Bài học

Tính chất hai đường thẳng song song

Mục tiêu bài học

Học xong bài này, em dùng ba tính chất của hai đường thẳng song song (so le trong bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau) để tính đủ tám góc do một cát tuyến tạo ra, khi chỉ biết một góc.

Kiến thức cần nhớ trước

Bài trước em đã dùng góc bằng nhau để KẾT LUẬN hai đường thẳng song song. Bài này làm ngược lại: đã BIẾT hai đường thẳng song song, đi tìm góc.

Giá sách trong lớp có hai thanh ke nằm ngang song song với nhau; bạn lớp trưởng đóng thêm một thanh chéo để chống đổ. Thanh chéo cắt thanh ke trên tạo một góc đo được, nhưng góc nó tạo với thanh ke dưới thì không ai đo — vì hai thanh ke song song, có cách nào suy ra ngay mà không cần đo thêm không?

Nhắc lại nhanh dấu hiệu vừa học: một cặp so le trong (hoặc đồng vị) bằng nhau thì hai đường thẳng song song. Bài hôm nay giả thiết điều đó đã ĐÚNG rồi (hai thanh ke chắc chắn song song, vì được đóng song song từ đầu), và hỏi ngược lại: biết trước là song song, các góc còn lại bắt buộc phải bằng bao nhiêu?

Ba tính chất của hai đường thẳng song song

Nếu một cát tuyến cắt hai đường thẳng SONG SONG $a$ , $b$ , thì: (1) hai góc so le trong bằng nhau; (2) hai góc đồng vị bằng nhau; (3) hai góc trong cùng phía bù nhau (tổng bằng $180°$ ). Đây chính là chiều ngược lại của dấu hiệu đã học: dấu hiệu đi từ góc bằng nhau tới kết luận song song, còn tính chất đi từ đã biết song song tới suy ra góc.

Nếu một cát tuyến cắt hai đường thẳng SONG SONG $a$, $b$, thì: (1) hai góc so le trong bằng nhau; (2) hai góc đồng vị bằng nhau; (3) hai góc trong cùng phía bù nhau (tổng bằng $180°$). Đây chính là chiều ngược lại của dấu hiệu đã học: dấu hiệu đi từ góc bằng nhau tới kết luận song song, còn tính chất đi từ đã biết song song tới suy ra góc.

Ba tính chất này thực chất chỉ là MỘT sự thật nhìn từ ba góc độ khác nhau, vì tại mỗi điểm $M$ , $N$ đã có sẵn đối đỉnh và kề bù liên kết các góc lại. Một khi so le trong bằng nhau (tính chất 1), đồng vị bằng nhau (tính chất 2) chỉ là so le trong kết hợp thêm một bước đối đỉnh; trong cùng phía bù nhau (tính chất 3) chỉ là so le trong kết hợp thêm một bước kề bù. Học ba tính chất riêng biệt giúp em tra cứu nhanh mà không phải suy luận lại từ đầu mỗi lần, nhưng bản chất chỉ có một.

Ba tính chất này thực chất chỉ là MỘT sự thật nhìn từ ba góc độ khác nhau, vì tại mỗi điểm $M$, $N$ đã có sẵn đối đỉnh và kề bù liên kết các góc lại. Một khi so le trong bằng nhau (tính chất 1), đồng vị bằng nhau (tính chất 2) chỉ là so le trong kết hợp thêm một bước đối đỉnh; trong cùng phía bù nhau (tính chất 3) chỉ là so le trong kết hợp thêm một bước kề bù. Học ba tính chất riêng biệt giúp em tra cứu nhanh mà không phải suy luận lại từ đầu mỗi lần, nhưng bản chất chỉ có một.

Chỉ cần một góc là đủ

Từ một góc bất kỳ trong tám góc, em tính được bảy góc còn lại chỉ bằng ba tính chất trên cộng với đối đỉnh, kề bù đã học — không cần đo thêm góc nào nữa.

