Bài học

Ôn tập tổng hợp — Đa thức một biến

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phối hợp được các kỹ năng đã học — sắp xếp, cộng trừ, nhân, chia cho đơn thức, và tìm nghiệm — để giải các bài toán tổng hợp đúng phong cách một đề kiểm tra về đa thức một biến.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này không dạy nội dung mới, chỉ hệ thống hóa lại năm bài trước: sắp xếp và đọc bậc, cộng trừ theo cột dọc, nhân bằng phân phối, chia cho đơn thức khi chia hết, và kiểm tra nghiệm.

Khởi động

Một đề kiểm tra về đa thức một biến hiếm khi chỉ hỏi một kỹ năng riêng lẻ — thường một câu sẽ yêu cầu em thực hiện một phép tính rồi dùng ngay kết quả đó để trả lời một câu hỏi khác, ví dụ cộng xong rồi kiểm tra nghiệm của kết quả. Bài ôn tập này luyện đúng kiểu câu hỏi nối tiếp như vậy.

Kiến thức trọng tâm

Một bài toán tổng hợp về đa thức một biến thường có nhiều bước nối tiếp: bước đầu là một phép tính (cộng, trừ, nhân, hoặc chia cho đơn thức), bước sau dùng ngay kết quả của bước đầu — có thể là tính giá trị tại một số cụ thể, hoặc kiểm tra xem một số có là nghiệm của kết quả đó hay không. Bí quyết là làm đúng thứ tự: hoàn thành trọn vẹn từng bước, rồi mới chuyển sang bước sau, không gộp tắt.

Trước khi thực hiện phép tính chính, luôn thu gọn và sắp xếp mỗi đa thức trong đề bài — thói quen này giúp em nhìn rõ bậc và các hệ số ngay, tránh nhầm lẫn khi cộng cột hay khi nhân. Sau khi ra kết quả, một thói quen tốt khác là kiểm tra lại bằng phép tính ngược (nhân ngược khi vừa chia, hoặc thay số vào để kiểm tra nghiệm) trước khi kết luận.

Một lỗi khiến bài tổng hợp bị sai không nằm ở việc không thuộc quy tắc, mà ở việc nhầm đa thức nào đang được hỏi ở phần nào. Đề thường đặt tên riêng cho từng đa thức — $A(x)$ , $B(x)$ , hay $P(x)$ — và câu hỏi phần b) hầu như luôn nói về kết quả của phần a), không phải về $A(x)$ hay $B(x)$ ban đầu. Đọc kỹ tên gọi trong câu hỏi phần sau trước khi thay số hay biến đổi tiếp.

Một lỗi khiến bài tổng hợp bị sai không nằm ở việc không thuộc quy tắc, mà ở việc nhầm đa thức nào đang được hỏi ở phần nào. Đề thường đặt tên riêng cho từng đa thức — $A(x)$, $B(x)$, hay $P(x)$ — và câu hỏi phần b) hầu như luôn nói về kết quả của phần a), không phải về $A(x)$ hay $B(x)$ ban đầu. Đọc kỹ tên gọi trong câu hỏi phần sau trước khi thay số hay biến đổi tiếp.

Khi một bài toán tổng hợp cho ngữ cảnh thực tế — diện tích, quãng đường, số lượng còn lại — luôn có một điều kiện đi kèm, thường là $x>0$ hoặc $x \ge 0$ , vì các đại lượng này không thể âm. Trước khi kết luận, kiểm tra giá trị $x$ đang xét có thỏa điều kiện đó không; nếu không thỏa, kết quả toán học đúng nhưng không có ý nghĩa trong tình huống thực tế của đề bài.

Khi một bài toán tổng hợp cho ngữ cảnh thực tế — diện tích, quãng đường, số lượng còn lại — luôn có một điều kiện đi kèm, thường là $x>0$ hoặc $x \ge 0$, vì các đại lượng này không thể âm. Trước khi kết luận, kiểm tra giá trị $x$ đang xét có thỏa điều kiện đó không; nếu không thỏa, kết quả toán học đúng nhưng không có ý nghĩa trong tình huống thực tế của đề bài.

