Bài học

Ôn tập tổng hợp: Góc và Hai đường thẳng song song

Mục tiêu bài học

Học xong bài này, em giải được các bài toán tổng hợp phối hợp đối đỉnh, kề bù, dấu hiệu và tính chất hai đường thẳng song song — đúng dạng đề kiểm tra giữa kỳ, cuối kỳ lớp 7 — bằng cách kẻ thêm đường phụ song song khi cần.

Không có kiến thức mới

Chương này không thêm định nghĩa hay tính chất nào cả. Mọi công cụ dùng dưới đây — đối đỉnh, kề bù, dấu hiệu song song, ba tính chất song song, tiên đề Euclid — đều đã học ở năm bài trước. Việc cần luyện bây giờ là chọn đúng công cụ và phối hợp chúng.

Một dạng bài rất hay gặp trong đề kiểm tra: cho một điểm nằm giữa hai đường thẳng song song (không thuộc đường nào cả), hai tia từ điểm đó tạo với hai đường thẳng hai góc đã biết — và đề hỏi góc tạo bởi hai tia đó. Nhìn qua, điểm ấy không "chạm" hình nào đã học, vậy công cụ nào dùng được?

Trước khi vào bài toán chính, hãy điểm lại đúng năm ý mà năm bài trước đã xây dựng: hai góc đối đỉnh bằng nhau; hai góc kề bù có tổng $180°$ ; nhiều góc kề liên tiếp về một phía cũng cộng lại $180°$ ; một cặp so le trong (hoặc đồng vị) bằng nhau thì hai đường thẳng song song; và khi đã biết song song, so le trong bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau. Toàn bộ chương ôn tập chỉ là việc phối hợp năm ý này theo đúng thứ tự mà đề bài đòi hỏi.

Trước khi vào bài toán chính, hãy điểm lại đúng năm ý mà năm bài trước đã xây dựng: hai góc đối đỉnh bằng nhau; hai góc kề bù có tổng $180°$; nhiều góc kề liên tiếp về một phía cũng cộng lại $180°$; một cặp so le trong (hoặc đồng vị) bằng nhau thì hai đường thẳng song song; và khi đã biết song song, so le trong bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau. Toàn bộ chương ôn tập chỉ là việc phối hợp năm ý này theo đúng thứ tự mà đề bài đòi hỏi.

Kỹ thuật kẻ đường phụ song song

Khi một điểm $C$ nằm giữa hai đường thẳng song song $a$ , $b$ mà không thuộc đường nào, kẻ thêm qua $C$ một đường thẳng $m$ song song với cả $a$ và $b$ (dùng được vì tiên đề Euclid đảm bảo có đúng một đường như vậy, và nếu $m \parallel a$ , $a \parallel b$ thì $m \parallel b$ ). Đường phụ $m$ biến bài toán về đúng dạng đã học: hai cặp so le trong, mỗi cặp ứng với một tia từ $C$ .

Khi một điểm $C$ nằm giữa hai đường thẳng song song $a$, $b$ mà không thuộc đường nào, kẻ thêm qua $C$ một đường thẳng $m$ song song với cả $a$ và $b$ (dùng được vì tiên đề Euclid đảm bảo có đúng một đường như vậy, và nếu $m \parallel a$, $a \parallel b$ thì $m \parallel b$). Đường phụ $m$ biến bài toán về đúng dạng đã học: hai cặp so le trong, mỗi cặp ứng với một tia từ $C$.

Kẻ đường phụ không phải là "mẹo" ngẫu nhiên — nó là cách biến một điểm chưa có công cụ nào dùng được (không thuộc đường thẳng nào, không phải giao điểm nào) thành hai giao điểm mới, mỗi giao điểm lại có đầy đủ các cặp góc so le trong quen thuộc. Kỹ thuật này xuất hiện lặp đi lặp lại trong suốt chương trình hình học THCS: mỗi khi một điểm hay một góc "lạc lõng" giữa các yếu tố đã cho, hãy tự hỏi có thể kẻ thêm đường gì (song song, vuông góc, hay nối hai điểm) để đưa nó về dạng đã biết cách xử lý.

