Bài học

Ứng dụng ƯCLN trong bài toán chia đều

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhận ra được khi nào một bài toán thực tế cần dùng $ƯCLN$ , và giải đúng dạng bài chia đều hai (hoặc ba) loại đồ vật thành số phần nhiều nhất bằng nhau.

Sau bài này, em nhận ra được khi nào một bài toán thực tế cần dùng $ƯCLN$, và giải đúng dạng bài chia đều hai (hoặc ba) loại đồ vật thành số phần nhiều nhất bằng nhau.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước em đã biết cách tìm $ƯCLN$ nhanh bằng phân tích ra thừa số nguyên tố. Bài này không thêm kĩ thuật tính toán nào mới — việc cần học là nhận ra ĐÚNG lúc nào bài toán đang hỏi về $ƯCLN$ .

Khởi động

Cô giáo có 24 quyển vở và 36 cây bút chì, muốn chia đều làm phần thưởng cho các bạn học sinh giỏi, sao cho mỗi bạn nhận số vở bằng nhau và số bút bằng nhau, không thừa không thiếu quyển vở hay cây bút nào. Cô muốn thưởng cho càng nhiều bạn càng tốt. Nhiều nhất là bao nhiêu bạn?

Kiến thức trọng tâm

Khi đề bài yêu cầu chia đều nhiều loại đồ vật cho các phần/nhóm/người sao cho mỗi phần nhận cùng một số lượng của TỪNG loại, và hỏi số phần NHIỀU NHẤT có thể, số phần đó chính là $ƯCLN$ của các số lượng đã cho. Lý do: số phần phải là ước của mỗi số lượng (mới chia đều được), và đề muốn số phần lớn nhất — nên đó đúng là định nghĩa của $ƯCLN$ .

Điều dễ nhầm là học sinh thường chỉ nhìn vào MỘT số lượng rồi chọn đại một ước của số đó, quên mất điều kiện phải chia hết CẢ HAI (hoặc cả ba) số lượng cùng lúc. Ví dụ với 24 quyển vở và 36 cây bút: 10 bạn có chia đều được vở không? Có, vì $24 : 10$ không ra số nguyên — vậy KHÔNG, 10 không phải ước của 24 nên loại ngay. 8 bạn thì sao? $24 : 8 = 3$ được, nhưng $36 : 8 = 4,5$ không phải số nguyên nên cũng loại. Chỉ có những số vừa là ước của 24 vừa là ước của 36 mới hợp lệ, và trong các số đó ta chọn số lớn nhất — chính là cách $ƯCLN$ hoạt động.

24 quyển vở chia đều thành 12 nhóm bằng nhau, mỗi nhóm (mỗi bạn) nhận đúng 2 quyển.

36 cây bút cũng chia đều thành đúng 12 nhóm như phần vở ở trên — cùng một số bạn cho cả hai loại đồ vật.

Ví dụ

Chia phần thưởng cho nhiều bạn nhất

1
24 quyển vở và 36 cây bút chì chia đều cho các bạn, mỗi bạn nhận số vở bằng nhau và số bút bằng nhau. Hỏi thưởng được nhiều nhất bao nhiêu bạn, mỗi bạn nhận bao nhiêu vở, bao nhiêu bút?
2
Vì mỗi bạn nhận số vở bằng nhau nên số bạn phải là ước của 24. Vì mỗi bạn nhận số bút bằng nhau nên số bạn cũng phải là ước của 36. Số bạn nhiều nhất chính là $ƯCLN(24,36)$ .
Vì mỗi bạn nhận số vở bằng nhau nên số bạn phải là ước của 24. Vì mỗi bạn nhận số bút bằng nhau nên số bạn cũng phải là ước của 36. Số bạn nhiều nhất chính là $ƯCLN(24,36)$.
3
$24 = 2^3 \times 3$ . $36 = 2^2 \times 3^2$ . $ƯCLN(24,36) = 2^2 \times 3 = 12$ .
$24 = 2^3 \times 3$. $36 = 2^2 \times 3^2$. $ƯCLN(24,36) = 2^2 \times 3 = 12$.
4
Thưởng được nhiều nhất 12 bạn. Mỗi bạn nhận $24 : 12 = 2$ quyển vở và $36 : 12 = 3$ cây bút.
Thưởng được nhiều nhất 12 bạn. Mỗi bạn nhận $24 : 12 = 2$ quyển vở và $36 : 12 = 3$ cây bút.