So với năm bài trước — mỗi bài chỉ tập trung một kỹ năng — bài ôn tập bắt em tự quyết định thứ tự làm: đề không nói rõ nên cộng trước hay chia trước, mà chỉ cho biểu thức và yêu cầu kết quả cuối cùng. Đọc kỹ đề, xác định phép tính nào đứng trước theo đúng thứ tự biểu thức viết ra (nhân trước khi cộng/trừ, đúng quy tắc thứ tự thực hiện phép tính), rồi mới bắt tay vào tính.

Bài ôn tập này không đưa ra kỹ thuật mới, nhưng lại là dạng bài hay gặp nhất trong một đề kiểm tra thật — vì một đề kiểm tra hiếm khi dành nguyên một câu chỉ để hỏi một kỹ năng đơn lẻ. Luyện thành thạo việc nối các bước — sắp xếp, tính, rồi dùng kết quả — chính là luyện đúng kỹ năng làm bài thi, không chỉ là ôn lại kiến thức cũ.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Cộng hai đa thức rồi kiểm tra nghiệm

1
Cho $A(x)=2x^2-3x+1$ , $B(x)=-x^2+4x-5$ . a) Tính $A(x)+B(x)$ . b) Kiểm tra xem $x=1$ có phải là nghiệm của $A(x)+B(x)$ hay không.
Cho $A(x)=2x^2-3x+1$, $B(x)=-x^2+4x-5$. a) Tính $A(x)+B(x)$. b) Kiểm tra xem $x=1$ có phải là nghiệm của $A(x)+B(x)$ hay không.
2
Cột bậc 2: $2+(-1)=1$ ; cột bậc 1: $-3+4=1$ ; cột bậc 0: $1+(-5)=-4$ . Vậy $A(x)+B(x)=x^2+x-4$ .
Cột bậc 2: $2+(-1)=1$; cột bậc 1: $-3+4=1$; cột bậc 0: $1+(-5)=-4$. Vậy $A(x)+B(x)=x^2+x-4$.
3
Gọi $C(x)=x^2+x-4$ . Thay $x=1$ : $C(1)=1^2+1-4=1+1-4=-2$ .
Gọi $C(x)=x^2+x-4$. Thay $x=1$: $C(1)=1^2+1-4=1+1-4=-2$.
4
Vậy $A(x)+B(x)=x^2+x-4$ , và vì $C(1)=-2\ne0$ nên $x=1$ KHÔNG phải là nghiệm của $A(x)+B(x)$ .
Vậy $A(x)+B(x)=x^2+x-4$, và vì $C(1)=-2\ne0$ nên $x=1$ KHÔNG phải là nghiệm của $A(x)+B(x)$.

Ví dụ

Nhân rồi trừ, sau đó kiểm tra nghiệm

1
Cho $P(x)=3x(x-2)-(x^2-5x+4)$ . a) Rút gọn $P(x)$ . b) Kiểm tra xem $x=-1$ có phải là nghiệm của $P(x)$ hay không.
Cho $P(x)=3x(x-2)-(x^2-5x+4)$. a) Rút gọn $P(x)$. b) Kiểm tra xem $x=-1$ có phải là nghiệm của $P(x)$ hay không.
2
$3x(x-2)=3x^2-6x$ (phân phối $3x$ vào từng hạng tử).
$3x(x-2)=3x^2-6x$ (phân phối $3x$ vào từng hạng tử).
3
Trừ $(x^2-5x+4)$ nghĩa là đổi dấu rồi cộng: $3x^2-6x-x^2+5x-4$ . Cột bậc 2: $3-1=2$ ; cột bậc 1: $-6+5=-1$ ; cột bậc 0: $-4$ . Vậy $P(x)=2x^2-x-4$ .
Trừ $(x^2-5x+4)$ nghĩa là đổi dấu rồi cộng: $3x^2-6x-x^2+5x-4$. Cột bậc 2: $3-1=2$; cột bậc 1: $-6+5=-1$; cột bậc 0: $-4$. Vậy $P(x)=2x^2-x-4$.
4
$P(-1)=2\cdot(-1)^2-(-1)-4=2\cdot1+1-4=2+1-4=-1$ .
$P(-1)=2\cdot(-1)^2-(-1)-4=2\cdot1+1-4=2+1-4=-1$.
5
Vậy $P(x)=2x^2-x-4$ , và vì $P(-1)=-1\ne0$ nên $x=-1$ KHÔNG phải là nghiệm của $P(x)$ .
Vậy $P(x)=2x^2-x-4$, và vì $P(-1)=-1\ne0$ nên $x=-1$ KHÔNG phải là nghiệm của $P(x)$.