Lời giải có hình

Kẻ đường phụ qua điểm C nằm giữa hai đường song song

Bước 1

Cho $a \parallel b$ . Điểm $C$ nằm giữa $a$ , $b$ . Tia $CX$ tạo với $a$ góc $35°$ (tại $X$ ), tia $CY$ tạo với $b$ góc $40°$ (tại $Y$ ). Tính $\widehat{XCY}$ .Cho $a \parallel b$. Điểm $C$ nằm giữa $a$, $b$. Tia $CX$ tạo với $a$ góc $35°$ (tại $X$), tia $CY$ tạo với $b$ góc $40°$ (tại $Y$). Tính $\widehat{XCY}$.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Ví dụ 1 — Bài toán điểm nằm giữa hai đường song song

1
Với hình trên, tính $\widehat{XCY}$ .
Với hình trên, tính $\widehat{XCY}$.
2
Kẻ đường thẳng $m$ qua $C$ song song với $a$ và $b$ (có đúng một đường như vậy theo tiên đề Euclid). (1)

Vì $m \parallel a$ , so le trong cho $\widehat{M_2CX} = 35°$ [góc tia $CX$ tạo với $a$ ]. (2)

Vì $m \parallel b$ , so le trong cho $\widehat{M_2CY} = 40°$ [góc tia $CY$ tạo với $b$ ]. (3)

Từ (1), (2), (3): tia $Cm$ nằm giữa $CX$ , $CY$ nên $\widehat{XCY} = \widehat{M_2CX} + \widehat{M_2CY} = 35° + 40° = 75°$ .

Vậy $\widehat{XCY} = 75°$ .
Kẻ đường thẳng $m$ qua $C$ song song với $a$ và $b$ (có đúng một đường như vậy theo tiên đề Euclid). (1) Vì $m \parallel a$, so le trong cho $\widehat{M_2CX} = 35°$ [góc tia $CX$ tạo với $a$]. (2) Vì $m \parallel b$, so le trong cho $\widehat{M_2CY} = 40°$ [góc tia $CY$ tạo với $b$]. (3) Từ (1), (2), (3): tia $Cm$ nằm giữa $CX$, $CY$ nên $\widehat{XCY} = \widehat{M_2CX} + \widehat{M_2CY} = 35° + 40° = 75°$. Vậy $\widehat{XCY} = 75°$.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Phối hợp trong cùng phía với phương trình

1
Cho $a \parallel b$ , cát tuyến $c$ cắt $a$ tại $M$ , cắt $b$ tại $N$ . Góc giữa $c$ , $a$ tại $M$ (phía trong) là $(5x - 10)°$ ; góc trong cùng phía tương ứng tại $N$ là $(3x + 30)°$ . Tìm $x$ và cho biết thêm quan hệ đặc biệt nào giữa $c$ và hai đường thẳng $a$ , $b$ .
Cho $a \parallel b$, cát tuyến $c$ cắt $a$ tại $M$, cắt $b$ tại $N$. Góc giữa $c$, $a$ tại $M$ (phía trong) là $(5x - 10)°$; góc trong cùng phía tương ứng tại $N$ là $(3x + 30)°$. Tìm $x$ và cho biết thêm quan hệ đặc biệt nào giữa $c$ và hai đường thẳng $a$, $b$.
2
Trong cùng phía bù nhau: $(5x - 10) + (3x + 30) = 180$ .
Trong cùng phía bù nhau: $(5x - 10) + (3x + 30) = 180$.
3
Vì $a \parallel b$ , hai góc trong cùng phía bù nhau: $(5x - 10) + (3x + 30) = 180$ . (1)

Từ (1): $8x + 20 = 180 \Rightarrow 8x = 160 \Rightarrow x = 20$ . (2)

Thay (2): góc tại $M$ $= 5(20) - 10 = 90°$ ; góc tại $N$ (kề bù với góc trong cùng phía) $=180°-(3(20)+30)=180°-90°=90°$ .

Vậy $x = 20$ , và vì cả hai góc tại $M$ , $N$ đều bằng $90°$ nên thực chất $c \perp a$ và $c \perp b$ — đúng hệ quả "cùng vuông góc với một đường thứ ba" đã học ở Chương 5.
Vì $a \parallel b$, hai góc trong cùng phía bù nhau: $(5x - 10) + (3x + 30) = 180$. (1) Từ (1): $8x + 20 = 180 \Rightarrow 8x = 160 \Rightarrow x = 20$. (2) Thay (2): góc tại $M$ $= 5(20) - 10 = 90°$; góc tại $N$ (kề bù với góc trong cùng phía) $=180°-(3(20)+30)=180°-90°=90°$. Vậy $x = 20$, và vì cả hai góc tại $M$, $N$ đều bằng $90°$ nên thực chất $c \perp a$ và $c \perp b$ — đúng hệ quả "cùng vuông góc với một đường thứ ba" đã học ở Chương 5.

