Bài học

Đỉnh, cạnh, mặt của hình hộp chữ nhật và hình lập phương

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em gọi đúng tên đỉnh, cạnh, mặt của một hình hộp chữ nhật và một hình lập phương, đếm đúng số lượng từng loại, và giải thích được vì sao hai mặt đối diện của hộp luôn song song và bằng nhau.

Kiến thức nền cần nhớ

Ở lớp 6 em đã biết hình chữ nhật có bốn góc vuông, hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau; hình vuông là trường hợp đặc biệt khi bốn cạnh bằng nhau. Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng — hai điều này sẽ dùng lại liên tục trong suốt bài, vì mỗi mặt của hình hộp chữ nhật chính là một hình chữ nhật phẳng.

Khởi động

Một chiếc hộp phấn hình hộp chữ nhật đặt trên bàn. Em sờ vào từng mặt phẳng của hộp, từng cạnh thẳng nơi hai mặt gặp nhau, và từng góc nhọn hoắt nơi ba mặt chụm lại. Ba thứ đó — mặt, cạnh, đỉnh — có bao nhiêu cái mỗi loại, và làm sao đếm cho chắc chắn không sót, không đếm trùng?

Kiến thức trọng tâm

Hình hộp chữ nhật là hình có 6 mặt, mỗi mặt là một hình chữ nhật; hai mặt đối diện (không chung cạnh nào) luôn song song và bằng nhau, vì chúng là hai bản sao của cùng một hình chữ nhật, chỉ cách nhau bởi các cạnh bên. Hình lập phương là trường hợp đặc biệt của hình hộp chữ nhật khi cả ba kích thước dài, rộng, cao bằng nhau — khi đó cả 6 mặt đều là hình vuông bằng nhau, không riêng gì hai mặt đối diện.

Vì sao hộp luôn có đúng 12 cạnh và 8 đỉnh, dù kích thước thế nào? Ta đếm bằng cách khác thay vì đếm trực tiếp trên hình vẽ dễ sót. Mỗi mặt là một hình chữ nhật nên có 4 cạnh, 6 mặt cho $6 \times 4 = 24$ lượt cạnh — nhưng mỗi cạnh thật của hộp lại là ranh giới chung của đúng 2 mặt, nên bị đếm hai lần. Số cạnh thật là $24 \div 2 = 12$ . Tương tự, mỗi mặt có 4 góc, 6 mặt cho $24$ lượt góc, nhưng mỗi đỉnh thật là nơi gặp nhau của đúng 3 mặt, nên số đỉnh thật là $24 \div 3 = 8$ .

Vì sao hộp luôn có đúng 12 cạnh và 8 đỉnh, dù kích thước thế nào? Ta đếm bằng cách khác thay vì đếm trực tiếp trên hình vẽ dễ sót. Mỗi mặt là một hình chữ nhật nên có 4 cạnh, 6 mặt cho $6 \times 4 = 24$ lượt cạnh — nhưng mỗi cạnh thật của hộp lại là ranh giới chung của đúng 2 mặt, nên bị đếm hai lần. Số cạnh thật là $24 \div 2 = 12$. Tương tự, mỗi mặt có 4 góc, 6 mặt cho $24$ lượt góc, nhưng mỗi đỉnh thật là nơi gặp nhau của đúng 3 mặt, nên số đỉnh thật là $24 \div 3 = 8$.

Cách đếm này áp dụng đúng như vậy cho hình lập phương, vì hình lập phương cũng có 6 mặt và cấu trúc ghép mặt giống hệt hình hộp chữ nhật — chỉ khác ở chỗ các mặt là hình vuông thay vì hình chữ nhật bất kì. Hai cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh và cùng thuộc một mặt thì vuông góc với nhau; hai cạnh song song thì không bao giờ cắt nhau, dù có kéo dài mãi.

