Bài học

Giải toán chia tỉ lệ giữa hai đại lượng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em chuyển được một bài toán chia tiền, chia số lượng, hay chia công việc giữa hai đối tượng theo tỉ lệ cho trước thành một dãy tỉ số bằng nhau, rồi giải trọn vẹn bằng tổng hoặc hiệu đã biết.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã cho em công cụ chính: đặt dãy tỉ số bằng nhau, gọi giá trị chung $k$ , rồi dùng tổng hoặc hiệu để tìm $k$ . Bài này không thêm công thức mới — nó dạy em cách ĐỌC một bài toán lời văn và CHUYỂN nó về đúng dạng dãy tỉ số bằng nhau đã học, trước khi áp dụng công cụ đó.

Bài trước đã cho em công cụ chính: đặt dãy tỉ số bằng nhau, gọi giá trị chung $k$, rồi dùng tổng hoặc hiệu để tìm $k$. Bài này không thêm công thức mới — nó dạy em cách ĐỌC một bài toán lời văn và CHUYỂN nó về đúng dạng dãy tỉ số bằng nhau đã học, trước khi áp dụng công cụ đó.

Khởi động

Hai bạn An và Bình cùng góp vốn mở một quầy nước ép, theo tỉ lệ 5 : 7. Cuối tháng lãi được 1.200.000đ. Tỉ lệ 5 : 7 và số tiền lãi cho em đủ dữ kiện gì để biết chính xác mỗi bạn nhận bao nhiêu, mà không cần biết số vốn cụ thể mỗi người đã bỏ ra?

Kiến thức trọng tâm

Một bài toán chia tỉ lệ luôn cho hai dữ kiện: (1) tỉ lệ giữa các phần cần chia, và (2) tổng hoặc hiệu của các phần đó. Bước đầu tiên là dịch tỉ lệ đã cho thành một dãy tỉ số bằng nhau: chia theo tỉ lệ $5:7$ giữa hai đại lượng $x$ và $y$ nghĩa là $\frac{x}{5} = \frac{y}{7}$ (ĐK $5 \neq 0$ , $7 \neq 0$ — hai số hạng của một tỉ lệ luôn dương nên điều kiện này gần như hiển nhiên, nhưng vẫn phải nêu ra như một bước trình bày chuẩn).

Một bài toán chia tỉ lệ luôn cho hai dữ kiện: (1) tỉ lệ giữa các phần cần chia, và (2) tổng hoặc hiệu của các phần đó. Bước đầu tiên là dịch tỉ lệ đã cho thành một dãy tỉ số bằng nhau: chia theo tỉ lệ $5:7$ giữa hai đại lượng $x$ và $y$ nghĩa là $\frac{x}{5} = \frac{y}{7}$ (ĐK $5 \neq 0$, $7 \neq 0$ — hai số hạng của một tỉ lệ luôn dương nên điều kiện này gần như hiển nhiên, nhưng vẫn phải nêu ra như một bước trình bày chuẩn).

Sau khi có dãy tỉ số, cách giải giống hệt bài trước: gọi giá trị chung là $k$ , biểu diễn từng phần theo $k$ , rồi thay vào tổng (nếu đề cho "tổng cộng là…") hoặc hiệu (nếu đề cho "hơn kém nhau…") để tìm $k$ . Bước cuối luôn là đối chiếu: cộng (hoặc trừ) các phần vừa tính được, kết quả phải khớp đúng số liệu đề bài cho.

Sau khi có dãy tỉ số, cách giải giống hệt bài trước: gọi giá trị chung là $k$, biểu diễn từng phần theo $k$, rồi thay vào tổng (nếu đề cho \"tổng cộng là…\") hoặc hiệu (nếu đề cho \"hơn kém nhau…\") để tìm $k$. Bước cuối luôn là đối chiếu: cộng (hoặc trừ) các phần vừa tính được, kết quả phải khớp đúng số liệu đề bài cho.

Nhận diện đúng đề đang cho tổng hay hiệu là bước dễ nhầm nhất. Cụm "tổng cộng", "cả hai bên", "chia hết" đi cùng một con số thường báo hiệu đó là TỔNG của các phần. Cụm "nhiều hơn", "ít hơn", "hơn kém nhau" đi cùng một con số báo hiệu đó là HIỆU giữa hai phần cụ thể — và phải xác định rõ phần nào hơn, phần nào kém, trước khi viết mẫu số nào trừ mẫu số nào. Một bài toán chia tỉ lệ đúng nghĩa thực tế còn đòi hỏi kết quả hợp lý với ngữ cảnh: số tiền, số cây, hay số sản phẩm nên là những con số nguyên dương, và đơn vị đo phải giữ nguyên xuyên suốt lời giải.

