đi khai căn tay một số như vậy. Em cần một quy tắc loại nhanh, đúng cho mọi số, không riêng một trường hợp.
Bài toán mở đầu
Một bạn bấm máy tính, thấy kết quả của một phép nhân là $1\,234\,567$ và bảo đó là bình phương của một số nào đó. Em có thể bác bỏ ngay mà không cần biết phép nhân là gì không? Câu trả lời nằm ở đúng một chữ số — chữ số cuối cùng.
Ý tưởng cốt lõi — chữ số cuối của $n^2$ chỉ phụ thuộc chữ số cuối của $n$
Viết $n=10a+b$ với $b$ là chữ số hàng đơn vị của $n$ ($0\le b\le9$). Khi đó $$n^2=(10a+b)^2=100a^2+20ab+b^2.$$ Hai số hạng đầu đều chia hết cho $10$, nên chữ số tận cùng của $n^2$ hoàn toàn do $b^2$ quyết định — cụ thể là chữ số tận cùng của $b^2$. Ta chỉ cần thử $b$ từ $0$ đến $9$:
$0^2=0,\ 1^2=1,\ 2^2=4,\ 3^2=9,\ 4^2=16,\ 5^2=25,\ 6^2=36,\ 7^2=49,\ 8^2=64,\ 9^2=81$. Chữ số tận cùng thu được lần lượt là $0,1,4,9,6,5,6,9,4,1$ — chỉ gồm năm giá trị khác nhau: $\{0,1,4,5,6,9\}$. Không một số chính phương nào tận cùng bằng $2,3,7$ hoặc $8$.
Sáu chữ số này là toàn bộ chữ số tận cùng có thể có của một số chính phương — các chữ số 2, 3, 7, 8 không hề xuất hiện trong bảng nên không được vẽ ở đây.
Ví dụ
Ví dụ 1 — Loại 1 234 567 khỏi danh sách số chính phương
1
Đề chuẩn chỉ hỏi về một số nhỏ, khai căn tay được ngay. Ở đây số có bảy chữ số — không ai khai căn tay một số như vậy trong phòng thi, nên phải dùng dấu hiệu chữ số tận cùng.
2
Chữ số tận cùng của $1\,234\,567$ là $7$. Theo bảng vừa lập, $7\notin\{0,1,4,5,6,9\}$.
3
Vì không số tự nhiên nào có bình phương tận cùng bằng $7$, số $1\,234\,567$ chắc chắn không phải số chính phương — dù ta chưa hề biết giá trị căn bậc hai gần đúng của nó.
4
Với mọi số tận cùng bằng $2,3,7$ hoặc $8$, kết luận tương tự luôn đúng ngay lập tức. Biến thể: $20\,233$ tận cùng $3$ — cũng bị loại bằng đúng lập luận này.
5
Xét chữ số tận cùng của $1\,234\,567$ là $7$. Ta có: nếu $n=10a+b$ thì $n^2=100a^2+20ab+b^2$, nên chữ số tận cùng của $n^2$ chính là chữ số tận cùng của $b^2$. Thử $b=0,1,\dots,9$ ta được tập chữ số tận cùng có thể có của một số chính phương là $\{0,1,4,5,6,9\}$. Do $7\notin\{0,1,4,5,6,9\}$, không tồn tại số tự nhiên nào có bình phương tận cùng bằng $7$. Vậy $1\,234\,567$ không phải là số chính phương.
Ví dụ trên loại một số cụ thể. Một bài HSG thật sự thường đi xa hơn — hỏi ngược lại: biết chữ số tận cùng của $n^2$, ta suy ra được gì về chữ số tận cùng của $n$?
Ví dụ
Ví dụ 2 — Nếu $n^2$ tận cùng bằng $5$ thì $n$ tận cùng bằng mấy
1
Cho $n$ là số tự nhiên. Biết $n^2$ có chữ số tận cùng là $5$. Chứng minh $n$ cũng có chữ số tận cùng là $5$.
2
Đây là chiều ngược của bảng ở trên: thay vì hỏi "$n$ tận cùng $b$ thì $n^2$ tận cùng gì", đề hỏi "$n^2$ tận cùng $5$ thì $b$ phải là bao nhiêu". Ta rà lại đúng bảng mười giá trị đã lập.