Lời giải có hình

Một mặt của hình hộp chữ nhật là một hình chữ nhật thật sự

Bước 1

Đây là một mặt của hình hộp chữ nhật — hình chữ nhật ABCD, với AB = 5 cm, BC = 4 cm.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Đếm đỉnh, cạnh, mặt của một hình hộp chữ nhật

1
Một hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' (đáy dưới ABCD, đáy trên A'B'C'D', các cạnh bên AA', BB', CC', DD'). Hộp có bao nhiêu mặt, cạnh, đỉnh?
2
Hộp có 2 mặt đáy (ABCD và A'B'C'D') và 4 mặt bên (ABB'A', BCC'B', CDD'C', DAA'D'), tổng cộng 6 mặt.
3
Theo cách đếm ở trên, hộp có $6\times4\div2=12$ cạnh: 4 cạnh đáy dưới, 4 cạnh đáy trên, 4 cạnh bên. Hộp có $6\times4\div3=8$ đỉnh: A, B, C, D, A', B', C', D'.
Theo cách đếm ở trên, hộp có $6\times4\div2=12$ cạnh: 4 cạnh đáy dưới, 4 cạnh đáy trên, 4 cạnh bên. Hộp có $6\times4\div3=8$ đỉnh: A, B, C, D, A', B', C', D'.
4
Vậy hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có 6 mặt, 12 cạnh, 8 đỉnh, đúng như công thức đếm chung.

Ví dụ

Xác định cạnh song song và cạnh vuông góc

1
Với hộp ABCD.A'B'C'D' ở ví dụ trên, tìm một cạnh song song với AB và một cạnh vuông góc với AB.
2
Cạnh DC cùng thuộc mặt đáy ABCD với AB, đối diện AB trong hình chữ nhật đáy, nên DC song song với AB. Cạnh A'B' cũng song song với AB vì mặt ABB'A' là hình chữ nhật.
3
Cạnh BC cùng thuộc mặt đáy ABCD, chung đỉnh B với AB, và mặt ABCD là hình chữ nhật nên góc tại B vuông — vậy BC vuông góc với AB.
4
Vậy DC (và A'B') song song với AB, còn BC vuông góc với AB — đúng như tính chất góc vuông và cạnh đối của mỗi mặt hình chữ nhật.

Ví dụ

Hình lập phương — trường hợp đặc biệt (dạng thi)

1
Một hộp phấn hình lập phương có cạnh 6 cm. Hộp có bao nhiêu mặt là hình vuông, và diện tích mỗi mặt là bao nhiêu?
2
Hình lập phương có cả 6 mặt là hình vuông bằng nhau, vì ba kích thước dài, rộng, cao đều bằng 6 cm — khác với hình hộp chữ nhật thường, nơi chỉ từng cặp hai mặt đối diện mới bằng nhau.
3
Mỗi mặt là hình vuông cạnh 6 cm, diện tích $6 \times 6 = 36$ cm².
Mỗi mặt là hình vuông cạnh 6 cm, diện tích $6 \times 6 = 36$ cm².
4
Vậy cả 6 mặt của hộp phấn đều là hình vuông cạnh 6 cm, mỗi mặt diện tích 36 cm² — đây chính là điểm khác hình lập phương so với hình hộp chữ nhật thường.

Ví dụ

Đọc hình và xác định các yếu tố bằng nhau (dạng thi)

1
Một bể cá hình hộp chữ nhật MNPQ.M'N'P'Q' có MN = 40 cm. Biết PQ = M'N' (do tính chất mặt đối diện), hãy cho biết PQ và M'N' bằng bao nhiêu, và giải thích vì sao.
2
MN và PQ đều thuộc mặt đáy MNPQ, là hai cạnh đối diện của hình chữ nhật đáy, nên MN = PQ = 40 cm.
3
MN và M'N' là hai cạnh tương ứng của hai mặt đáy đối diện (MNPQ và M'N'P'Q'), mà hai mặt đáy đối diện bằng nhau, nên M'N' = MN = 40 cm.
4
Vậy PQ = M'N' = 40 cm — cả hai đều suy ra trực tiếp từ tính chất cạnh đối của hình chữ nhật và tính chất hai mặt đối diện của hình hộp chữ nhật.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn đếm cạnh trực tiếp trên hình vẽ và dễ bỏ sót các cạnh khuất phía sau, hoặc đếm nhầm đường chéo (nối hai đỉnh không kề nhau) thành cạnh. Cách chắc chắn là dùng suy luận 6 mặt × 4 cạnh ÷ 2 = 12, không phụ thuộc vào việc nhìn thấy hết các cạnh trên hình hay không.

Ghi nhớ

Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ nhật, 12 cạnh, 8 đỉnh; hai mặt đối diện song song và bằng nhau. Hình lập phương là hộp đặc biệt khi ba kích thước bằng nhau, nên cả 6 mặt là hình vuông bằng nhau.

Bài sau dùng đúng những mặt hình chữ nhật này để tính diện tích cần sơn, cần dán giấy lên toàn bộ bề mặt hộp — bước đầu tiên trên con đường tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần.