airdu
Tạo tài khoản

Đây là bản xem thử. Bản đầy đủ trên app có thêm bài tập, AI chấm điểm tức thì và biểu đồ theo dõi tiến độ học.

Phần

Mở rộng dành cho HSG — Loại trừ số chính phương bằng số dư chia cho 4

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em dùng số dư khi chia cho $4$ để loại thêm những số mà phép thử chữ số tận cùng chưa loại được.
Cần nhớ trước
Ôn lại phép chia có dư: với mọi số tự nhiên $n$, luôn viết được $n=4q+r$ với $q$ là thương và $r\in\{0,1,2,3\}$ là số dư. Em cũng cần bài trước — chữ số tận cùng của số chính phương.

So với mức chuẩn: chuẩn Lớp 6 chỉ yêu cầu thực hiện đúng phép chia có dư. Ở đây ta dùng số dư đó làm công cụ chứng minh — không phải để chia, mà để loại một số ra khỏi danh sách số chính phương.

Bài toán mở đầu — khi chữ số tận cùng chưa đủ

Bài trước dừng ở việc chữ số tận cùng chỉ là điều kiện cần. Xét số $2014$: chữ số tận cùng là $4$ — hợp lệ, không bị loại. Nếu chỉ dừng ở đó, em sẽ phải bấm máy tính căn bậc hai của $2014$ để biết chắc — mà một bài HSG thường cấm dùng máy tính. Ta cần một công cụ chặt hơn, vẫn nhìn vào chữ số của $n$ nhưng khai thác nhiều thông tin hơn một chữ số cuối.

Ý tưởng cốt lõi — số chính phương chia $4$ chỉ có thể dư $0$ hoặc $1$

Kỹ thuật vượt chương trình
**Mở rộng dành cho HSG — số dư của số chính phương khi chia cho $4$.** Với mọi số tự nhiên $n$: nếu $n$ chẵn, viết $n=2k$, thì $n^2=4k^2$ chia hết cho $4$ (dư $0$); nếu $n$ lẻ, viết $n=2k+1$, thì $n^2=4k^2+4k+1=4(k^2+k)+1$ chia $4$ dư $1$. Vậy **số chính phương chia cho $4$ chỉ có thể dư $0$ hoặc $1$, không bao giờ dư $2$ hoặc $3$.** Kết quả này không nằm trong yêu cầu chuẩn Lớp 6 — nó dùng phép chia có dư đã học để suy luận xa hơn, nên khóa này giới thiệu như một công cụ mở rộng. Tiên quyết: phép chia có dư, hằng đẳng thức $(a+b)^2$.
Biểu đồ cột đếm, trong 12 số chính phương đầu tiên (1² đến 12²), có bao nhiêu số ứng với mỗi số dư khi chia cho 4.dư 06 sốdư 16 sốdư 2 (không thể)0 sốdư 3 (không thể)0 số
Đúng 6 số chính phương chia 4 dư 0 (từ n chẵn) và 6 số chia 4 dư 1 (từ n lẻ) — không một số chính phương nào rơi vào dư 2 hoặc dư 3.
Vì sao lại chọn chia cho $4$ mà không phải một số khác? Vì $4=2^2$ — chia cho $4$ chính là hỏi "chẵn hay lẻ" của $n$ rồi bình phương thông tin đó lên. Với một số như chia cho $3$, số dư của $n^2$ cũng chỉ rơi vào $\{0,1\}$ (không loại được dư $2$ nhiều hơn mod $4$), nên mod $4$ là lựa chọn gọn và tự nhiên nhất khi mới bắt đầu học kỹ thuật đồng dư.
Ví dụ
Ví dụ 1 — Loại $2014$ bằng số dư chia cho $4$
  1. 1
    Chữ số tận cùng của $2014$ là $4$ — phép thử ở bài trước không loại được số này. Cần công cụ khác.
  2. 2
    Chia $2014$ cho $4$: $2014=4\times503+2$, dư $2$. Theo tính chất vừa chứng minh, số chính phương chỉ chia $4$ dư $0$ hoặc $1$ — dư $2$ là bị loại ngay.
  3. 3
    Vì $2014$ chia $4$ dư $2\notin\{0,1\}$, số $2014$ không thể là số chính phương.
  4. 4
    Quy trình: tính $n\bmod4$; nếu kết quả là $2$ hoặc $3$, loại ngay không cần biết gì thêm. Biến thể: $2013$ chia $4$ dư $1$ — phép thử này KHÔNG loại được $2013$ (dù $2013$ thực ra cũng không phải số chính phương, chỉ là công cụ này không đủ mạnh để thấy điều đó).
  5. 5
    Ta có $2014=4\times503+2$, tức $2014$ chia cho $4$ dư $2$. Với mọi số tự nhiên $n$: nếu $n=2k$ thì $n^2=4k^2$ chia hết cho $4$; nếu $n=2k+1$ thì $n^2=4(k^2+k)+1$ chia $4$ dư $1$. Do đó một số chính phương chia cho $4$ chỉ có thể dư $0$ hoặc dư $1$. Vì $2014$ chia $4$ dư $2$, số này không thể là số chính phương.
Ví dụ
Ví dụ 2 — Một số tận cùng hợp lệ nhưng vẫn bị loại bởi số dư chia 44
  1. 1