3
Nhìn lại bảng: $b^2$ tận cùng $5$ chỉ xảy ra đúng một lần, khi $b=5$ (vì $5^2=25$). Không giá trị $b$ nào khác trong $\{0,\dots,9\}$ cho $b^2$ tận cùng $5$.
4
Vì chữ số tận cùng của $n^2$ chỉ phụ thuộc chữ số tận cùng $b$ của $n$, và chỉ $b=5$ cho $b^2$ tận cùng $5$, nên $n$ bắt buộc có chữ số tận cùng là $5$.
5
Đây là kỹ thuật "đọc ngược bảng": mỗi chữ số tận cùng hợp lệ của $n^2$ ứng với một hoặc hai chữ số tận cùng có thể có của $n$ (ví dụ tận cùng $9$ ứng với $n$ tận cùng $3$ hoặc $7$). Biến thể: nếu $n^2$ tận cùng $6$ thì $n$ tận cùng $4$ hoặc $6$.
6
Gọi $b$ là chữ số tận cùng của $n$. Theo bảng chữ số tận cùng của $b^2$ với $b=0,\dots,9$ đã lập ở phần lý thuyết, chỉ có $b=5$ cho $b^2=25$ tận cùng bằng $5$; mọi giá trị $b$ còn lại đều cho $b^2$ tận cùng khác $5$. Do $n^2$ tận cùng $5$ theo giả thiết, và chữ số tận cùng của $n^2$ chỉ do $b^2$ quyết định, nên $b=5$. Vậy $n$ có chữ số tận cùng là $5$.
Bẫy thường gặp
Chữ số tận cùng hợp lệ ($0,1,4,5,6,9$) chỉ là **điều kiện cần**, không phải điều kiện đủ. Số $1986$ tận cùng bằng $6$ — hợp lệ — nhưng $1986$ **không phải** số chính phương ($44^2=1936$, $45^2=2025$, và $1986$ nằm giữa hai số đó). Cách nhìn chữ số tận cùng chỉ giúp em LOẠI nhanh, chưa bao giờ giúp em KHẲNG ĐỊNH một số là số chính phương.
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Thử thách
Tóm tắt
Chữ số tận cùng của một số chính phương chỉ có thể là $0,1,4,5,6,9$ — không bao giờ là $2,3,7,8$. Đây là cách loại nhanh, đúng với số lớn cỡ nào cũng được, nhưng chỉ là điều kiện **cần**: một số tận cùng hợp lệ vẫn có thể không phải số chính phương, như $1986$ vừa thấy.
Vậy làm sao xử lý những số "lọt qua" phép thử chữ số tận cùng như $1986$? Bài sau giới thiệu một phép thử mạnh hơn, dựa trên số dư khi chia cho $4$ — bắt được nhiều trường hợp mà chữ số tận cùng bỏ sót.
Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên: 0,1,4,9,16,25,… Em cũng cần nhớ lại cách khai triển (10a+b)2 và quy tắc lấy chữ số tận cùng của một tích.
So với mức chuẩn: một bài chuẩn Lớp 6 chỉ hỏi "36 có phải số chính phương không?" — em thử 62=36 rồi trả lời. Bài HSG đảo ngược vấn đề: đề cho một số có rất nhiều chữ số, không ai đi khai căn tay một số như vậy. Em cần một quy tắc loại nhanh, đúng cho mọi số, không riêng một trường hợp.
Một bạn bấm máy tính, thấy kết quả của một phép nhân là 1234567 và bảo đó là bình phương của một số nào đó. Em có thể bác bỏ ngay mà không cần biết phép nhân là gì không? Câu trả lời nằm ở đúng một chữ số — chữ số cuối cùng.
Ý tưởng cốt lõi — chữ số cuối của n2 chỉ phụ thuộc chữ số cuối của n
Viết n=10a+b với b là chữ số hàng đơn vị của n (0≤b≤9). Khi đó n2=(10a+b)2=100a2+20ab+b2. Hai số hạng đầu đều chia hết cho 10, nên chữ số tận cùng của n2 hoàn toàn do b2 quyết định — cụ thể là chữ số tận cùng của b2. Ta chỉ cần thử b từ 0 đến 9:
02=0,12=1,22=4,32=9,42=16,52=25,62=36,72=49,82=64,92=81. Chữ số tận cùng thu được lần lượt là 0,1,4,9,6,5,6,9,4,1 — chỉ gồm năm giá trị khác nhau: {0,1,4,5,6,9}. Không một số chính phương nào tận cùng bằng 2,3,7 hoặc 8.