Vì sao ba tính chất này lại "chắc chắn đúng", không chỉ là quan sát? Chúng dựa trên đúng một sự thật hình học đã học ở bài trước theo chiều ngược: dấu hiệu nói rằng so le trong bằng nhau THÌ song song; tính chất nói rằng song song THÌ so le trong bằng nhau. Đây là hai chiều của cùng một quan hệ "khi và chỉ khi", nhưng em học tách riêng để tránh nhầm chiều áp dụng: gặp đề hỏi "có song song không" — dùng dấu hiệu (đi từ góc tới kết luận song song); gặp đề đã cho sẵn song song và hỏi góc — dùng tính chất (đi từ song song tới góc). Xác định đúng đề đang hỏi CHIỀU NÀO là bước đầu tiên trước khi chọn công cụ.

Lời giải có hình

Tính đủ tám góc từ một góc đã biết, khi a // b

Bước 1

Cho $a \parallel b$ , cát tuyến $EF$ cắt $a$ tại $M$ , cắt $b$ tại $N$ . Biết $\widehat{BMF} = 65°$ .Cho $a \parallel b$, cát tuyến $EF$ cắt $a$ tại $M$, cắt $b$ tại $N$. Biết $\widehat{BMF} = 65°$.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Ví dụ 1 — Tính bảy góc còn lại từ một góc 65°

1
Với hình trên ( $a \parallel b$ , $\widehat{BMF} = 65°$ ), tính bảy góc còn lại.
Với hình trên ($a \parallel b$, $\widehat{BMF} = 65°$), tính bảy góc còn lại.
2
Tại $M$ : $\widehat{AMF}$ kề bù $\widehat{BMF}$ nên $\widehat{AMF} = 115°$ ; $\widehat{AME}$ đối đỉnh $\widehat{BMF}$ nên $=65°$ ; $\widehat{BME}$ đối đỉnh $\widehat{AMF}$ nên $=115°$ . (1)

Tại $N$ : $\widehat{CNE}$ so le trong với $\widehat{BMF}$ nên $=65°$ ; $\widehat{DNF}$ đồng vị với $\widehat{BMF}$ nên $=65°$ ; $\widehat{DNE}$ trong cùng phía với $\widehat{BMF}$ nên $=180°-65°=115°$ ; $\widehat{CNF}$ đối đỉnh $\widehat{DNE}$ nên $=115°$ . (2)

Từ (1) và (2), tám góc chỉ nhận đúng hai giá trị $65°$ và $115°$ , mỗi giá trị lặp lại bốn lần.

Vậy bảy góc còn lại lần lượt là $115°, 65°, 115°, 65°, 65°, 115°, 115°$ (theo tên đã nêu).
Tại $M$: $\widehat{AMF}$ kề bù $\widehat{BMF}$ nên $\widehat{AMF} = 115°$; $\widehat{AME}$ đối đỉnh $\widehat{BMF}$ nên $=65°$; $\widehat{BME}$ đối đỉnh $\widehat{AMF}$ nên $=115°$. (1) Tại $N$: $\widehat{CNE}$ so le trong với $\widehat{BMF}$ nên $=65°$; $\widehat{DNF}$ đồng vị với $\widehat{BMF}$ nên $=65°$; $\widehat{DNE}$ trong cùng phía với $\widehat{BMF}$ nên $=180°-65°=115°$; $\widehat{CNF}$ đối đỉnh $\widehat{DNE}$ nên $=115°$. (2) Từ (1) và (2), tám góc chỉ nhận đúng hai giá trị $65°$ và $115°$, mỗi giá trị lặp lại bốn lần. Vậy bảy góc còn lại lần lượt là $115°, 65°, 115°, 65°, 65°, 115°, 115°$ (theo tên đã nêu).
3
Nếu quên chính xác góc nào so le trong với góc nào, em vẫn giải được bằng cách chỉ dùng đối đỉnh và kề bù tại từng điểm, cộng thêm ĐÚNG MỘT lần dùng tính chất song song để "bắc cầu" từ $M$ sang $N$ (chẳng hạn qua một cặp so le trong hoặc đồng vị bất kỳ). Từ chiếc cầu duy nhất đó, mọi góc còn lại tại $N$ suy ra được bằng đối đỉnh, kề bù y hệt cách làm ở $M$ .
Nếu quên chính xác góc nào so le trong với góc nào, em vẫn giải được bằng cách chỉ dùng đối đỉnh và kề bù tại từng điểm, cộng thêm ĐÚNG MỘT lần dùng tính chất song song để "bắc cầu" từ $M$ sang $N$ (chẳng hạn qua một cặp so le trong hoặc đồng vị bất kỳ). Từ chiếc cầu duy nhất đó, mọi góc còn lại tại $N$ suy ra được bằng đối đỉnh, kề bù y hệt cách làm ở $M$.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Lập phương trình từ hai đường thẳng đã biết song song

