Đây là bản xem thử. Bản đầy đủ trên app có thêm bài tập, AI chấm điểm tức thì và biểu đồ theo dõi tiến độ học.
Phần
Đếm số chữ số khi đánh số trang sách
Mục tiêu bài học
Sau bài học này, em đếm được tổng số chữ số cần dùng để đánh số các trang của một cuốn sách, bằng cách chia dải số trang thành các đoạn theo số chữ số (1 chữ số, 2 chữ số, 3 chữ số...) rồi cộng lại.
Kiến thức cần có
Bài này dùng lại quy tắc cộng và quy tắc nhân vừa học ở Bài 1. **Mở rộng dành cho HSG**: dạng bài "đếm số chữ số khi đánh số trang" không xuất hiện trong SGK chuẩn Lớp 6 — đây là một ứng dụng thực tế của hai quy tắc đếm, thường gặp trong đề thi học sinh giỏi vì nó đòi hỏi chia đúng các đoạn (1–9, 10–99, 100 trở lên) trước khi tính, chứ không chỉ áp dụng một công thức có sẵn.
Bài toán khởi động
Một cuốn sách dày 200 trang, đánh số từ trang 1. Nhà in cần biết trước sẽ dùng tổng cộng bao nhiêu chữ số để in hết các số trang, nhằm tính lượng mực. Trang 1 đến trang 9 chỉ dùng 1 chữ số mỗi trang, nhưng từ trang 10 trở đi mỗi trang dùng 2 chữ số, và từ trang 100 trở đi mỗi trang dùng 3 chữ số. Đếm từng trang một rõ ràng không khả thi với một cuốn sách dày.
Ý tưởng cốt lõi: chia đoạn theo số chữ số
Chìa khóa của dạng bài này là nhận ra: SỐ CHỮ SỐ của một số trang không cố định, nó tăng lên mỗi khi số trang vượt qua 9, 99, 999... Vì vậy không thể nhân thẳng (số trang) với (số chữ số mỗi trang) như một phép tính duy nhất. Phải dùng quy tắc cộng để chia dải số trang thành các đoạn có CÙNG số chữ số, rồi trong mỗi đoạn mới dùng quy tắc nhân: (số trang trong đoạn) nhân (số chữ số mỗi trang trong đoạn đó).
Ba đoạn quen thuộc nhất là: từ 1 đến 9 (9 trang, mỗi trang 1 chữ số), từ 10 đến 99 (90 trang, mỗi trang 2 chữ số), từ 100 đến 999 (mỗi trang 3 chữ số, nhưng số trang trong đoạn này phụ thuộc cuốn sách dày bao nhiêu). Đếm đúng SỐ TRANG trong đoạn cuối cùng — thường dừng giữa chừng chứ không tròn đến 999 — là chỗ học sinh hay tính sai nhất.
Ví dụ áp dụng
Ví dụ
Đếm chữ số khi đánh số trang từ 1 đến 200
1
Một cuốn sách có 200 trang, đánh số từ 1. Hỏi cần dùng tất cả bao nhiêu chữ số để đánh số hết các trang?
2
Đoạn 1: trang 1 đến 9, có $9$ trang, mỗi trang $1$ chữ số. Đoạn 2: trang 10 đến 99, có $90$ trang, mỗi trang $2$ chữ số. Đoạn 3: trang 100 đến 200, có $200-100+1=101$ trang, mỗi trang $3$ chữ số.
3
Đoạn 1 dùng $9\times1=9$ chữ số. (1) Đoạn 2 dùng $90\times2=180$ chữ số. (2) Đoạn 3 dùng $101\times3=303$ chữ số. (3)
4
Kết hợp (1), (2) và (3) theo quy tắc cộng: $9+180+303=492$.
5
Chia $[1;200]$ thành ba đoạn theo số chữ số: $[1;9]$ có $9$ trang $\times 1=9$ chữ số (1); $[10;99]$ có $90$ trang $\times2=180$ chữ số (2); $[100;200]$ có $101$ trang $\times3=303$ chữ số (3). Kết hợp (1), (2), (3): $9+180+303=492$. Vậy cuốn sách cần $492$ chữ số để đánh số hết 200 trang.