Ví dụ

Dạng thi — ba loại vải cùng lúc

1
Một xưởng may có 60 mét vải xanh, 90 mét vải đỏ, 75 mét vải vàng, muốn cắt thành các phần bằng nhau để may đồng phục, mỗi phần có cùng số mét vải xanh, cùng số mét vải đỏ, cùng số mét vải vàng. Hỏi cắt được nhiều nhất bao nhiêu phần?
2
Số phần phải đồng thời là ước của 60, của 90 và của 75. Số phần nhiều nhất là $ƯCLN(60,90,75)$ .
Số phần phải đồng thời là ước của 60, của 90 và của 75. Số phần nhiều nhất là $ƯCLN(60,90,75)$.
3
$60 = 2^2 \times 3 \times 5$ . $90 = 2 \times 3^2 \times 5$ . $75 = 3 \times 5^2$ . Thừa số chung của cả ba số chỉ có 3 (mũ nhỏ nhất là 1) và 5 (mũ nhỏ nhất là 1) — 2 không có mặt ở 75 nên bị loại.
$60 = 2^2 \times 3 \times 5$. $90 = 2 \times 3^2 \times 5$. $75 = 3 \times 5^2$. Thừa số chung của cả ba số chỉ có 3 (mũ nhỏ nhất là 1) và 5 (mũ nhỏ nhất là 1) — 2 không có mặt ở 75 nên bị loại.
4
$ƯCLN(60,90,75) = 3 \times 5 = 15$ . Xưởng cắt được nhiều nhất 15 phần.
$ƯCLN(60,90,75) = 3 \times 5 = 15$. Xưởng cắt được nhiều nhất 15 phần.

Luyện có hướng dẫn

Luyện độc lập

Ví dụ

Luyện thêm — dạng thi túi quà trung thu

1
Đoàn trường có 72 viên bi và 96 viên kẹo, muốn đóng thành các túi quà giống nhau tặng học sinh, mỗi túi có cùng số bi và cùng số kẹo. Hỏi đóng được nhiều nhất bao nhiêu túi, mỗi túi có bao nhiêu bi, bao nhiêu kẹo?
2
Số túi phải vừa là ước của 72 vừa là ước của 96, và đề muốn nhiều túi nhất, nên số túi chính là $ƯCLN(72,96)$ .
Số túi phải vừa là ước của 72 vừa là ước của 96, và đề muốn nhiều túi nhất, nên số túi chính là $ƯCLN(72,96)$.
3
$72 = 2^3 \times 3^2$ . $96 = 2^5 \times 3$ . $ƯCLN(72,96) = 2^3 \times 3 = 24$ .
$72 = 2^3 \times 3^2$. $96 = 2^5 \times 3$. $ƯCLN(72,96) = 2^3 \times 3 = 24$.
4
Đóng được nhiều nhất 24 túi, mỗi túi có $72 : 24 = 3$ viên bi và $96 : 24 = 4$ viên kẹo.
Đóng được nhiều nhất 24 túi, mỗi túi có $72 : 24 = 3$ viên bi và $96 : 24 = 4$ viên kẹo.
5
$24 \times 3 = 72$ và $24 \times 4 = 96$ , khớp đúng số bi và số kẹo ban đầu.
$24 \times 3 = 72$ và $24 \times 4 = 96$, khớp đúng số bi và số kẹo ban đầu.

Bẫy thường gặp

Sai lầm thường gặp: chỉ tìm ước chung của MỘT trong hai số lượng rồi vội kết luận, quên kiểm tra số phần đó cũng phải chia hết số lượng còn lại. Luôn kiểm tra: số phần vừa tìm được có chia hết CẢ HAI (hoặc CẢ BA) số lượng trong đề hay không. Chẳng hạn với 24 vở và 36 bút, nếu chỉ nhìn vào 24 và chọn 8 bạn (vì $24 : 8 = 3$ đẹp mắt) mà không kiểm tra $36 : 8 = 4,5$ — không phải số nguyên — thì 8 bạn là một đáp số sai, dù nhìn con số 24 có vẻ hợp lí.

Ghi nhớ

Dấu hiệu nhận biết bài toán dùng $ƯCLN$ : đề yêu cầu chia đều nhiều loại đồ vật thành số phần/số nhóm NHIỀU NHẤT, mỗi phần nhận cùng số lượng của từng loại. Số phần đó luôn là $ƯCLN$ của các số lượng đã cho; số lượng mỗi loại trong một phần bằng số lượng ban đầu chia cho $ƯCLN$ .

Dấu hiệu nhận biết bài toán dùng $ƯCLN$: đề yêu cầu chia đều nhiều loại đồ vật thành số phần/số nhóm NHIỀU NHẤT, mỗi phần nhận cùng số lượng của từng loại. Số phần đó luôn là $ƯCLN$ của các số lượng đã cho; số lượng mỗi loại trong một phần bằng số lượng ban đầu chia cho $ƯCLN$.

Sang chương tiếp theo, em học một khái niệm anh em với $ƯCLN$ nhưng phục vụ một loại bài toán khác hẳn: bội chung và bội chung nhỏ nhất.