    Chứng minh 19461946 không phải là số chính phương.

  2. 2
    $1946$ tận cùng $6$ — hợp lệ theo bài trước, không bị loại bởi chữ số tận cùng. Đây đúng là trường hợp "lọt qua" mà bài này xử lý.
  3. 3
    $1946=4\times486+2$, chia $4$ dư $2$.
  4. 4
    Vì dư $2\notin\{0,1\}$, $1946$ không phải số chính phương — dù chữ số tận cùng của nó "trông có vẻ hợp lệ".
  5. 5
    Số dư chia $4$ bắt được nhiều trường hợp mà chữ số tận cùng bỏ sót, vì nó nhìn vào cả chục lẫn đơn vị chứ không chỉ chữ số cuối. Biến thể: mọi số dạng $\overline{\dots}6$ có chữ số hàng chục lẻ (như $46,86,126,\dots$) đều chia $4$ dư $2$, đều bị loại theo cách này.
  6. 6
    Ta có $1946=4\times486+2$, tức $1946$ chia cho $4$ dư $2$. Theo tính chất đã nêu, số chính phương chia cho $4$ chỉ có thể dư $0$ hoặc $1$. Vì $2\notin\{0,1\}$, số $1946$ không phải là số chính phương.
Bẫy thường gặp — số dư chia 4 cũng chưa phải công cụ cuối cùng
Ngay cả số dư chia $4$ cũng có giới hạn. Xét lại $2024$ — chữ số tận cùng $4$ hợp lệ (bài trước), và $2024=4\times506+0$ chia $4$ dư $0$ — cũng hợp lệ! Cả hai phép thử đều "bó tay" trước $2024$. Muốn xử lý dứt điểm những trường hợp như thế này, ta cần một công cụ hoàn toàn khác — không nhìn vào chữ số hay số dư nữa, mà nhìn vào **vị trí** của số đó so với các số chính phương lân cận. Đó là nội dung của chương tiếp theo.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Thử thách

Tóm tắt

Một số chính phương chia cho $4$ chỉ có thể dư $0$ hoặc $1$ — không bao giờ dư $2$ hoặc $3$. Công cụ này mạnh hơn phép thử chữ số tận cùng, bắt được cả những số "lọt qua" như $1946$. Nhưng nó cũng có giới hạn: $2024$ vượt qua cả hai phép thử mà vẫn không phải số chính phương.
Chương tiếp theo giải quyết dứt điểm những trường hợp như $2024$: thay vì nhìn vào chữ số hay số dư, ta định vị số đó nằm giữa hai số chính phương liên tiếp nào — đó là kỹ thuật "kẹp".