6
Nếu sách chỉ dày 150 trang thay vì 200: đoạn 3 còn $150-100+1=51$ trang $\times3=153$ chữ số, tổng $9+180+153=342$ chữ số — chỉ đoạn cuối thay đổi, hai đoạn đầu giữ nguyên.
Ba đoạn cộng lại: 9 + 180 + 303 = 492 chữ số, đúng như Ví dụ 1 đã tính.
Ví dụ
Bài toán ngược: biết tổng chữ số, tìm số trang cuối
1
Một cuốn sổ tay dùng đúng $636$ chữ số để đánh số các trang, bắt đầu từ trang 1. Hỏi cuốn sổ có bao nhiêu trang? Đây là bài toán NGƯỢC của Ví dụ 1: biết tổng, tìm số trang cuối.
2
Đoạn $[1;9]$ dùng $9$ chữ số. Đoạn $[10;99]$ dùng $180$ chữ số. Cộng hai đoạn: $9+180=189$ chữ số đã dùng hết đến trang 99. (1)
3
Số chữ số còn lại dành cho các trang từ 100 trở đi: $636-189=447$ chữ số. (2)
4
Mỗi trang từ 100 trở đi dùng đúng 3 chữ số, nên số trang thuộc đoạn này là $447\div3=149$ trang. (3)
5
Ta có đến hết trang 99 dùng $9+180=189$ chữ số (1). Số chữ số còn lại cho các trang 3 chữ số: $636-189=447$ (2). Số trang 3 chữ số tương ứng: $447\div3=149$ (3). Trang bắt đầu của đoạn 3 chữ số là trang 100, nên trang cuối cùng là $100+149-1=248$. Vậy cuốn sổ có $248$ trang.
6
Nếu tổng chữ số là $366$ thay vì $636$: số chữ số còn lại sau đoạn $[1;99]$ là $366-189=177$, số trang 3 chữ số là $177\div3=59$, trang cuối là $100+59-1=158$ — cùng một quy trình ba bước, chỉ khác con số đầu vào.
Sai lầm thường gặp
Bẫy thường gặp
Sai lầm hay gặp nhất là tính số trang của đoạn cuối bằng cách trừ nhầm, ví dụ lấy $200-100=100$ thay vì $200-100+1=101$ (quên cộng thêm 1 vì cả trang 100 và trang 200 đều được tính). Lỗi thứ hai là ở bài toán ngược: quên rằng $636$ chữ số không chia hết gọn cho một số cố định ngay từ đầu — phải trừ đi phần đã dùng cho các đoạn 1 và 2 chữ số trước, rồi mới chia phần còn lại cho 3.
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Thử thách
Điều cần nhớ
Chia dải số trang thành các đoạn theo số chữ số trước, nhân số trang với số chữ số trong từng đoạn, rồi cộng các đoạn lại. Ở bài toán ngược, trừ dần các đoạn đã biết trước khi chia đoạn còn lại.
Chương tiếp theo chuyển sang một dạng suy luận khác hẳn: thay vì đếm có bao nhiêu số thỏa mãn điều kiện, em sẽ học cách TÌM LẠI các chữ số bị giấu trong một phép tính, bằng cách suy luận từng cột một.
Bài này dùng lại quy tắc cộng và quy tắc nhân vừa học ở Bài 1. Mở rộng dành cho HSG: dạng bài "đếm số chữ số khi đánh số trang" không xuất hiện trong SGK chuẩn Lớp 6 — đây là một ứng dụng thực tế của hai quy tắc đếm, thường gặp trong đề thi học sinh giỏi vì nó đòi hỏi chia đúng các đoạn (1–9, 10–99, 100 trở lên) trước khi tính, chứ không chỉ áp dụng một công thức có sẵn.
