Bài học

Số tự nhiên, lũy thừa và chia hết — ôn tập phối hợp

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phối hợp lại được ba công cụ đã học rời rạc từ đầu năm: tính giá trị biểu thức có lũy thừa theo đúng thứ tự thực hiện phép tính, kiểm tra nhanh một số có chia hết cho 2, 3, 5, 9 hay không mà không cần đặt tính chia, và dùng ước, số nguyên tố để giải một bài toán xếp hàng có nhiều điều kiện cùng lúc.

Kiến thức nền cần nhớ

Ba mảng kiến thức của học kì trước quay lại trong bài này. Lũy thừa $a^n$ là tích của $n$ thừa số $a$ ; khi biểu thức có cả ngoặc, lũy thừa và bốn phép tính, thứ tự luôn là trong ngoặc trước, rồi đến lũy thừa, rồi nhân chia, cuối cùng mới cộng trừ. Dấu hiệu chia hết cho 2 và cho 5 chỉ nhìn chữ số tận cùng; dấu hiệu chia hết cho 3 và cho 9 nhìn tổng các chữ số. Một số là số nguyên tố nếu nó chỉ có đúng hai ước là 1 và chính nó; nếu có nhiều hơn hai ước thì nó là hợp số.

Ba mảng kiến thức của học kì trước quay lại trong bài này. Lũy thừa $a^n$ là tích của $n$ thừa số $a$; khi biểu thức có cả ngoặc, lũy thừa và bốn phép tính, thứ tự luôn là trong ngoặc trước, rồi đến lũy thừa, rồi nhân chia, cuối cùng mới cộng trừ. Dấu hiệu chia hết cho 2 và cho 5 chỉ nhìn chữ số tận cùng; dấu hiệu chia hết cho 3 và cho 9 nhìn tổng các chữ số. Một số là số nguyên tố nếu nó chỉ có đúng hai ước là 1 và chính nó; nếu có nhiều hơn hai ước thì nó là hợp số.

Khởi động

Khối 6 trường Nguyễn Trãi có 84 học sinh đăng kí tham gia đồng diễn khai giảng. Ban tổ chức muốn xếp cả khối thành các hàng đều nhau, mỗi hàng nhiều hơn 5 bạn nhưng ít hơn 15 bạn để hàng không quá thưa cũng không quá đông. Có bao nhiêu cách xếp thỏa điều kiện đó, và làm sao biết cách nào hợp lí nhất nếu ban tổ chức còn muốn số hàng là một số nguyên tố?

Ôn lại: thứ tự thực hiện phép tính và lũy thừa

Trước khi giải bài xếp hàng, em ôn lại việc tính giá trị biểu thức có lũy thừa. Quy tắc không đổi so với đầu năm: làm trong ngoặc trước, tính lũy thừa tiếp theo, rồi mới đến nhân chia và cộng trừ theo thứ tự từ trái sang phải. Nhiều bạn quên bước lũy thừa và tính nhân chia trước, dẫn đến sai toàn bộ kết quả — bài ôn tập này nhắc lại để lỗi đó không lặp ở đề kiểm tra cuối năm.

Quy trình gộp cả bốn dấu hiệu chia hết vào một lượt kiểm tra duy nhất.

Ví dụ

Tính giá trị biểu thức có lũy thừa (dạng thi)

1
Tính giá trị biểu thức $4^3 - 2 \times (19 - 14) + 5^2$ .
Tính giá trị biểu thức $4^3 - 2 \times (19 - 14) + 5^2$.
2
$19 - 14 = 5$ , nên biểu thức trở thành $4^3 - 2 \times 5 + 5^2$ .
$19 - 14 = 5$, nên biểu thức trở thành $4^3 - 2 \times 5 + 5^2$.
3
$4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$ và $5^2 = 5 \times 5 = 25$ . Biểu thức thành $64 - 2 \times 5 + 25$ .
$4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$ và $5^2 = 5 \times 5 = 25$. Biểu thức thành $64 - 2 \times 5 + 25$.
4
$2 \times 5 = 10$ , nên biểu thức còn $64 - 10 + 25$ . Tính từ trái sang phải: $64 - 10 = 54$ , rồi $54 + 25 = 79$ .
$2 \times 5 = 10$, nên biểu thức còn $64 - 10 + 25$. Tính từ trái sang phải: $64 - 10 = 54$, rồi $54 + 25 = 79$.
5
Giá trị của biểu thức là 79.