1
Cho $m \parallel n$ , cát tuyến cắt $m$ , $n$ tạo một cặp góc so le trong là $(2x + 10)°$ và $(3x - 15)°$ . Tìm $x$ và số đo mỗi góc.
Cho $m \parallel n$, cát tuyến cắt $m$, $n$ tạo một cặp góc so le trong là $(2x + 10)°$ và $(3x - 15)°$. Tìm $x$ và số đo mỗi góc.
2
Vì $m \parallel n$ , so le trong bằng nhau: $2x + 10 = 3x - 15$ .
Vì $m \parallel n$, so le trong bằng nhau: $2x + 10 = 3x - 15$.
3
Vì $m \parallel n$ nên cặp góc so le trong bằng nhau: $2x + 10 = 3x - 15$ . (1)

Từ (1): $x = 25$ . (2)

Thay (2): mỗi góc $= 2 \times 25 + 10 = 60°$ (kiểm tra lại bằng biểu thức kia: $3 \times 25 - 15 = 60°$ , khớp).

Vậy $x = 25$ và mỗi góc so le trong bằng $60°$ .
Vì $m \parallel n$ nên cặp góc so le trong bằng nhau: $2x + 10 = 3x - 15$. (1) Từ (1): $x = 25$. (2) Thay (2): mỗi góc $= 2 \times 25 + 10 = 60°$ (kiểm tra lại bằng biểu thức kia: $3 \times 25 - 15 = 60°$, khớp). Vậy $x = 25$ và mỗi góc so le trong bằng $60°$.
4
Cùng dữ kiện $m \parallel n$ nhưng nếu cặp góc là TRONG CÙNG PHÍA thay vì so le trong, phương trình đổi thành $(2x+10) + (3x-15) = 180$ thay vì bằng nhau. Luôn đọc kỹ đề đang mô tả vị trí góc nào trước khi viết phương trình — nhầm giữa "bằng nhau" và "bù nhau" là lỗi tính điểm nặng nhất ở dạng bài này.
Cùng dữ kiện $m \parallel n$ nhưng nếu cặp góc là TRONG CÙNG PHÍA thay vì so le trong, phương trình đổi thành $(2x+10) + (3x-15) = 180$ thay vì bằng nhau. Luôn đọc kỹ đề đang mô tả vị trí góc nào trước khi viết phương trình — nhầm giữa "bằng nhau" và "bù nhau" là lỗi tính điểm nặng nhất ở dạng bài này.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất: dùng nhầm tính chất trong cùng phía (bù nhau) như thể chúng bằng nhau. Trước khi viết phương trình, luôn xác định rõ cặp góc đang xét là so le trong/đồng vị (bằng nhau) hay trong cùng phía (bù nhau $180°$ ).

Sai vị trí góc là nguồn lỗi lớn nhất — luôn xác định vị trí trước khi viết phương trình.

Bài học hôm nay khép lại vòng lặp dấu hiệu–tính chất: bài trước đi từ góc tới kết luận song song, bài này đi từ song song tới góc. Hai bài tiếp theo sẽ hỏi một câu khác hẳn — không phải "góc bao nhiêu" nữa, mà "vì sao chỉ có đúng một đường thẳng song song qua một điểm" — câu trả lời chính là tiên đề Euclid.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Song song: so le trong bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau. Từ một góc, suy ra cả tám góc chỉ bằng ba tính chất này cộng với đối đỉnh, kề bù.

Vì sao chỉ cần MỘT đường thẳng song song đi qua một điểm cho trước, không phải hai hay ba? Bài sau trả lời bằng tiên đề Euclid, rồi dùng chính dấu hiệu và tính chất vừa học để nối vuông góc với song song — khép lại phần lý thuyết cốt lõi của cả khoá học.