Một cuốn sách dày 200 trang, đánh số từ trang 1. Nhà in cần biết trước sẽ dùng tổng cộng bao nhiêu chữ số để in hết các số trang, nhằm tính lượng mực. Trang 1 đến trang 9 chỉ dùng 1 chữ số mỗi trang, nhưng từ trang 10 trở đi mỗi trang dùng 2 chữ số, và từ trang 100 trở đi mỗi trang dùng 3 chữ số. Đếm từng trang một rõ ràng không khả thi với một cuốn sách dày.
Chìa khóa của dạng bài này là nhận ra: SỐ CHỮ SỐ của một số trang không cố định, nó tăng lên mỗi khi số trang vượt qua 9, 99, 999... Vì vậy không thể nhân thẳng (số trang) với (số chữ số mỗi trang) như một phép tính duy nhất. Phải dùng quy tắc cộng để chia dải số trang thành các đoạn có CÙNG số chữ số, rồi trong mỗi đoạn mới dùng quy tắc nhân: (số trang trong đoạn) nhân (số chữ số mỗi trang trong đoạn đó).
Đoạn 1: trang 1 đến 9, có 9 trang, mỗi trang 1 chữ số. Đoạn 2: trang 10 đến 99, có 90 trang, mỗi trang 2 chữ số. Đoạn 3: trang 100 đến 200, có 200−100+1=101 trang, mỗi trang 3 chữ số.
Đoạn 1 dùng 9×1=9 chữ số. (1) Đoạn 2 dùng 90×2=180 chữ số. (2) Đoạn 3 dùng 101×3=303 chữ số. (3)
Kết hợp (1), (2) và (3) theo quy tắc cộng: 9+180+303=492.
Chia [1;200] thành ba đoạn theo số chữ số: [1;9] có 9 trang ×1=9 chữ số (1); [10;99] có 90 trang ×2=180 chữ số (2); [100;200] có 101 trang ×3=303 chữ số (3). Kết hợp (1), (2), (3): 9+180+303=492. Vậy cuốn sách cần 492 chữ số để đánh số hết 200 trang.
Nếu sách chỉ dày 150 trang thay vì 200: đoạn 3 còn 150−100+1=51 trang ×3=153 chữ số, tổng 9+180+153=342 chữ số — chỉ đoạn cuối thay đổi, hai đoạn đầu giữ nguyên.
Một cuốn sổ tay dùng đúng 636 chữ số để đánh số các trang, bắt đầu từ trang 1. Hỏi cuốn sổ có bao nhiêu trang? Đây là bài toán NGƯỢC của Ví dụ 1: biết tổng, tìm số trang cuối.
Đoạn [1;9] dùng 9 chữ số. Đoạn [10;99] dùng 180 chữ số. Cộng hai đoạn: 9+180=189 chữ số đã dùng hết đến trang 99. (1)
Số chữ số còn lại dành cho các trang từ 100 trở đi: 636−189=447 chữ số. (2)
Mỗi trang từ 100 trở đi dùng đúng 3 chữ số, nên số trang thuộc đoạn này là 447÷3=149 trang. (3)
Ta có đến hết trang 99 dùng 9+180=189 chữ số (1). Số chữ số còn lại cho các trang 3 chữ số: 636−189=447 (2). Số trang 3 chữ số tương ứng: 447÷3=149 (3). Trang bắt đầu của đoạn 3 chữ số là trang 100, nên trang cuối cùng là 100+149−1=248. Vậy cuốn sổ có 248 trang.
Nếu tổng chữ số là 366 thay vì 636: số chữ số còn lại sau đoạn [1;99] là 366−189=177, số trang 3 chữ số là 177÷3=59, trang cuối là 100+59−1=158 — cùng một quy trình ba bước, chỉ khác con số đầu vào.
Sai lầm hay gặp nhất là tính số trang của đoạn cuối bằng cách trừ nhầm, ví dụ lấy 200−100=100 thay vì 200−100+1=101 (quên cộng thêm 1 vì cả trang 100 và trang 200 đều được tính). Lỗi thứ hai là ở bài toán ngược: quên rằng 636 chữ số không chia hết gọn cho một số cố định ngay từ đầu — phải trừ đi phần đã dùng cho các đoạn 1 và 2 chữ số trước, rồi mới chia phần còn lại cho 3.