Nhận diện đúng đề đang cho tổng hay hiệu là bước dễ nhầm nhất. Cụm \"tổng cộng\", \"cả hai bên\", \"chia hết\" đi cùng một con số thường báo hiệu đó là TỔNG của các phần. Cụm \"nhiều hơn\", \"ít hơn\", \"hơn kém nhau\" đi cùng một con số báo hiệu đó là HIỆU giữa hai phần cụ thể — và phải xác định rõ phần nào hơn, phần nào kém, trước khi viết mẫu số nào trừ mẫu số nào. Một bài toán chia tỉ lệ đúng nghĩa thực tế còn đòi hỏi kết quả hợp lý với ngữ cảnh: số tiền, số cây, hay số sản phẩm nên là những con số nguyên dương, và đơn vị đo phải giữ nguyên xuyên suốt lời giải.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Chia lợi nhuận theo tỉ lệ góp vốn

1
Hai bạn An và Bình góp vốn mở quầy nước ép theo tỉ lệ 5 : 7. Cuối tháng lãi được 1.200.000đ, chia cho hai bạn theo đúng tỉ lệ góp vốn. Tính số tiền lãi mỗi bạn nhận được.
2
Gọi $x$ (đồng) là tiền lãi của An, $y$ (đồng) là tiền lãi của Bình. Theo tỉ lệ góp vốn: $\frac{x}{5} = \frac{y}{7}$ , với ĐK $5 \neq 0$ , $7 \neq 0$ .
Gọi $x$ (đồng) là tiền lãi của An, $y$ (đồng) là tiền lãi của Bình. Theo tỉ lệ góp vốn: $\frac{x}{5} = \frac{y}{7}$, với ĐK $5 \neq 0$, $7 \neq 0$.
3
Đặt $\frac{x}{5} = \frac{y}{7} = k$ . Vì $x+y=1\,200\,000$ : $\frac{x+y}{5+7}=k$ , tức $\frac{1\,200\,000}{12}=k=100\,000$ .
Đặt $\frac{x}{5} = \frac{y}{7} = k$. Vì $x+y=1\,200\,000$: $\frac{x+y}{5+7}=k$, tức $\frac{1\,200\,000}{12}=k=100\,000$.
4
$x = 5 \times 100\,000 = 500\,000$ (đồng); $y = 7 \times 100\,000 = 700\,000$ (đồng).
$x = 5 \times 100\,000 = 500\,000$ (đồng); $y = 7 \times 100\,000 = 700\,000$ (đồng).
5
Vậy An nhận 500.000đ, Bình nhận 700.000đ. Kiểm tra lại: $500\,000+700\,000=1\,200\,000$ đ, khớp đề bài.
Vậy An nhận 500.000đ, Bình nhận 700.000đ. Kiểm tra lại: $500\,000+700\,000=1\,200\,000$đ, khớp đề bài.

Ví dụ

Chia phần thưởng khi biết hiệu (dạng thi)

1
Hai tổ lao động được thưởng theo tỉ lệ 4 : 7, biết tổ Hai nhận nhiều hơn tổ Một 600.000đ. Tính số tiền thưởng mỗi tổ.
2
Gọi $x$ (đồng) là tiền thưởng tổ Một, $y$ (đồng) là tiền thưởng tổ Hai. Theo tỉ lệ đã cho: $\frac{x}{4} = \frac{y}{7}$ , với ĐK $4 \neq 0$ , $7 \neq 0$ .
Gọi $x$ (đồng) là tiền thưởng tổ Một, $y$ (đồng) là tiền thưởng tổ Hai. Theo tỉ lệ đã cho: $\frac{x}{4} = \frac{y}{7}$, với ĐK $4 \neq 0$, $7 \neq 0$.
3
Đặt $\frac{x}{4} = \frac{y}{7} = k$ . Vì $y - x = 600\,000$ : $\frac{y-x}{7-4}=k$ , tức $\frac{600\,000}{3}=k=200\,000$ .
Đặt $\frac{x}{4} = \frac{y}{7} = k$. Vì $y - x = 600\,000$: $\frac{y-x}{7-4}=k$, tức $\frac{600\,000}{3}=k=200\,000$.
4
$x = 4 \times 200\,000 = 800\,000$ (đồng); $y = 7 \times 200\,000 = 1\,400\,000$ (đồng).
$x = 4 \times 200\,000 = 800\,000$ (đồng); $y = 7 \times 200\,000 = 1\,400\,000$ (đồng).
5
Vậy tổ Một nhận 800.000đ, tổ Hai nhận 1.400.000đ. Kiểm tra lại: $1\,400\,000 - 800\,000 = 600\,000$ đ, khớp đề bài.
Vậy tổ Một nhận 800.000đ, tổ Hai nhận 1.400.000đ. Kiểm tra lại: $1\,400\,000 - 800\,000 = 600\,000$đ, khớp đề bài.

Ví dụ

Chia số cây phải trồng theo tỉ lệ (dạng thi)

1
Hai lớp 7A và 7B được giao trồng tổng cộng 54 cây, chia theo tỉ lệ số học sinh của hai lớp là 4 : 5. Tính số cây mỗi lớp phải trồng.
2
Gọi $x$ là số cây lớp 7A, $y$ là số cây lớp 7B. Theo tỉ lệ đã cho: $\frac{x}{4} = \frac{y}{5}$ , với ĐK $4 \neq 0$ , $5 \neq 0$ .
Gọi $x$ là số cây lớp 7A, $y$ là số cây lớp 7B. Theo tỉ lệ đã cho: $\frac{x}{4} = \frac{y}{5}$, với ĐK $4 \neq 0$, $5 \neq 0$.
3
Đặt $\frac{x}{4} = \frac{y}{5} = k$ . Vì $x+y=54$ : $\frac{x+y}{4+5}=k$ , tức $\frac{54}{9}=k=6$ .
Đặt $\frac{x}{4} = \frac{y}{5} = k$. Vì $x+y=54$: $\frac{x+y}{4+5}=k$, tức $\frac{54}{9}=k=6$.
4
$x = 4 \times 6 = 24$ (cây); $y = 5 \times 6 = 30$ (cây).
$x = 4 \times 6 = 24$ (cây); $y = 5 \times 6 = 30$ (cây).
5
Vậy lớp 7A trồng 24 cây, lớp 7B trồng 30 cây. Kiểm tra lại: $24+30=54$ cây, khớp đề bài.
Vậy lớp 7A trồng 24 cây, lớp 7B trồng 30 cây. Kiểm tra lại: $24+30=54$ cây, khớp đề bài.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Sai lầm hay gặp nhất là đặt sai chiều tỉ lệ — đề cho "tỉ lệ A : B là 5 : 7" mà lại viết dãy tỉ số $\frac{A}{7}=\frac{B}{5}$ , đảo ngược mất rồi. Một lỗi khác là quên bước đối chiếu cuối: tính ra số nhưng không cộng (hay trừ) lại để kiểm tra có khớp đúng số liệu đề bài hay không, nên không phát hiện được khi tính nhầm $k$ .

Sai lầm hay gặp nhất là đặt sai chiều tỉ lệ — đề cho \"tỉ lệ A : B là 5 : 7\" mà lại viết dãy tỉ số $\frac{A}{7}=\frac{B}{5}$, đảo ngược mất rồi. Một lỗi khác là quên bước đối chiếu cuối: tính ra số nhưng không cộng (hay trừ) lại để kiểm tra có khớp đúng số liệu đề bài hay không, nên không phát hiện được khi tính nhầm $k$.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Giải một bài toán chia tỉ lệ giữa hai đại lượng: dịch tỉ lệ đề cho thành dãy tỉ số bằng nhau, gọi giá trị chung $k$ , dùng tổng (đề cho "tổng cộng") hoặc hiệu (đề cho "hơn kém") để tìm $k$ , rồi tính từng phần và luôn đối chiếu lại với đề bài.

Giải một bài toán chia tỉ lệ giữa hai đại lượng: dịch tỉ lệ đề cho thành dãy tỉ số bằng nhau, gọi giá trị chung $k$, dùng tổng (đề cho \"tổng cộng\") hoặc hiệu (đề cho \"hơn kém\") để tìm $k$, rồi tính từng phần và luôn đối chiếu lại với đề bài.

Bài học tiếp theo giữ nguyên quy trình này, chỉ mở rộng từ hai đại lượng lên ba đại lượng trở lên — dạng bài chia tỉ lệ đầy đủ nhất mà em sẽ gặp trong đề kiểm tra.