Ví dụ

Chia diện tích cho chiều rộng rồi so sánh (dạng thi tổng hợp)

1
Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích $8x^3-4x^2+2x$ (đơn vị vuông, $x>0$ ) và chiều rộng $2x$ . a) Tính chiều dài theo $x$ . b) Khi $x=1$ , mảnh đất đó có phải hình vuông hay không?
Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích $8x^3-4x^2+2x$ (đơn vị vuông, $x>0$) và chiều rộng $2x$. a) Tính chiều dài theo $x$. b) Khi $x=1$, mảnh đất đó có phải hình vuông hay không?
2
$8x^3\div2x=4x^2$ ; $-4x^2\div2x=-2x$ ; $2x\div2x=1$ . Vậy chiều dài $=4x^2-2x+1$ .
$8x^3\div2x=4x^2$; $-4x^2\div2x=-2x$; $2x\div2x=1$. Vậy chiều dài $=4x^2-2x+1$.
3
Nhân ngược: $2x\cdot(4x^2-2x+1)=8x^3-4x^2+2x$ , đúng bằng diện tích đề cho.
Nhân ngược: $2x\cdot(4x^2-2x+1)=8x^3-4x^2+2x$, đúng bằng diện tích đề cho.
4
Chiều dài khi $x=1$ : $4\cdot1^2-2\cdot1+1=4-2+1=3$ . Chiều rộng khi $x=1$ : $2\cdot1=2$ .
Chiều dài khi $x=1$: $4\cdot1^2-2\cdot1+1=4-2+1=3$. Chiều rộng khi $x=1$: $2\cdot1=2$.
5
Vậy chiều dài là $4x^2-2x+1$ ; khi $x=1$ , chiều dài bằng $3$ và chiều rộng bằng $2$ , hai kích thước KHÔNG bằng nhau nên mảnh đất đó không phải hình vuông.
Vậy chiều dài là $4x^2-2x+1$; khi $x=1$, chiều dài bằng $3$ và chiều rộng bằng $2$, hai kích thước KHÔNG bằng nhau nên mảnh đất đó không phải hình vuông.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Lỗi phổ biến nhất khi làm bài tổng hợp là bỏ qua bước thu gọn/sắp xếp ban đầu rồi tính nhầm ngay từ đầu, hoặc trả lời câu hỏi thứ hai (ví dụ kiểm tra nghiệm) dựa trên đa thức ban đầu thay vì kết quả vừa tính được. Luôn đọc kỹ đề bài đang hỏi về đa thức nào ở từng phần.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Một bài tổng hợp về đa thức một biến chỉ là ghép nối các kỹ năng đã học theo đúng thứ tự đề yêu cầu: sắp xếp, thực hiện phép tính, rồi dùng kết quả để trả lời câu hỏi tiếp theo. Không có kỹ thuật nào mới, chỉ cần làm đúng thứ tự và kiểm tra lại.

Khóa học tiếp theo trong lộ trình Toán 7 chuyển sang hình học, bắt đầu từ các góc ở vị trí đặc biệt và hai đường thẳng song song.