Chữ số tận cùng của 1234567 là 7. Theo bảng vừa lập, 7∈/{0,1,4,5,6,9}.
Vì không số tự nhiên nào có bình phương tận cùng bằng 7, số 1234567 chắc chắn không phải số chính phương — dù ta chưa hề biết giá trị căn bậc hai gần đúng của nó.
Với mọi số tận cùng bằng 2,3,7 hoặc 8, kết luận tương tự luôn đúng ngay lập tức. Biến thể: 20233 tận cùng 3 — cũng bị loại bằng đúng lập luận này.
Xét chữ số tận cùng của 1234567 là 7. Ta có: nếu n=10a+b thì n2=100a2+20ab+b2, nên chữ số tận cùng của n2 chính là chữ số tận cùng của b2. Thử b=0,1,…,9 ta được tập chữ số tận cùng có thể có của một số chính phương là {0,1,4,5,6,9}. Do 7∈/{0,1,4,5,6,9}, không tồn tại số tự nhiên nào có bình phương tận cùng bằng 7. Vậy 1234567 không phải là số chính phương.
Ví dụ trên loại một số cụ thể. Một bài HSG thật sự thường đi xa hơn — hỏi ngược lại: biết chữ số tận cùng của n2, ta suy ra được gì về chữ số tận cùng của n?
Ví dụ 2 — Nếu n2 tận cùng bằng 5 thì n tận cùng bằng mấy
Cho n là số tự nhiên. Biết n2 có chữ số tận cùng là 5. Chứng minh n cũng có chữ số tận cùng là 5.
Đây là chiều ngược của bảng ở trên: thay vì hỏi "n tận cùng b thì n2 tận cùng gì", đề hỏi "n2 tận cùng 5 thì b phải là bao nhiêu". Ta rà lại đúng bảng mười giá trị đã lập.
Nhìn lại bảng: b2 tận cùng 5 chỉ xảy ra đúng một lần, khi b=5 (vì 52=25). Không giá trị b nào khác trong {0,…,9} cho b2 tận cùng 5.
Vì chữ số tận cùng của n2 chỉ phụ thuộc chữ số tận cùng b của n, và chỉ b=5 cho b2 tận cùng 5, nên n bắt buộc có chữ số tận cùng là 5.
Đây là kỹ thuật "đọc ngược bảng": mỗi chữ số tận cùng hợp lệ của n2 ứng với một hoặc hai chữ số tận cùng có thể có của n (ví dụ tận cùng 9 ứng với n tận cùng 3 hoặc 7). Biến thể: nếu n2 tận cùng 6 thì n tận cùng 4 hoặc 6.
Gọi b là chữ số tận cùng của n. Theo bảng chữ số tận cùng của b2 với b=0,…,9 đã lập ở phần lý thuyết, chỉ có b=5 cho b2=25 tận cùng bằng 5; mọi giá trị b còn lại đều cho b2 tận cùng khác 5. Do n2 tận cùng 5 theo giả thiết, và chữ số tận cùng của n2 chỉ do b2 quyết định, nên b=5. Vậy n có chữ số tận cùng là 5.
Chữ số tận cùng hợp lệ (0,1,4,5,6,9) chỉ là điều kiện cần, không phải điều kiện đủ. Số 1986 tận cùng bằng 6 — hợp lệ — nhưng 1986không phải số chính phương (442=1936, 452=2025, và 1986 nằm giữa hai số đó). Cách nhìn chữ số tận cùng chỉ giúp em LOẠI nhanh, chưa bao giờ giúp em KHẲNG ĐỊNH một số là số chính phương.
Chữ số tận cùng của một số chính phương chỉ có thể là 0,1,4,5,6,9 — không bao giờ là 2,3,7,8. Đây là cách loại nhanh, đúng với số lớn cỡ nào cũng được, nhưng chỉ là điều kiện cần: một số tận cùng hợp lệ vẫn có thể không phải số chính phương, như 1986 vừa thấy.
Vậy làm sao xử lý những số "lọt qua" phép thử chữ số tận cùng như 1986? Bài sau giới thiệu một phép thử mạnh hơn, dựa trên số dư khi chia cho 4 — bắt được nhiều trường hợp mà chữ số tận cùng bỏ sót.