Ví dụ

Kiểm tra đồng thời bốn dấu hiệu chia hết

1
Số 5346 có chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9 hay không?
2
Chữ số tận cùng của 5346 là 6, là số chẵn nên $5346 \vdots 2$ . Chữ số tận cùng không phải 0 hay 5 nên $5346$ không chia hết cho 5.
Chữ số tận cùng của 5346 là 6, là số chẵn nên $5346 \vdots 2$. Chữ số tận cùng không phải 0 hay 5 nên $5346$ không chia hết cho 5.
3
$5 + 3 + 4 + 6 = 18$ .
$5 + 3 + 4 + 6 = 18$.
4
$18 \vdots 3$ nên $5346 \vdots 3$ . Đồng thời $18 \vdots 9$ nên $5346 \vdots 9$ .
$18 \vdots 3$ nên $5346 \vdots 3$. Đồng thời $18 \vdots 9$ nên $5346 \vdots 9$.
5
5346 chia hết cho 2, cho 3 và cho 9, nhưng không chia hết cho 5.

Ôn lại: số nguyên tố và ước của một số

Bài xếp hàng ở phần khởi động cần thêm một công cụ nữa: liệt kê ước của một số và nhận ra số nguyên tố trong danh sách đó. Nhắc lại: ước của $n$ là những số chia hết $n$ mà không dư; để tìm nhanh, em chia $n$ lần lượt cho 1, 2, 3, … cho đến khi thương nhỏ hơn số chia. Số nguyên tố nhỏ hơn 20 mà em cần nhớ là 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 — riêng số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất, còn số 1 không phải số nguyên tố vì nó chỉ có đúng một ước.

Ví dụ

Dạng thi — xếp hàng thỏa nhiều điều kiện cùng lúc

1
84 học sinh khối 6 xếp thành các hàng đều nhau, mỗi hàng nhiều hơn 5 và ít hơn 15 bạn, đồng thời số hàng phải là một số nguyên tố. Hỏi mỗi hàng có bao nhiêu bạn?
2
Mỗi hàng có số bạn bằng nhau nghĩa là số bạn mỗi hàng phải là một ước của 84. Ta liệt kê $Ư(84) = \{1;2;3;4;6;7;12;14;21;28;42;84\}$ .
Mỗi hàng có số bạn bằng nhau nghĩa là số bạn mỗi hàng phải là một ước của 84. Ta liệt kê $Ư(84) = \{1;2;3;4;6;7;12;14;21;28;42;84\}$.
3
Chỉ giữ những ước nằm giữa 5 và 15 (không lấy hai đầu mút): còn lại 6, 7, 12, 14.
4
Với mỗi ứng viên, số hàng $= 84 : \text{số bạn mỗi hàng}$ . Với 6 bạn: 14 hàng (hợp số, vì $14 = 2 \times 7$ ). Với 7 bạn: 12 hàng (hợp số). Với 12 bạn: $84 : 12 = 7$ hàng — 7 là số nguyên tố. Với 14 bạn: 6 hàng (hợp số).
Với mỗi ứng viên, số hàng $= 84 : \text{số bạn mỗi hàng}$. Với 6 bạn: 14 hàng (hợp số, vì $14 = 2 \times 7$). Với 7 bạn: 12 hàng (hợp số). Với 12 bạn: $84 : 12 = 7$ hàng — 7 là số nguyên tố. Với 14 bạn: 6 hàng (hợp số).
5
Chỉ có cách xếp 12 bạn một hàng cho ra 7 hàng, mà 7 là số nguyên tố, nên mỗi hàng có 12 bạn.

Bẫy thường gặp

Sai lầm hay gặp: nhiều bạn liệt kê ước rồi quên áp dụng ĐỦ hai điều kiện của đề — chỉ lọc theo khoảng số bạn mỗi hàng mà bỏ qua điều kiện số hàng là số nguyên tố, hoặc ngược lại. Bài toán tổng hợp luôn đòi hỏi kiểm tra từng ứng viên qua TẤT CẢ các điều kiện trước khi kết luận, không dừng lại ở điều kiện đầu tiên vừa thỏa mãn.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Ba công cụ số tự nhiên — thứ tự thực hiện phép tính với lũy thừa, dấu hiệu chia hết, ước và số nguyên tố — không tách rời trong một bài toán tổng hợp. Cách làm an toàn nhất là liệt kê hết các điều kiện đề cho, xử lí từng điều kiện một cách có thứ tự, rồi mới chọn ra đáp án thỏa TẤT CẢ điều kiện, thay vì dừng lại ngay khi vừa thấy một điều kiện được thỏa mãn.

Bài tiếp theo dùng lại đúng kĩ thuật phân tích ra thừa số nguyên tố vừa ôn ở đây, nhưng đặt câu hỏi khác hẳn: khi nào một bài toán thực tế cần ƯCLN, khi nào cần BCNN? Đó là kĩ năng chọn công cụ mà đề kiểm tra cuối năm luôn kiểm tra.