Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Tổng ba góc của một tam giác và góc ngoài
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em tính được góc còn lại của một tam giác khi biết hai góc kia, và tính được một góc ngoài — hoặc ngược lại, tính một góc trong từ góc ngoài đã cho.
Kiến thức nền cần nhớ
Em đã biết đo và so sánh góc từ lớp 6, và vừa học ở chương trước: hai đường thẳng song song bị một cát tuyến cắt thì các cặp góc so le trong bằng nhau, các cặp góc đồng vị bằng nhau. Bài này dùng đúng tính chất so le trong đó để chứng minh một kết quả trung tâm của hình học tam giác — kết quả sẽ theo em suốt các bài sau của khóa học.
Khởi động
Lấy một mảnh giấy, cắt một tam giác bất kỳ, rồi xé rời ba góc và ghép chúng lại quanh một điểm. Ba góc đó luôn vừa khít thành một góc bẹt, dù tam giác to nhỏ hay hình dạng khác nhau thế nào. Vì sao lại luôn đúng như vậy, dù không đo bằng thước đo góc?
Định lí tổng ba góc của một tam giác
Trong một tam giác, tổng số đo ba góc trong luôn bằng $180°$. Đây không phải một quy tắc phải nhớ suông — nó chứng minh được, bằng chính tính chất so le trong em vừa ôn ở trên. Ý tưởng cốt lõi: dựng thêm một đường thẳng phụ đi qua một đỉnh, song song với cạnh đối diện, để "dịch chuyển" hai góc còn lại tới nằm cạnh góc thứ ba trên cùng một đường thẳng.
Lời giải có hình
Chứng minh định lí tổng ba góc của một tam giác
Bước 1
Cho tam giác ABC bất kỳ.
Vậy góc A + góc B + góc C = 180° với mọi tam giác ABC. Điểm mấu chốt của chứng minh là đường thẳng phụ d — không có nó, ba góc nằm ở ba vị trí tách rời, không thể cộng trực tiếp. Kẻ đường phụ đúng chỗ là kỹ thuật em sẽ gặp lại nhiều lần trong hình học THCS.
Ví dụ minh hoạ
Ví dụ
Tính góc thứ ba khi biết hai góc
1
Tam giác ABC có góc A = $50°$, góc B = $70°$. Tính góc C.
2
Theo định lí tổng ba góc của tam giác, góc A + góc B + góc C = $180°$.
3
góc C = $180° - 50° - 70° = 60°$.
4
Vậy góc C = 60°.
Góc ngoài của tam giác
Khi kéo dài một cạnh của tam giác qua một đỉnh, góc tạo thành ở phía ngoài — kề bù với góc trong tại đỉnh đó — gọi là góc ngoài của tam giác. Mỗi đỉnh có một góc ngoài (ứng với việc kéo dài một trong hai cạnh gặp nhau tại đỉnh đó). Góc ngoài mang một tính chất rất tiện dùng: nó bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
Lời giải có hình
Góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề
Bước 1
Cho tam giác ABC.
Vậy góc ngoài tại một đỉnh của tam giác luôn bằng tổng hai góc trong ở hai đỉnh còn lại. Tính chất này là hệ quả trực tiếp của định lí tổng ba góc — không cần kẻ thêm đường phụ nào khác, chỉ cần dùng lại kết quả vừa chứng minh cùng với tính chất hai góc kề bù.
Ví dụ
Tính góc ngoài từ hai góc trong không kề
1
Tam giác DEF có góc D = $40°$, góc E = $65°$. Tính góc ngoài tại đỉnh F.
2
Góc ngoài tại F bằng tổng hai góc trong không kề với nó, tức là góc D và góc E.
3
Góc ngoài tại F = $40° + 65° = 105°$.
4
Vậy góc ngoài tại đỉnh F bằng 105°.
Ví dụ dạng thi
Ví dụ
Giá đỡ hình tam giác — bài toán kết hợp hai tính chất
1
Một giá đỡ mái hiên có dạng tam giác ABC với góc A = $54°$. Góc ngoài tại đỉnh B đo được $118°$. Tính góc B và góc C.
2
Góc ngoài tại B kề bù với góc trong B, nên góc B = $180° - 118° = 62°$.
3
Theo định lí tổng ba góc, góc A + góc B + góc C = $180°$, nên góc C = $180° - 54° - 62° = 64°$.
4
Vậy góc B = $62°$ và góc C = $64°$.
Sai lầm thường gặp
Một sai lầm hay gặp: nhầm góc ngoài với góc kề bù đã cho sẵn trong đề, rồi cộng luôn cả góc kề bù đó vào tổng ba góc. Góc ngoài không phải một góc trong tam giác — nó nằm ở phần kéo dài. Trước khi cộng, luôn xác định rõ góc đang xét là góc trong (thuộc tam giác) hay góc ngoài (kề bù với một góc trong).
Ghi nhớ
Tổng ba góc trong của một tam giác luôn bằng $180°$, chứng minh được bằng cách kẻ đường thẳng phụ song song với một cạnh. Góc ngoài tại một đỉnh bằng tổng hai góc trong không kề với nó — dùng tính chất này, em tính góc ngoài mà không cần biết góc trong tại chính đỉnh đó. Bài sau chuyển sang một câu hỏi khác: khi nào hai tam giác bằng nhau hoàn toàn, mà không cần đo hết cả sáu yếu tố cạnh và góc?
Trong một tam giác, tổng số đo ba góc trong luôn bằng 180°. Đây không phải một quy tắc phải nhớ suông — nó chứng minh được, bằng chính tính chất so le trong em vừa ôn ở trên. Ý tưởng cốt lõi: dựng thêm một đường thẳng phụ đi qua một đỉnh, song song với cạnh đối diện, để "dịch chuyển" hai góc còn lại tới nằm cạnh góc thứ ba trên cùng một đường thẳng.
Tam giác ABC có góc A = 50°, góc B = 70°. Tính góc C.
Theo định lí tổng ba góc của tam giác, góc A + góc B + góc C = 180°.
góc C = 180°−50°−70°=60°.
Tam giác DEF có góc D = 40°, góc E = 65°. Tính góc ngoài tại đỉnh F.
Góc ngoài tại F = 40°+65°=105°.
Một giá đỡ mái hiên có dạng tam giác ABC với góc A = 54°. Góc ngoài tại đỉnh B đo được 118°. Tính góc B và góc C.
Góc ngoài tại B kề bù với góc trong B, nên góc B = 180°−118°=62°.
Theo định lí tổng ba góc, góc A + góc B + góc C = 180°, nên góc C = 180°−54°−62°=64°.
Vậy góc B = 62° và góc C = 64°.
Tổng ba góc trong của một tam giác luôn bằng 180°, chứng minh được bằng cách kẻ đường thẳng phụ song song với một cạnh. Góc ngoài tại một đỉnh bằng tổng hai góc trong không kề với nó — dùng tính chất này, em tính góc ngoài mà không cần biết góc trong tại chính đỉnh đó. Bài sau chuyển sang một câu hỏi khác: khi nào hai tam giác bằng nhau hoàn toàn, mà không cần đo hết cả sáu yếu tố cạnh và góc?