Bài học

Ôn tập tổng hợp: biểu thức, đơn thức, đa thức nhiều biến

Mục tiêu bài học

Sau bài học này, em phối hợp được các kỹ năng đã học trong khoá — viết biểu thức đại số, thu gọn đơn thức, cộng trừ đa thức nhiều biến — để giải một bài toán tổng hợp từ đầu đến cuối.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài ôn tập này không có kiến thức mới, chỉ hệ thống lại năm kỹ năng đã học: viết biểu thức đại số từ lời văn (Chương 1), tính giá trị biểu thức (Chương 2), thu gọn đơn thức và tìm bậc (Chương 3), cộng trừ đơn thức đồng dạng (Chương 4), và thu gọn, cộng trừ đa thức nhiều biến (Chương 5).

Khởi động

Một bài toán tổng hợp thường không nói rõ 'đây là bài đơn thức' hay 'đây là bài đa thức' — em phải tự nhận ra cần dùng công cụ nào, theo thứ tự nào. Ba ví dụ dưới đây sẽ luyện đúng kỹ năng đó.

Kiến thức trọng tâm

Khi gặp một bài toán tổng hợp, việc đầu tiên là đọc kỹ đề, xác định đại lượng chưa biết để đặt biến, rồi viết biểu thức đại số mô tả đúng tình huống — đúng như cách làm ở Chương 1.

Nếu biểu thức có chứa tích các đơn thức, em thu gọn chúng trước bằng cách nhân hệ số và cộng số mũ từng biến — đúng như Chương 3. Nếu có nhiều hạng tử, em nhóm các hạng tử đồng dạng và cộng trừ — đúng như Chương 4 và Chương 5.

Nếu đề bài cho sẵn giá trị cụ thể của các biến, bước cuối cùng là thay số vào biểu thức đã thu gọn và tính theo đúng thứ tự thực hiện phép tính — đúng như Chương 2. Luôn thu gọn biểu thức TRƯỚC khi thay số, việc này giúp phép tính gọn hơn và ít khả năng nhầm dấu hơn.

Một bài toán tổng hợp tốt thường phối hợp ít nhất hai trong năm kỹ năng của khoá học — chẳng hạn vừa thu gọn đơn thức vừa tính giá trị, hoặc vừa cộng trừ đa thức vừa áp dụng vào một tình huống thực tế. Ba ví dụ dưới đây được chọn để mỗi ví dụ nhấn một sự phối hợp khác nhau.

Khoá ôn tập này không đưa thêm công thức mới, nhưng độ khó nằm ở việc nhận ra ĐÚNG kỹ năng cần dùng và ĐÚNG THỨ TỰ áp dụng chúng — đây chính là năng lực mà đề kiểm tra cuối chương muốn đánh giá, không chỉ đơn thuần là nhớ công thức.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Viết biểu thức và tính giá trị trong bài toán mua sắm

1
Một cửa hàng bán vở giá $8\,000$ đồng một quyển và bút giá $5\,000$ đồng một cây. Viết biểu thức đại số tính số tiền khi mua $x$ quyển vở và $y$ cây bút, rồi tính số tiền khi $x=6$ , $y=4$ .
Một cửa hàng bán vở giá $8\,000$ đồng một quyển và bút giá $5\,000$ đồng một cây. Viết biểu thức đại số tính số tiền khi mua $x$ quyển vở và $y$ cây bút, rồi tính số tiền khi $x=6$, $y=4$.
2
Tiền vở là $8\,000x$ , tiền bút là $5\,000y$ . Tổng số tiền là $T=8\,000x+5\,000y$ .
Tiền vở là $8\,000x$, tiền bút là $5\,000y$. Tổng số tiền là $T=8\,000x+5\,000y$.
3
Thay $x=6$ , $y=4$ : $8\,000 \times 6=48\,000$ và $5\,000 \times 4=20\,000$ .
Thay $x=6$, $y=4$: $8\,000 \times 6=48\,000$ và $5\,000 \times 4=20\,000$.
4
Vậy $T=48\,000+20\,000=68\,000$ đồng.
Vậy $T=48\,000+20\,000=68\,000$ đồng.

Ví dụ

Thu gọn tích hai đơn thức rồi cộng với một đơn thức đồng dạng

1
Thu gọn tích $3x^2y \cdot (-2xy)$ , sau đó cộng kết quả với đơn thức $4x^3y^2$ .
Thu gọn tích $3x^2y \cdot (-2xy)$, sau đó cộng kết quả với đơn thức $4x^3y^2$.
2
Nhân hệ số: $3\times(-2)=-6$ . Với $x$ : $x^2\times x=x^3$ . Với $y$ : $y\times y=y^2$ . Vậy $3x^2y\cdot(-2xy)=-6x^3y^2$ .
Nhân hệ số: $3\times(-2)=-6$. Với $x$: $x^2\times x=x^3$. Với $y$: $y\times y=y^2$. Vậy $3x^2y\cdot(-2xy)=-6x^3y^2$.
3
$-6x^3y^2$ và $4x^3y^2$ có cùng phần biến $x^3y^2$ , nên đồng dạng. Cộng hệ số: $-6+4=-2$ .
$-6x^3y^2$ và $4x^3y^2$ có cùng phần biến $x^3y^2$, nên đồng dạng. Cộng hệ số: $-6+4=-2$.
4
Vậy kết quả là $-2x^3y^2$ , một đơn thức thu gọn có bậc $3+2=5$ .
Vậy kết quả là $-2x^3y^2$, một đơn thức thu gọn có bậc $3+2=5$.

Ví dụ

Trừ hai đa thức rồi tính giá trị (bài tổng hợp cuối khoá)

1
Cho hai đa thức $A=4x^2y-3xy+2$ và $B=x^2y+5xy-6$ . Tính $A-B$ rồi tính giá trị của kết quả tại $x=1$ , $y=-1$ .
Cho hai đa thức $A=4x^2y-3xy+2$ và $B=x^2y+5xy-6$. Tính $A-B$ rồi tính giá trị của kết quả tại $x=1$, $y=-1$.
2
$A-B=4x^2y-3xy+2-(x^2y+5xy-6)$ . Trước ngoặc là dấu trừ nên đổi dấu mọi hạng tử bên trong: $4x^2y-3xy+2-x^2y-5xy+6$ .
$A-B=4x^2y-3xy+2-(x^2y+5xy-6)$. Trước ngoặc là dấu trừ nên đổi dấu mọi hạng tử bên trong: $4x^2y-3xy+2-x^2y-5xy+6$.
3
Nhóm $x^2y$ : $4-1=3$ . Nhóm $xy$ : $-3-5=-8$ . Hạng tử tự do: $2+6=8$ . Kết quả: $3x^2y-8xy+8$ .
Nhóm $x^2y$: $4-1=3$. Nhóm $xy$: $-3-5=-8$. Hạng tử tự do: $2+6=8$. Kết quả: $3x^2y-8xy+8$.
4
Thay $x=1$ , $y=-1$ : $x^2y=1\times(-1)=-1$ , nên $3x^2y=-3$ . Và $xy=1\times(-1)=-1$ , nên $-8xy=-8\times(-1)=8$ . Cộng thêm $8$ : $-3+8+8=13$ .
Thay $x=1$, $y=-1$: $x^2y=1\times(-1)=-1$, nên $3x^2y=-3$. Và $xy=1\times(-1)=-1$, nên $-8xy=-8\times(-1)=8$. Cộng thêm $8$: $-3+8+8=13$.
5
Vậy $A-B=3x^2y-8xy+8$ , và giá trị của $A-B$ tại $x=1$ , $y=-1$ là $13$ .
Vậy $A-B=3x^2y-8xy+8$, và giá trị của $A-B$ tại $x=1$, $y=-1$ là $13$.

Ba ví dụ trên lần lượt ôn lại: viết biểu thức và tính giá trị (Chương 1-2), thu gọn tích đơn thức rồi cộng đơn thức đồng dạng (Chương 3-4), và cộng trừ đa thức nhiều biến (Chương 5) — đúng năm kỹ năng của khoá học được phối hợp trong một bài ôn tập ngắn. Trong phòng thi, khi gặp một bài toán dài, hãy dành vài giây gạch chân yêu cầu chính của đề trước khi bắt tay vào tính — điều này giúp em không quên bước cuối cùng, chẳng hạn quên tính giá trị sau khi đã thu gọn xong biểu thức.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Trong bài toán tổng hợp, sai lầm phổ biến nhất là bỏ qua bước thu gọn trước khi thay số, dẫn đến phép tính dài dòng và dễ nhầm dấu. Sai lầm thứ hai là quên đổi dấu khi bỏ ngoặc có dấu trừ đứng trước — lỗi này đã gặp ở Chương 5 và vẫn là lỗi hay tái diễn nhất trong các bài kiểm tra. Cách phòng tránh tốt nhất là luôn viết lại từng bước ra giấy — không tính nhẩm nhiều bước cùng lúc — đặc biệt với các bài có từ hai phép biến đổi trở lên.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Giải một bài toán tổng hợp theo đúng thứ tự: đặt biến và viết biểu thức, thu gọn đơn thức hoặc đa thức nếu cần, rồi mới thay số để tính giá trị. Luôn kiểm tra lại dấu, đặc biệt khi bỏ ngoặc có dấu trừ.

Khoá học này đã trang bị cho em nền tảng vững chắc về biểu thức đại số, đơn thức và đa thức nhiều biến. Khoá tiếp theo sẽ đi sâu vào một loại đa thức đặc biệt — đa thức một biến — nơi các phép cộng, trừ, nhân, chia và khái niệm nghiệm được nghiên cứu kỹ hơn.