Ví dụ

Ví dụ 3 — Kết hợp nhanh đối đỉnh với tính chất song song

1
Cho $a \parallel b$ , cát tuyến cắt $a$ tại $M$ , cắt $b$ tại $N$ . Một góc so le trong tại $N$ bằng $72°$ . Góc đối đỉnh của góc so le trong tương ứng tại $M$ bằng bao nhiêu?
Cho $a \parallel b$, cát tuyến cắt $a$ tại $M$, cắt $b$ tại $N$. Một góc so le trong tại $N$ bằng $72°$. Góc đối đỉnh của góc so le trong tương ứng tại $M$ bằng bao nhiêu?
2
Vì $a \parallel b$ , góc so le trong tại $M$ bằng góc so le trong tại $N$ : $= 72°$ . (1)

Góc đối đỉnh của góc tại $M$ [theo (1)] cũng bằng $72°$ , vì hai góc đối đỉnh luôn bằng nhau, không phụ thuộc việc hai đường thẳng có song song hay không.

Vậy góc cần tìm bằng $72°$ .
Vì $a \parallel b$, góc so le trong tại $M$ bằng góc so le trong tại $N$: $= 72°$. (1) Góc đối đỉnh của góc tại $M$ [theo (1)] cũng bằng $72°$, vì hai góc đối đỉnh luôn bằng nhau, không phụ thuộc việc hai đường thẳng có song song hay không. Vậy góc cần tìm bằng $72°$.
3
Ví dụ này trông có vẻ dùng "hai tính chất cùng lúc" nhưng thực chất chỉ cần đi đúng hai bước ngắn: một bước bắc cầu qua tính chất song song, một bước đối đỉnh tại chỗ — không cần lập phương trình, không cần kẻ thêm đường phụ.

Sai lầm thường gặp

Khi gặp điểm không thuộc đường thẳng nào trong đề, nhiều bạn cố "ép" dùng ngay dấu hiệu hoặc tính chất mà quên bước đầu tiên: kẻ đường phụ. Không có đường phụ, các góc trong Ví dụ 1 không nằm ở vị trí so le trong/đồng vị với nhau, không thể áp dụng trực tiếp bất kỳ tính chất nào.

Nhìn lại cả sáu bài đã học, có một mạch xuyên suốt: mọi tính chất trong khoá học này đều quy về đúng BỐN sự thật gốc — góc bẹt bằng $180°$ , đối đỉnh thì bằng nhau, kề bù thì bù nhau, và tiên đề Euclid về đường song song duy nhất. Dấu hiệu, ba tính chất song song, và hai hệ quả vuông góc–song song đều chỉ là những cách áp dụng khác nhau của bốn sự thật gốc đó vào các hình vẽ cụ thể. Nắm chắc bốn sự thật gốc, em không cần học thuộc lòng hàng chục tính chất rời rạc — chỉ cần luyện nhận ra hình vẽ nào cần dùng sự thật nào.

Nhìn lại cả sáu bài đã học, có một mạch xuyên suốt: mọi tính chất trong khoá học này đều quy về đúng BỐN sự thật gốc — góc bẹt bằng $180°$, đối đỉnh thì bằng nhau, kề bù thì bù nhau, và tiên đề Euclid về đường song song duy nhất. Dấu hiệu, ba tính chất song song, và hai hệ quả vuông góc–song song đều chỉ là những cách áp dụng khác nhau của bốn sự thật gốc đó vào các hình vẽ cụ thể. Nắm chắc bốn sự thật gốc, em không cần học thuộc lòng hàng chục tính chất rời rạc — chỉ cần luyện nhận ra hình vẽ nào cần dùng sự thật nào.

Áp dụng được cho mọi bài kiểm tra giữa kỳ, cuối kỳ có chủ đề góc và đường thẳng song song.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra tổng hợp cuối bài

Tổng kết chương

Hai nhóm công cụ, năm bài học: đối đỉnh và kề bù xử lý MỘT điểm giao; dấu hiệu, tính chất song song và tiên đề Euclid xử lý cát tuyến qua HAI đường thẳng. Bài toán tổng hợp chỉ là việc chọn đúng công cụ, đôi khi cần kẻ thêm một đường phụ để dùng được.

Toàn bộ khoá học gói gọn trong hai nhóm công cụ: nhóm MỘT điểm giao (đối đỉnh, kề bù) và nhóm HAI điểm giao qua một cát tuyến (dấu hiệu, tính chất song song, tiên đề Euclid). Bài toán tổng hợp chỉ là việc gọi đúng công cụ đúng lúc, đôi khi cần kẻ thêm một đường phụ để "mở khoá" cho công cụ dùng được. Với nền tảng này, chương tam giác ở khoá tiếp theo sẽ dùng lại chính góc so le trong để chứng minh tổng ba góc một tam giác bằng $180°$ — kỹ thuật kẻ đường phụ em vừa luyện ở Ví dụ 1 chính là bước mở đầu của phép chứng minh đó.